河北省廊坊市大城县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河北省廊坊市大城县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共21页。

2023－2024学年九年级第一学期第二次学情评估
数学（人教版）
本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列选项中的图形属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．一个不透明的袋子中装有4个黑球，1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：若摸出的球是白球，则该事件属于随机事件；乙：摸到黑球比摸到白球的可能性大
A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数大于4”的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（ ）
A．与轴相交B．与轴相切
C．点在外D．点在内
7．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
8．如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为，点P的坐标是．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ）

A．B．
C．D．
11．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ）
A．4B．5C．6D．7
12．如图，在中，．将绕点C顺时针旋转到，旋转角为．当点B的对应点恰好落在边上时，旋转角的度数为（ ）
A．B．C．D．
13．函数在平面直角坐标展中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
14．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1080元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．如图，抛物线与x轴负半轴，y轴分别交于点A，B，现要在段的抛物线上找点，关于针对n的不同取值，所找点P的个数，甲、乙两人的说法如下，下列判断正确的是（ ）
甲：若，则点P的个数为2；乙：若，则点P的个数为1

A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对
16．题目：“如图，在等腰直角三角形中，，以点为圆心，以小于的长度为半径作，是上一点，连接．将线役绕点顺时针旋转得到线段，连接．当为何度数时，与相切，切点为？”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是( )
A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
18．如图，点D是的内心，的延长线和的外接圆相交于点E，连接，，且；
（1）的度数为 ；
（2）的度数为 ．
19．如图，已知平面直角坐标系中的四个点：，，，．

（1）若抛物线经过点A，B，则当 时，y随x的增大而增大；
（2）若抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．

(1)在图中画出，使得与关于点对称；
(2)在（1）的基础上，画出绕点逆时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
22．嘉嘉和淇淇周末相约到公园展练，公园有A，B两个入口，他们可以随机选择一个入口进入，假设选择每个入口的可能性相同．
(1)嘉嘉选择从A入口进入公园的概率为______；
(2)补全如图所示的树状图，并求两人选择不同入口进入公园的概率．
23．图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
(1)的度数为______；
(2)在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
(3)请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
24．已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)已知点均在该抛物线上．
①若，请直接比较与的大小关系；
②当时，函数的最大值是，最小值是，求的取值范围．
25．如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
26．过山车是倍受年轻人喜爱的经典娱乐项目．如图14，为过山车的一部分轨道（B为轨道与地面的交点，图中的x轴表示地面），它可以看成抛物线的一部分，其中米（轨道厚度忽略不计）．
(1)写出a，b之间的数量关系；
(2)已知米．
①求抛物线的解析式；
②在轨道距离地面32米处有两个位置M和C，当过山车运动到点C处时，沿着平行于地面的轨道向前运动了18米至点G，又进入下坡段（G接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面的交点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线的形状相同，求的长度；
③现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，，且要求，如图所示，已知这种材料的价格是5000元/米．当PE的长度为多少时会使造价最低？并求最低造价为多少元？
参考答案
1．D
解析：解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
B、 不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
C、正三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
D、平行四边行以对角线的交点为中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．B
解析：解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）．
故选：B．
3．C
解析：解：不透明的袋子中装有4个黑球，1个白球，共5个球，
若摸出的球是白球，则该事件属于随机事件，故甲正确；
摸到黑球的概率是，摸到白球的概率是，
摸到黑球的可能性比白球大，故乙正确；
故选：C．
4．C
解析：解：由原方程移项，
得：，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，
得：，
．
故选：C．
5．C
解析：解：指针指向的可能情况有6种，而其中“指针所落扇形中的数大于4”有2种，
所以，事件“指针所落扇形中的数大于4”发生的概率为．
故选：C．
6．C
解析：解：∵圆心，
∴到轴的距离是，到轴的距离是，
∵的半径为，
∴与轴相离，与轴相交，故选项错误；
由，
则点在外，故选项正确；
设，
∴，
则点在上，故选项错误；
故选：．
7．D
解析：解：硬币只有正反两面，
投掷时正面朝上的概率为
根据频率与概率的关系可知投掷次数逐渐增加，稳定在 附近
故选：D
8．B
解析：解：∵，
∴，
又∵为的切线，
∴，
∴，
故选B．
9．A
解析：解：由题意得： ，
∴，
故选：A．
10．B
解析：解：∵在抛物线经过平移后，抛物线上一点P的坐标由变为，
∴抛物线的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，
∴抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为，
故选B．
11．A
解析：解：设“□”表示的数为，
方程有实数根，
，
解得：，
“□”的值可能为4，
故选：A．
12．D
解析：解：根据题意得：，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：D
13．B
解析：解：∵
当时，函数的图象开口向上；对称轴，在轴的右侧；，图象交轴的正半轴；
故C、D不符题意；
当时，函数的图象开口向下；对称轴，在轴的左侧；，图象交轴的正半轴；
故A不符题意，B符合题意．
故选：B．
14．D
解析：解：设降价元，则每件利润为元，销售量为，
由题意得：，
故选：D．
15．B
解析：解：抛物线整理得：
，
段的抛物线上点，
当时，
，即，
解得：，
，
，则点P的个数为1，
故甲不对，
当时，
，
，
，点P的个数为1，
故乙对．
故选：B．
16．B
解析：解：当在的左侧时，如图所示，
∵
∴
当是的切线时，，
∴
∴，
②当在的右侧时，
同理可得，
当是的切线时，，
∴
∴
故选：B．
17．
解析：解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故答案为：．
18．
解析：解：由图得：四边形有外接圆，
，
；
点D是的内心，
平分，
，
，
；
故答案：，．
19． 2
解析：解：（1）把点，代入，
得，
解得：，
故此抛物线的解析式为，
，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
故当时y随x的增大而增大．
故答案为：；
（2）当抛物线经过A，B，C时，依题意，得
，
解得：；
当抛物线经过A，B，D时依题意，得
，
解得：；
当抛物线经过A，C，D时依题意，得
，
解得：；
当抛物线经过B，C，D时依题意，得
，
解得：．
，
故满足条件的a的最大值为．
故答案为：．
20．(1)，
(2)，
解析：（1）解：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
21．(1)见解析
(2)图见解析，
解析：（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为，
．
22．(1)
(2)图见解析；
解析：（1）解：嘉嘉选择入口有两种等可能的结果，选择从A入口进入的有1种，故概率为，
故答案为：；
（2）如图，
所有出现的等可能性结果共有4种，其中两人选择不同入口进入公园的结果有2种，
∴两人选择不同入口进入公园的概率为．
23．(1)
(2)的长度更长
(3)汤的最大深度为．
解析：（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且，

∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即汤的最大深度为．
24．(1)2
(2)①； ②
解析：（1）解：将点代入中，
得
解得；
（2）解：①∵，
∴抛物线为，
当时，点为，
∴，，
∴与的大小关系为；
②．当时，，．
根据图象和题意可得的取值范围是．

25．(1)见解析
(2)①；②
解析：（1）证明：如图：连接OD．
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半径，
∴直线是的切线．
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵与都是所对的圆周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴当达到最大长度时，达到最大长度．
∵的最大长度为2，
∴的最大长度为．
26．(1)
(2)①（或）②70米③212000元
解析：（1）解：米，
根据题意可得顶点坐标，
，
∴a，b之间的数量关系为：；
（2）解：①由图象可设抛物线的解析式为：，
米，
把代入，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：（或）；
②当时，
，
解得：，，
即点M的横坐标是4，点C的坐标为，
∵，
∴点G的坐标为，
∴，
∵轨道抛物线的形状与抛物线的形状相同，
∴相当于将抛物线向右平移50米，
∴轨道抛物线的解析式为：，
∴点H的坐标为，
即的长度为70米；
③设点T的坐标为，
，
点S的坐标为，
点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴，
∵，
当时，的最小值是，
∴的长度为米时，会使造价最低，
最低造价为：（元）．