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湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
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这是一份湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，那么（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
4．三个数，，的大小关系是（ ）
A．B．
C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．3
7．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算
8．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
10．下列各项不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，且函数的图像如图所示，则（ ）
A．
B．若，则
C．已知，若为偶函数，则
D．若在上有两个零点，则的取值范围为
三、填空题
13．化简： .
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 .
15．函数的零点个数为 .
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求实数的值；
(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．已知.
(1)若不等式的解集是，求实数的值；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
19．已知，且均为锐角.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值；
(2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？
21．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.
22．已知，，且为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求集合，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，，
所以.
故选：D.
2．A
【分析】运用命题的否定的知识直接转化即可.
【详解】易知命题“”的否定是，故A正确.
故选：A
3．D
【分析】根据三角函数图象变换分析求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为.
故选：D.
4．B
【分析】分别借助三个函数、和的单调性思考问题，借助中间值判断即可.
【详解】函数中，所以函数在上单调递增，
则；
函数中，所以函数在上单调递减，
则；
函数在上单调递增，
则；
所以.
故选：B.
5．A
【分析】根据时的范围，及当时，的取值，利用排除法即可得解.
【详解】令，得或，
令，得，
故排除CD，
又当时，，故排除B.
故选：A.
6．A
【分析】分终边在第一象限和在第三象限两种情况，取终边上的一点，根据三角函数定义求出答案.
【详解】直线过第一象限和第三象限，
若终边在第一象限，可取终边上一点，则，
若终边在第三象限，可取终边上一点，则.
故.
故选：A
7．C
【分析】由二分法的定义直接求解即可.
【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，
故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.
故选：C
8．A
【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.
故选：A.
9．AD
【分析】根据不等式的性质，逐步判断选项.
【详解】选项A：，．，．A正确；
选项B：，，，，
，，即，B错误；
选项C：若，，则，则，C错误；
选项D：，，又，，
，又，．D正确.
故选：AD
10．ABC
【分析】根据n次方根的概念和性质可判断A,C，根据对数的运算性质和换底公式可判断B,D.
【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误；
对于B，由对数的运算性质可知B错误；
对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误；
对于D，.故D正确.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】根据基本不等式及性质可依次判断A,C,D选项，对B，由，得，利用指数函数的单调性可求解判断.
【详解】对于A，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，故选项A正确；
对于B，，且，则，所以，故选项B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，故选项D错误.
故选：ABC.
12．ACD
【分析】由图象求出的解析式可判断A；若，可得可判断B；由为偶函数可得，求出可判断C；令，即在上有两个零点，可得，解不等式可判断D.
【详解】由题意得，，又由，
可得，又，
所以，故选项A正确；
若，则，
故选项B错误；
若为偶函数，
则，即，故选项C正确；
令，则，
即在上有两个零点，
，解得：，故选项D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据诱导公式化简，结合商数关系得解.
【详解】原式.
故答案为：.
14．
【分析】根据扇形面积公式可得半径，即可根据扇形面积和三角形面积求解弧田面积.
【详解】由图得，为等腰直角三角形，，解得
.
故答案为：
15．4
【分析】合理转化为函数交点问题，作出图像后观察即可.
【详解】函数的零点个数转化为与两个函数图象的交点个数，
利作出图象，由图可知，
两个函数图象有四个交点，
所以函数有4个零点.
故答案为：4.
16．
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
令，由于，所以的定义域为，
又，
所以是奇函数，当时，为增函数，则，
由是奇函数可知，在上单调递增，
则，
于是，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据指数函数求得，结合交集运算求解；
（2）由题意可得：，根据包含关系分析求解.
【详解】（1）由可得，即，
若，则，解得.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可知，则有：
①，解得；
②当时，即时，，不符合题意；
③当时，即时，，符合题意；
综上所述：实数的取值范围.
18．(1)1
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系可得参数；
（2）这个不等式恒成立，首先讨论时，能不能恒成立，其次在时，这是二次不等式，结合二次函数的性质可求解．
【详解】（1）由题意可知，和3是方程的两根，且，
所以，解得.
（2）由题可得，即对一切实数恒成立，
当时，不等式化为，不符合题意；
当时，有解得，
综上可知，实数的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）直接由切弦互换化成的方程即可得解.
（2）直接由二倍角公式、平方关系化成齐次式即可得解.
（3）首先由平方关系结合角的范围得，结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】（1）由，可得，解得.
（2）.
（3），
因为，所以，
又因为均为锐角，所以，而，
所以，故，
所以，
所以.
20．(1)
(2)9倍
【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解；
（2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，解得，所以.
（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为，
则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为，
因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则，
化简得，
则，即，可得，
所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.
21．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解.
（2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解.
（3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解.
【详解】（1）
.
由，可得，
即的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以，所以，
当时，即时，，
当时，即时，.
（3）因为，所以，同理
由题意可得，.
即，所以，
所以，即可得，
因为，所以，所以，
所以，
因为，可设，则，
所以，
因为，且，所以，
所以.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求；
（2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】（1）由，可知，
又为偶函数，所以有，即，
化简得，即，
所以，得.
经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数.
故所求的值为2.
（2）由（1）可知，即方程有且只有一个实数解，
显然，所以上述方程可化为，
即方程有且只有一个实数解，
令且，
则关于的方程有且只有一个不为1和的正根，
，
①当时，.
（i）若，则方程化为，
此时方程的解为，符合题意.
（ii）若，则方程化为，
此时方程的解为，不符题意，故舍去.
②当时，需满足即解得.
当时，即1为方程的解时，.
当时.
所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，.
综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解.
一、单选题
1．已知，那么（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
4．三个数，，的大小关系是（ ）
A．B．
C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．3
7．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算
8．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
10．下列各项不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，且函数的图像如图所示，则（ ）
A．
B．若，则
C．已知，若为偶函数，则
D．若在上有两个零点，则的取值范围为
三、填空题
13．化简： .
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 .
15．函数的零点个数为 .
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求实数的值；
(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．已知.
(1)若不等式的解集是，求实数的值；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
19．已知，且均为锐角.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值；
(2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？
21．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.
22．已知，，且为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求集合，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，，
所以.
故选：D.
2．A
【分析】运用命题的否定的知识直接转化即可.
【详解】易知命题“”的否定是，故A正确.
故选：A
3．D
【分析】根据三角函数图象变换分析求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为.
故选：D.
4．B
【分析】分别借助三个函数、和的单调性思考问题，借助中间值判断即可.
【详解】函数中，所以函数在上单调递增，
则；
函数中，所以函数在上单调递减，
则；
函数在上单调递增，
则；
所以.
故选：B.
5．A
【分析】根据时的范围，及当时，的取值，利用排除法即可得解.
【详解】令，得或，
令，得，
故排除CD，
又当时，，故排除B.
故选：A.
6．A
【分析】分终边在第一象限和在第三象限两种情况，取终边上的一点，根据三角函数定义求出答案.
【详解】直线过第一象限和第三象限，
若终边在第一象限，可取终边上一点，则，
若终边在第三象限，可取终边上一点，则.
故.
故选：A
7．C
【分析】由二分法的定义直接求解即可.
【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，
故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.
故选：C
8．A
【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.
故选：A.
9．AD
【分析】根据不等式的性质，逐步判断选项.
【详解】选项A：，．，．A正确；
选项B：，，，，
，，即，B错误；
选项C：若，，则，则，C错误；
选项D：，，又，，
，又，．D正确.
故选：AD
10．ABC
【分析】根据n次方根的概念和性质可判断A,C，根据对数的运算性质和换底公式可判断B,D.
【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误；
对于B，由对数的运算性质可知B错误；
对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误；
对于D，.故D正确.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】根据基本不等式及性质可依次判断A,C,D选项，对B，由，得，利用指数函数的单调性可求解判断.
【详解】对于A，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，故选项A正确；
对于B，，且，则，所以，故选项B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，故选项D错误.
故选：ABC.
12．ACD
【分析】由图象求出的解析式可判断A；若，可得可判断B；由为偶函数可得，求出可判断C；令，即在上有两个零点，可得，解不等式可判断D.
【详解】由题意得，，又由，
可得，又，
所以，故选项A正确；
若，则，
故选项B错误；
若为偶函数，
则，即，故选项C正确；
令，则，
即在上有两个零点，
，解得：，故选项D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据诱导公式化简，结合商数关系得解.
【详解】原式.
故答案为：.
14．
【分析】根据扇形面积公式可得半径，即可根据扇形面积和三角形面积求解弧田面积.
【详解】由图得，为等腰直角三角形，，解得
.
故答案为：
15．4
【分析】合理转化为函数交点问题，作出图像后观察即可.
【详解】函数的零点个数转化为与两个函数图象的交点个数，
利作出图象，由图可知，
两个函数图象有四个交点，
所以函数有4个零点.
故答案为：4.
16．
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
令，由于，所以的定义域为，
又，
所以是奇函数，当时，为增函数，则，
由是奇函数可知，在上单调递增，
则，
于是，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据指数函数求得，结合交集运算求解；
（2）由题意可得：，根据包含关系分析求解.
【详解】（1）由可得，即，
若，则，解得.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可知，则有：
①，解得；
②当时，即时，，不符合题意；
③当时，即时，，符合题意；
综上所述：实数的取值范围.
18．(1)1
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系可得参数；
（2）这个不等式恒成立，首先讨论时，能不能恒成立，其次在时，这是二次不等式，结合二次函数的性质可求解．
【详解】（1）由题意可知，和3是方程的两根，且，
所以，解得.
（2）由题可得，即对一切实数恒成立，
当时，不等式化为，不符合题意；
当时，有解得，
综上可知，实数的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）直接由切弦互换化成的方程即可得解.
（2）直接由二倍角公式、平方关系化成齐次式即可得解.
（3）首先由平方关系结合角的范围得，结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】（1）由，可得，解得.
（2）.
（3），
因为，所以，
又因为均为锐角，所以，而，
所以，故，
所以，
所以.
20．(1)
(2)9倍
【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解；
（2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，解得，所以.
（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为，
则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为，
因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则，
化简得，
则，即，可得，
所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.
21．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解.
（2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解.
（3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解.
【详解】（1）
.
由，可得，
即的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以，所以，
当时，即时，，
当时，即时，.
（3）因为，所以，同理
由题意可得，.
即，所以，
所以，即可得，
因为，所以，所以，
所以，
因为，可设，则，
所以，
因为，且，所以，
所以.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求；
（2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】（1）由，可知，
又为偶函数，所以有，即，
化简得，即，
所以，得.
经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数.
故所求的值为2.
（2）由（1）可知，即方程有且只有一个实数解，
显然，所以上述方程可化为，
即方程有且只有一个实数解，
令且，
则关于的方程有且只有一个不为1和的正根，
，
①当时，.
（i）若，则方程化为，
此时方程的解为，符合题意.
（ii）若，则方程化为，
此时方程的解为，不符题意，故舍去.
②当时，需满足即解得.
当时，即1为方程的解时，.
当时.
所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，.
综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解.
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