天津市宁河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份天津市宁河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
5．函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和10的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为，则扇面（扇环）的面积是（ ）
A．B．
C．D．
9．给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．函数，的最小正周期是 .
11．已知角的终边过点，则 ．
12． .
13．已知函数的部分图象如图所示，则 .
14．某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元.
15．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 .
三、解答题
16．已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
17．已知函数，且.
(1)求实数m的值；
(2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增.
(3)若，求值域.
18．已知函数
(1)求的定义域；
(2)若，，求，的值（结果用含a，b的代数式表示）；
(3)若函数求不等式的解集.
19．已知函数，.
(1)求的单调递减区间；
(2)求的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的取值.
20．已知函数是指数函数，且其图象经过点，.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性并证明：
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】，
故选：D
2．B
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：B
3．A
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.
【详解】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象.
故选：B
5．D
【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，
因为，
所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，
当时，，排除选项B，
故选：D
6．C
【分析】利用函数的单调性可以比较大小.
【详解】因为为增函数，所以,
因为为增函数，所以，所以.
故选：C
7．B
【分析】由两角差的正切公式求解.
【详解】，解得.
故选：B
8．A
【分析】利用扇形的面积公式进行求解即可.
【详解】因为上、下两条弧分别在半径为30和10的圆上，圆心角为，
由扇形面积公式，所以两个扇形的面积分别为，
所以扇面的面积为.
故选：A.
9．B
【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围.
【详解】由，解得或，
函数和的图像相交于点和，
在平面直角坐标系内作出函数和的图像，
由，得的图像，如图所示，
方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点，
由图像可知实数的取值范围为.
故选：B
10．
【分析】根据计算即可.
【详解】，
故答案为：.
11．
【分析】由三角函数定义可直接得到结果.
【详解】的终边过点，．
故答案为：.
12．
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】,
故答案为：
13．/
【分析】由函数最小正周期计算，代入点计算.
【详解】由函数图象可知，最小正周期，则，，
所以，
又图象过点，有，则，
由，得.
故答案为：
14．1680
【分析】分和两种情况得到利润函数，根据二次函数性质结合基本不等式计算最值，比较得到答案．
【详解】由题意可得：当时，利润为，
当时，，
故；
若，，
由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减，
所以当时，万元，
②若，
当且仅当时，即时，万元．
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．
故答案为：1680
15．
【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式.
【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，
则当时，，.
函数和在R上都单调递增，则在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增，
由，得，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：；
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据同角关系得正弦值，即可由正弦的二倍角公式求解，
（2）根据余弦的二倍角公式以及和差角公式即可求解.
【详解】（1）由以及可得，
故
（2）
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，代入函数解析式，求实数m的值；
（2）定义法证明的单调性；
（3）由函数单调性求区间内函数的值域.
【详解】（1）由，得；
（2）由（1）可知，，
任取，则，
，，有，即，
所以在区间上单调递增.
（3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，
，，，
所以时，值域为.
18．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据真数大于零列不等式，可求的定义域；
（2）求出，利用对数的运算法则，结合换底公式可求，的值；
（3）根据分段函数的解析式，分两种情况讨论，结合指数函数与对数函数的性质分别解不等式组即可.
【详解】（1）要使函数有意义，
则，
即的定义域为；
（2）因为，，所以
则，
，
（3）等价于 ①或②，
由①可得；
由②可得，
综上，不等式的解集为.
19．(1)
(2)当时，取最大值为2，当时，取最小值为．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．
（2）结合（1）利用单调区间，可求的最大值、最小值，以及使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的取值.．
【详解】（1）由题意可知：．
因为，所以，
因为，的单调递减区间是，
且由，得，
所以的单调递减区间为．
（2）由（1）可知，当时，单调递减，
可得当时，单调递增，
又，，
所以：当时，取最大值为2，
当时，取最小值为．
20．(1)
(2)为奇函数，证明见解析
(3)6
【分析】（1）设，代入点可求的解析式；
（2）利用定义法判断并证明的奇偶性；
（3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）设指数函数，且，
函数图象经过点，有，解得，
所以.
（2）为奇函数，证明如下：
，函数定义域为R，
，
所以为奇函数.
（3）不等式，
即，得，
令，
由，当且仅当，即时等号成立，得，
则有在时恒成立，得在时恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，则有，
所以实数的最大值为6.
【点睛】关键点点睛：
不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可.