云南省曲靖市第二中学学联体2024届高三第一次联考数学试卷

这是一份云南省曲靖市第二中学学联体2024届高三第一次联考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．2023年杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，分别代表了杭州的三大世界遗产．这三个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
3．已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ）
A．60°B．120°
C．135°D．150°
4．某单位党员到社区做志愿服务，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区做志愿者．每人安排1个社区，每个社区安排1人，则甲没被安排到D社区的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数（）有两个零点，，则有（ ）
A．B．
C．D．
6．已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069B．2023
C．2024D．4046
7．已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，其中，为实数，若相邻两条对称轴之间的距离为，且对恒成立，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
B．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C．数据，，…，的方差为M，则数据，，，…，的标准差为
D．在回归分析中，决定系数是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中，则说明该模型的拟合效果较好
10．已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．
D．直线与AC所成角的余弦值为
12．已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A．函数是周期为5的周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．
D．函数的图象关于直线对称
三、填空题
13．展开式中项的系数为 ．（用数字作答）
14．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .
15．已知直线l：与圆M：交于P，Q两点，且为正三角形，则 ．
16．已知曲线C：．
①曲线C的图像一定经过第三象限；
②若为曲线C上一点，则；
③存在，与曲线C有四个交点；
④直线与曲线C无公共点当且仅当．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
17．在中，内角所对应的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若，且，求边的中线长．
18．已知数列满足，其中为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，，点M在棱PC上且．
(1)证明：M为PC的中点；
(2)求平面PBD与平面MDB的夹角．
20．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示．
(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数;
(2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差s分别作为，的近似值），已知样本的标准差．现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取200人，记这200人中知识竞赛成绩超过89分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率．
参考数据：若，则，，．
21．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，过左焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于D，E两点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，设直线AP，BQ的斜率分别为，，和的面积分别为，，若，求的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】求出复数的代数形式，进而可得其对应点位置.
【详解】，
复数对应的点为，在第一象限.
故选：A.
2．D
【分析】由集合中元素的个数与非空真子集的个数之间的关系即可求解.
【详解】由题意集合M有三个元素（集合元素间互异性，要去重），所以集合M的非空真子集的个数为.
故选：D.
3．B
【分析】根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解.
【详解】因为在上的投影向量为，
所以，即，解得，
由知，.
故选：B
4．C
【分析】根据排列数分别求甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区以及甲没被安排到D社区的排列方法，结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四个社区，共有种不同安排方法，
若甲没被安排到D社区，共有种不同安排方法，
所以甲没被安排到D社区的概率为.
故选：C.
5．D
【分析】先将有两个零点转化为与有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在和内,即可得到和,然后两式相加即可求得的范围.
【详解】因为有两个零点,，即与有两个交点，
由题意,分别画和的图像
由图可知：与在和内各有1个交点，
不妨设，，
可得,即，，
则
因为,则，即，可得，
所以.
故选：D .
【点睛】方法点睛：本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根.
6．D
【分析】由等比数列的性质可得，由，可得，故有，即可计算.
【详解】由数列是公比为q（）的正项等比数列，故，
，故，
即有，
由，则当时，
有，
故，
故，
故.
故选：D.
7．C
【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
则，即，
代入得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得，
所以双曲线离心率e的取值范围是.
故选：C．
8．D
【分析】先根据条件得到周期和对称轴，结合可得函数的解析式，代入可求.
【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为得，
解得，
由对恒成立可得为对称轴，，
所以，
所以，得，
，，
又，
所以，
当为偶数时，，该式不成立，
当为奇数时，，该式成立，
所以，
所以.
故选：D.
9．ACD
【分析】根据回归分析相关知识逐一判断即可.
【详解】对于A，对于独立性检验，随机变量的值越小，
判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，A正确；
对于B，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，
相应变量减少0.6个单位，B错误；
对于C，数据，，…，的方差为M，
则数据，，，…，的方差为，则标准差为，
C正确；
对于D，在回归分析中，决定系数越接近1，模型的拟合效果越好，较为接近1，所以该模型的拟合效果较好，D正确；
故选：ACD
10．AC
【分析】先通过条件求出，再利用三角函数的性质逐一判断选项对错.
【详解】，向左平移个单位得，
对于A：，A正确；
对于B：当时，，函数在上不单调，则在区间上不单调，B错误；
对于C：，的图象关于直线对称，C正确；
对于D：，的图象不关于点对称，D错误.
故选：AC.
11．BC
【分析】根据线面平行的判定可判断A，利用向量的基底运算可求，利用向量垂直及线面垂直的判定可得B的正误，利用向量法求线线夹角可判断D.
【详解】对于A，分别连接，因为平行六面体，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
则四点共面，则面即为平面，而直线显然与该平面相交于点，故A错误；
对于B，
，
所以，即，
，所以，
即，因为，平面，所以平面，选项B正确；
对于C，，
，
所以，选项C正确；
对于D，，,
所以，
，
同理，可得；
，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
.
12．BCD
【分析】根据函数奇偶性的定义，由周期函数的定义即可求解判断A，结合函数的对称性即可求解判断B，根据函数周期性的性质即可求解C，根据原函数与导数的对称性关系即可求解D.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边求导得，所以，
得，所以函数的图象关于点对称，故选项B正确；
由，令，得，即，
因为函数为偶函数，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
所以函数，则，
所以的周期为4，所以选项A错误；
因为，令，得，又，
令，得，
所以，故C正确；
因为，，
所以，即函数关于点对称.
下面证明：若函数连续可导，且导函数图象关于点对称，则函数图象关于直线对称.
若导函数图象关于点对称，则，
即，令，
则，所以，（为常数），
又因为，所以.
所以，即，
所以函数得图象关于直线对称.
所以函数关于点对称，可得关于对称，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：对于D选项，解题关键是根据条件得到函数关于点对称，再研究原函数与导函数的对称性关系即可求解判断.
13．
【分析】写出展开式的通项，令的次数为，求出，进而可以得答案.
【详解】展开式通项为，
令，得，
所以项的系数为.
故答案为：.
14．/
【分析】先设点到平面的距离为，根据棱锥的体积公式求出，再利用等体积法，通过，即可求出，从而得出答案.
【详解】解：如图，设点到平面的距离为，
，
又，
在中，，
所以是边长为的等边三角形，
则，
，即，
解得：，所以点到平面的距离为.
故答案为：.
15．1或
【分析】根据为正三角形，求出圆心到直线距离，进而求出m的值.
【详解】圆M：，圆心为，半径为，
直线l：与圆M：交于P，Q两点，
因为为正三角形，
所以，
过做于，
则，
则或.
故答案为：1或
16．①②
【分析】根据题意，分的符号情况化简曲线的方程，画出曲线的图象，结合图象逐项分析判定，即可求解.
【详解】当时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；
当时，曲线的方程为，即，曲线是椭圆的一部分；
当时，曲线的方程为，曲线不存在；
当时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分，
其中双曲线和有一条共同的渐近线，
综上可得，画出曲线的图象，如图所示，
由图象可知，曲线的图象经过第三象限，所以①正确；
由图象知，曲线的图象上的点都在直线的下方，
所以当在曲线上时，有，所以②正确；
直线时表示与平行或重合的直线，
由曲线的图象知，直线与曲线不可能有四个交点，所以③错误；
设直线与椭圆相切，
联立方程组整理得，
由，解得，
结合曲线的图象，取，即与曲线相切，
所以直线与曲线无公共点，结合曲线的图象，
可知或，所以④不正确.
故答案为：①②.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解；
（2）先利用余弦定理求出角，进而可得是一个角为的等腰三角形，解求边的中线长.
【详解】（1）对于，由正弦定理得，
因为，
所以，即，
由角为的内角可得；
（2）因为，
所以，又角为的内角，
所以，则，
即是一个角为的等腰三角形，设上的中点为，
所以，即，
所以，
所以，即边的中线长为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，根据与之间的关系运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为，
当时，则，可得；
当时，则，
可得，整理得，
可知数列为常数列，可得，
则；
且符合上式，所以.
（2）由（1）可得：，
则，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得平面，分析可知，结合长度关系可知是等边三角形，进而可得结果；
（2）以D为坐标原点建系，利用向量法求面面夹角.
【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，
根据条件可知，平面，则平面，
且平面，所以，
所以，同理可得，
又因为，所以是等边三角形，
且，所以M是的中点．
（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，过D垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设为平面的法向量．
因为，可得，
令，则，可得，
设平面的法向量为，
因为，可得，
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面PBD与平面MDB的夹角.
20．(1)分
(2)32
(3)
【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可；
（2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可；
（3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：，
估计此次知识竞赛成绩的平均数分.
（2）由题意可知：，
因为，即，
可得，
由题意可知：抽取的200人中知识竞赛成绩超过89分的学生人数X服从二项分布，
即，故X的数学期望.
所以抽取的200人中知识竞赛成绩超过89分的学生人数的数学期望为32人.
（3）由频率分布直方图可知：分数在和的频率分别为0.35和0.15，
按照分层抽样，抽取10份，其中分数在，应抽取份，
分数在应抽取份，
记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间，
则，，
故.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据切点坐标即可得到切线方程；
（2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最大值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，
则，即切线的斜率，
且，即切点坐标为，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由题意可知：，
因为的图象开口向上，对称轴为直线，
则在上单调递减，可得，
由（1）可设，则，
所以，
当时，；当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增.
且，
可知在区间上只有一个零点，设为，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，可得当时，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，再由，求得，即可求解；
（2）设直线为，联立方程组，结合题意求得，得到，，再由三角形的面积公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆的左、右顶点分别为，，可得，
又由，可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，
若直线的斜率为0，由对称性知，
则，此时，不合题意；
设直线的方程为，由直线不过椭圆的左右顶点，则，
联立方程组，整理得，
由，可得，
则，可得，
所以，
解得，即直线的方程为，所以直线过定点，
则，
可得,
则，
因为，当时，的最大值为.
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.