高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题13 平面解析几何解答题(原卷版+解析)

这是一份高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题13 平面解析几何解答题(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了已知抛物线，已知圆，已知椭圆，已知离心率为的椭圆，如图，已知F是椭圆C1等内容，欢迎下载使用。
（1）若直线又过的左焦点，求的值；
（2）若点的坐标为，求证：为定值.
2．（2021·江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线与椭圆：交于A，B两点（点A在第一象限），点在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．
（1）求点A到椭圆左准线的距离；
（2）求证：直线CD的斜率为定值．
3．（2021·广东福田一中高三月考）已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．
4．（2021·广东龙岗中学高三期中）已知圆：和定点，动点､在圆上.
（1）过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若满足，设直线与直线相交于点.
①求证：直线过定点；
②试探究和的定量关系.
5．（2021·广东中山中学模拟）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.
6．（2021·广东惠州一中高三月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点.当直线垂直轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求内切圆半径的最大值.
7．（2021·广东湛江一中高三月考）已知椭圆：的离心率，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.
8．（2021·湖南永州一中高三月考）已知离心率为的椭圆：的左顶点及右焦点分别为点、，且.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上.
9．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知椭圆：的左､右焦点分别为､，点､､分别是椭圆的上､右､左顶点，且，点是的中点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于点､，若的面积是，求直线的方程.
10．（2021·湖南长沙一中高三月考）如图，已知F是椭圆C1：的左焦点，A是C1的上顶点，直线AF与C1的另一个交点为B，点C与B关于y轴对称，|FB|＋|FC|＝2，C1的离心率为.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）二次曲线C2：y＝tx2经过P(－1，2)，直线l//AB与C2相交于M，N不同两点，Pl，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.求k1＋k2的值.
11．（2021·湖北武汉二中高三期中）如图所示，已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.
（1）当直线AB的斜率为1时，求弦长的长；
（2）已知为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
13．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.
14．（2021·福建泉州科技中学高三月考）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.
15．（2021·福建福州三中高三月考）已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
16．（2021·重庆八中高三月考）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.
17．（2021·重庆一中高三月考）已知抛物线上有两点，，是坐标原点，是正三角形且边长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图），求正方形面积的最小值.
18．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）椭圆：右焦点为，且与短轴两端点的连线相互垂直；椭圆过点
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为（其中）的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．
专题13 平面解析几何解答题
1．（2021·江苏如皋一中高三月考）已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.
（1）若直线又过的左焦点，求的值；
（2）若点的坐标为，求证：为定值.
【答案】
（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
（1）由双曲线可得，，所以，
所以，设，，
，所以直线的方程为，
由联立得：，
所以，
.
（2）由题意知直线的斜率存在，不妨设直线，
由可得：，
所以，，，，
.
所以为定值.
2．（2021·江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线与椭圆：交于A，B两点（点A在第一象限），点在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．
（1）求点A到椭圆左准线的距离；
（2）求证：直线CD的斜率为定值．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）因为椭圆中，，，所以，故左准线为．
由得，因为点A在第一象限，所以．故所求距离为．
（2）设，，，，，
则，，，
又设，，其中，
则代入椭圆并整理得，
，
从而有，①
同理可得，，②
结合，，两点均在直线上，
①－②得，，
因为，所以，
从而，故．
故直线的斜率为定值.
3．（2021·广东福田一中高三月考）已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．
【答案】
（1），
（2）证明见解析
【解析】
（1）抛物线的焦点，准线为，
因为点到其焦点的距离为2，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以，
综上，P点坐标为，抛物线的方程为．
（2）证明：设直线MN的方程为，
，，
联立，得，
所以，，
所以，
同理可得，
因，
所以，
所以，
所以，即（满足），
直线MN的方程为，
所以直线MN过定点．
4．（2021·广东龙岗中学高三期中）已知圆：和定点，动点､在圆上.
（1）过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若满足，设直线与直线相交于点.
①求证：直线过定点；
②试探究和的定量关系.
【答案】
（1）或
（2）①证明见解析；②
【解析】
（1）当过点的直线方程为时，直线与圆不相切，
故可设切线方程为，即
圆心到直线的距离，整理得
解得或，
切线方程为或.
（2）①由题意可知，直线斜率不为零，可设直线的方程为，其中，，将直线和圆的方程联立
，整理得，
，由韦达定理得：，
由题意知，得
代入韦达定理并化简得：
所以，的方程为，经过定点.
②设的方程为，得，即
则
5．（2021·广东中山中学模拟）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由题知，所以，
所以椭圆方程为，代入点得，
解得，所以椭圆方程为；
（2）设，由得，
由得，
所以，
又点在椭圆上，所以 ，
即，
由是椭圆上得--①
又因为直线的斜率之积为，所以，即--②
把②代入①得，解得或(舍去，因为不重合).
6．（2021·广东惠州一中高三月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点.当直线垂直轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求内切圆半径的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为1.
【解析】（1）由已知条件可设，，
由，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，
由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，消去并化简得，
由韦达定理得，，
那么，
所以，
而
，
当且仅当，即时等号成立.
又因为，
所以内切圆半径的最大值为1.
7．（2021·广东湛江一中高三月考）已知椭圆：的离心率，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为椭圆的离心率，所以，即，
因为经过点，所以有，即，所以，
因此椭圆的标准方程为：；
（2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为：
，设
所以有，
因为，
所以
或（舍去），即.
8．（2021·湖南永州一中高三月考）已知离心率为的椭圆：的左顶点及右焦点分别为点、，且.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为椭圆的离心率为，左顶点及右焦点分别为点、，且
所以，解得，
所以椭圆的方程是；
（2）易知过点的直线的斜率存在，设直线方程为，
与椭圆方程联立，消去y得：，
设，
则，
因为，
所以，
整理得，
所以，
解得，
所以点在定直线上.
9．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知椭圆：的左､右焦点分别为､，点､､分别是椭圆的上､右､左顶点，且，点是的中点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于点､，若的面积是，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【解析】
（1）由题意知，，
则，
∵点是的中点，且，
∴，
∴，，
故椭圆方程为.
（2）设，，直线：，
联立方程组，得，
∴，，
，
∴，
∴.
∴直线的方程为或，
即直线的方程为或.
10．（2021·湖南长沙一中高三月考）如图，已知F是椭圆C1：的左焦点，A是C1的上顶点，直线AF与C1的另一个交点为B，点C与B关于y轴对称，|FB|＋|FC|＝2，C1的离心率为.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）二次曲线C2：y＝tx2经过P(－1，2)，直线l//AB与C2相交于M，N不同两点，Pl，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.求k1＋k2的值.
【答案】（1）；（2）0．
【解析】
（1）设椭圆的右焦点为，由于，关于轴对称，∴.
∵，∴，∴．
∵椭圆离心率为，∴，∴．
∴．
所以，椭圆的方程为．
（2）由（1）得，，∴直线的斜率为．
∵，∴可设直线的方程为．
∵二次曲线：经过，∴，即二次曲线的方程为．
设，．由方程组得
．
∴，．
又，，
所以．
11．（2021·湖北武汉二中高三期中）如图所示，已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.
（1）当直线AB的斜率为1时，求弦长的长；
（2）已知为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，
【解析】
（1）设，，.
由题意知，点F坐标为，
直线AB方程为，
联立，得，
所以，
则.
（2）设，，，，
其中，显然，
由知，且，
于是，即，
∴，∴，
同理，显然，则.
设，代入得，
则.
①若，则，
此时，
于是，∴，舍去.
②若，则，
此时，
∴，
即，
∴，∴.
由得，
即，∴.
由，得，
∴
∴，
由知，
∴.
故.
12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）或
【解析】
（1），，双曲线的渐近线方程为，
以为直径的圆过点，所以，，
不妨取点在上，设点，，，
因为，则，可得，则点,
，则，，则，
所以，双曲线的标准方程为.
（2）由题意可知，设、，
线段中点，联立得，
依题意，即①，
由韦达定理可得，，
则，，
，，，
所以，②，
又③，由①②③得：或.
13．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，设椭圆的焦距为，
∴，解得，，，
∴椭圆的方程为：.
（2）由题意可设：，
∵点在第一象限，∴，
设，，点，到直线的距离分别为，，
由，消可得，
∴，，
∴，
∵，，直线的一般式方程：，
∴，，
∴，
∴，
当时，有最大值为.
14．（2021·福建泉州科技中学高三月考）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定值为.
【解析】
（1）在线段的垂直平分线上，
，又在上，
，则的轨迹是以为焦点的椭圆，
∴，即，，，故的方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程消去得，，化简得，
∴
，
当时，取得最大值，此时，
又，则，
∴，令，则，
因此平面内存在两点，使得.
当直线的斜率不存在时，设，则，
∴，即当取得最大值.
此时中点的坐标为，满足方程，即.
15．（2021·福建福州三中高三月考）已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线AC和BD的斜率之比为定值．
【解析】
（1）设，依题意可得，所以，
所以曲线E的方程为．
（2）依题意，可设直线l：，，，
由，可得，则，，
因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，
所以，
所以直线AC和BD的斜率之比为定值．
16．（2021·重庆八中高三月考）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知，即，
所以，所以椭圆方程为；
（2）由已知，设，
则直线方程为，联立方程组可得，
则，，
因为，所以，所以，
则，消去可得，
，，即，解得，
.
17．（2021·重庆一中高三月考）已知抛物线上有两点，，是坐标原点，是正三角形且边长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图），求正方形面积的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由对称性知，轴，故点在抛物线上，其方程为.
（2）设，，，直线的斜率为，不妨，则显然有，且.
因，所以.
由得，即，
即，将，代入得.
因为，所以，故正方形面积为
.
因，所以（当且仅当时取等），
又因，所以，即（当且仅当时取等）.
从而，当且仅当时取得最小值8.
18．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）椭圆：右焦点为，且与短轴两端点的连线相互垂直；椭圆过点
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为（其中）的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）依题意，，又，所以，所以椭圆方程为
（2）由（1）可得，则直线：，联立方程得，消去整理得，设，，所以，，所以
由，所以，所以，所以，即：，所以得，解得，所以，即，，所以、到直线的距离之和为
所以四边形的面积
因为，所以，所以，所以，即，所以，即