（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第27练 椭圆（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．椭圆的长半轴长（ ）
A．11B．7C．5D．2
2．已知椭圆，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
3．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13B．1C．7D．5
4．双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为( )
A．B．C．D．
5．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A．B．C．D．
7．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．6
8．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（ ）
A．（0，）B．（0，2）
C．（l，2）D．（，2）
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
12．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
三、解答题
13．已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
14．已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
15．已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形的周长；
②求的最小值的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
第27练 椭圆
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．椭圆的长半轴长（ ）
A．11B．7C．5D．2
【答案】C
【详解】
由椭圆标准方程知，长半轴长.
故选：C.
2．已知椭圆，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为椭圆的方程为，即，
故，又，故.
故选：C.
3．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13B．1C．7D．5
【答案】D
【详解】
椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，
故
故选：D
4．双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，
椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率为，
设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为2c，则c=2，
，∴，
∴所求双曲线方程为：．
故选：C．
5．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【详解】
解：由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
6．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为椭圆的方程为，
所以，，，
又椭圆的离心率为
所以，解得，
所以,
所以椭圆E的长轴长为．
故选：C.
7．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】B
【详解】
解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
8．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
9．已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（ ）
A．（0，）B．（0，2）
C．（l，2）D．（，2）
【答案】A
【详解】
如下图，延长、相交于点，连接，
因为，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：A.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵，为椭圆的两个焦点，
∴，，
的周长为，
即，
若最小，则最大．
又当轴时，最小，此时，
故，
解得．
故选：C.
二、多选题
11．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】
设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，
则需，
，
即，，，
则，所以选项AC满足.
故选：AC.
12．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】
对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
三、解答题
13．已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
【解析】(1)
设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，
故C的方程为：；
(2)
设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．
14．已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：设点的坐标为，
，
由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，
，，
，
动点的轨迹的方程为．
(2)
解：显然直线的斜率存在且不等于，
设，，则，，
又、在椭圆上，所以，，
两式相减得，即
所以，即，即，
所以直线的方程为，即；
15．已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形的周长；
②求的最小值的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)① ；②
(2)
【解析】(1)
①由椭圆：知，，所以，
根据椭圆的定义知，多边形的周长为：.
②设，则
=，其中，
令，
①当，即时，，
②当即，，
③当即，，
综上：.
(2)
存在直线l，使得成立.理由如下：
设直线l的方程为，
由得.
，化简得.
设，，则
，.
若成立，
即，等价于.
所以.
，
，
，
化简得，即，
代入中，，恒成立，
所以或，
所以实数m的取值范围是.