（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第5讲 指对幂函数及其应用（讲义+解析）

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一、知识梳理
指数和指数函数
1.根式的概念及性质
(1)概念：eq \r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN，
②lgaMα＝αlgaM，
③lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝lgax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α1
00时，y>1；
当x0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN，
②lgaMα＝αlgaM，
③lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝lgax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α1
00时，y>1；
当x