（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第6讲 函数的图像（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.利用描点法作函数的图像
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图像eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图像；
y＝f(x)的图像eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图像；
y＝f(x)的图像eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图像；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图像eq \(――→,\s\up17(关于直线),\s\d15(y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图像.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\d15(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\d15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图像eq \(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图像；
y＝f(x)的图像eq \(――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图像.
考点和典型例题
1、函数的图像
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【典例1-2】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-3】（2021·全国·高三专题练习）如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．函数是圆O：的一个太极函数
B．函数不是圆O：的太极函数
C．函数不是圆O：的太极函数
D．函数不是圆O：的太极函数
【典例1-4】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-5】（2022·安徽淮南·二模（文））函数的部分图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2、图像的平移和变换
【典例2-1】（2022·四川绵阳·三模（理））已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
【典例2-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2021·北京四中高三期中）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【典例2-5】（2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习（文））已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3、图像的综合应用
【典例3-1】（2022·福建宁德·模拟预测）函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-2】（2022·天津南开·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-3】（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A．B．
C．D．
【典例3-4】（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-5】（2022·江西上饶·二模（理））函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-6】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数，和双曲余弦函数.下列结论错误的是（ ）
A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称
B．若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点，则
C．双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方
D．双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合
第6讲 函数的图像
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.利用描点法作函数的图像
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图像eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图像；
y＝f(x)的图像eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图像；
y＝f(x)的图像eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图像；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图像eq \(――→,\s\up17(关于直线),\s\d15(y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图像.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\d15(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\d15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图像eq \(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图像；
y＝f(x)的图像eq \(――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图像.
考点和典型例题
1、函数的图像
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【答案】B
【详解】
如图所示：
函数的单调递增区间是和．
故选：B.
【典例1-2】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
作出函数的图象，如图所示:
设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：D.
【典例1-3】（2021·全国·高三专题练习）如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．函数是圆O：的一个太极函数
B．函数不是圆O：的太极函数
C．函数不是圆O：的太极函数
D．函数不是圆O：的太极函数
【答案】A
【详解】
解：两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图：
故A正确；同理易知B，C不正确；
函数为奇函数，且，，如图：
所以函数是圆O：的一个太极函数，故D不正确，
故选：A．
【典例1-4】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
图1：当时，，当时，
当时，于图2不符合，故排除C、D．
∵恒成立，于图2不符合，故排除B．
故选：A．
【典例1-5】（2022·安徽淮南·二模（文））函数的部分图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
记,则,故,是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取 ,排除D.
故选:B
2、图像的平移和变换
【典例2-1】（2022·四川绵阳·三模（理））已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
【答案】D
【详解】
化简得，
的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出的图象，再进行平移画出的图象，
明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，
所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，图象关于直线对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D
【典例2-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
将化为，
则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，
得到曲线，即，
要使曲线上的点到直线的距离最短，
只需曲线上在该点处的切线和直线平行，
设曲线上该点为，
因为，且的斜率为，
所以，解得或（舍），
即该点坐标为.
故选：B.
【典例2-4】（2021·北京四中高三期中）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】
要得到函数的图象，则只需要把函数的图象向左平移个单位长度，即可.
故选：C．
【典例2-5】（2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习（文））已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．
当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．
故选：D．
3、图像的综合应用
【典例3-1】（2022·福建宁德·模拟预测）函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.
故选：B.
【典例3-2】（2022·天津南开·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，函数，
因为，即函数的图象过点，可排除A、B项；
又因为，可排除D项，
故选：C.
【典例3-3】（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：对于A，函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，符合题意；
对于C，函数，
则，得且，
故函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意；
对于D，函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意.
故选：B.
【典例3-4】（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
当时，，则，故排除AB.
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故C错误；
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故D正确
故选：D.
【典例3-5】（2022·江西上饶·二模（理））函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
当，，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
故选：B.
【典例3-6】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数，和双曲余弦函数.下列结论错误的是（ ）
A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称
B．若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点，则
C．双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方
D．双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合
【答案】B
【详解】
对于A，由于，故为奇函数，其图象关于原点中心对称，
而，故为偶函数，图象关于y轴对称，
故A正确；
对于B，当时 ，，故在时为增函数，
当时 ，，故在时为减函数，
因此的最小值在 时取到，最小值为1；
又，故在R上为增函数，
又因为，
由此作出，的大致图象，如图示，
由图象可知，当时，直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有2个交点，故B错误；
对于C，由对B的分析可知，双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方，C正确；
对于D，由于，故双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合，D正确，
故选：B