（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第9讲 导数的概念及运算（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.导数的概念
(1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝.
(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.
2.导数的几何意义
f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；
(3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(lgax)′＝eq \f(1,xln a)；
(5)(sin x)′＝cs x；(6)(cs x)′＝－sin x；
(7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝eq \f(1,x).
4.导数的运算法则
如果f(x)，g(x)都可导，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).
5.复合函数的导数
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为
h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.
考点和典型例题
1、导数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．
【典例1-2】（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．且
【典例1-4】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、导数的运算
【典例2-1】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．-1D．
【典例2-2】（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为( )
A．0B．1C．2D．
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2-4】（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【典例2-5】（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.
3、导数运算的综合
【典例3-1】（2020·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知，且，则实数a的值为( )
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（ ）
A．－4B．－1C．1D．4
【典例3-3】（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】（2022·江西南昌·二模（理））已知函数f，若函数的图象上存在两个点，，满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-5】（2022·山西太原·一模（理））已知实数，满足，，则（ ）
A．112B．28C．7D．4
第9讲 导数的概念及运算
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.导数的概念
(1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝.
(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.
2.导数的几何意义
f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；
(3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(lgax)′＝eq \f(1,xln a)；
(5)(sin x)′＝cs x；(6)(cs x)′＝－sin x；
(7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝eq \f(1,x).
4.导数的运算法则
如果f(x)，g(x)都可导，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).
5.复合函数的导数
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为
h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.
考点和典型例题
1、导数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【详解】
，.
故选：B.
【典例1-2】（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.
故选：C.
【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【详解】
作出的图象，由图可知，
若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，
设切点为，所以，，
所以切线斜率为，
整理得，即方程在上有两个不同的解，
所以，，
所以且.
故选：D．
【典例1-4】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
【典例1-5】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，
当时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
2、导数的运算
【典例2-1】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．-1D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，
所以，解得．
故选：.
【典例2-2】（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为( )
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【详解】
由两边同时乘x可得：
，
又，
因此．
由，即，可得，
∴，
∴．
故选：C﹒
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
【典例2-4】（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【答案】##
【详解】
设函数，则
又
所以在上单调递增，又
故不等式 可化为
由的单调性可得该不等式的解集为．
故答案为：
【典例2-5】（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，，
即，所以，，
因为，则，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故答案为：.
3、导数运算的综合
【典例3-1】（2020·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知，且，则实数a的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
∵，
∴，
，
，
．
故选：D．
【典例3-2】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（ ）
A．－4B．－1C．1D．4
【答案】D
【详解】
设直线l：与曲线相切，切点为，因为的导数为，由，解得，所以切点为，代入得，所以切线方程为.将化为标准方程为，因为l与圆相切，所以，解得.
故选：D
【典例3-3】（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值为.
故选: D.
【典例3-4】（2022·江西南昌·二模（理））已知函数f，若函数的图象上存在两个点，，满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由函数解析式，时，，，
时，，，
综上，为偶函数，
易知时，单调递增，时，单调递减，
显然有，因此要使得成立，则，
即两点在的同侧，
由是偶函数，不妨设两点都在轴右侧，即在的图象上，
，，，
等价于存在使得，
设，，设的图象过原点的切线的切点为，
所以，解得，，
所以（）的图象过原点的切线斜率为1，即（）的图象上的点与原点连线的斜率的最小值是1，
设，，则为(*)，
要使得存在使得(*)式成立，则，又，所以．
故选：C．
【典例3-5】（2022·山西太原·一模（理））已知实数，满足，，则（ ）
A．112B．28C．7D．4
【答案】B
【详解】
由得：，即，显然有，
令，则有，即有在上单调递增，
依题意，，即得：，又，则，解得，
所以.
故选：B