（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第19讲 等比数列及其求和（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq \\al(2,s)＝ap·aq.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点和典型例题
1、等比数列基本量的运算
【典例1-1】（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列中，，且，则（ ）
A．1024B．960C．768D．512
【典例1-2】（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知正项等比数列满足，则的最小值为（ ）
A．16B．24C．32D．8
【典例1-6】（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
2、等比数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）（多选）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列D．的最小值为0，最大值为20
【典例2-2】（2022·湖南·雅礼中学二模）（多选）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列不是递增数列
D．数列的前n项和小于
【典例2-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．
【典例2-5】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
3、等比数列的性质及应用
【典例3-1】（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
【典例3-3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）
A．B．2C．D．3
【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知数列为等比数列，且
(1)求的通项公式；
(2)若 ，的前项和为 ，求满足的最小正整数
第19讲 等比数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq \\al(2,s)＝ap·aq.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
考点和典型例题
1、等比数列基本量的运算
【典例1-1】（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列中，，且，则（ ）
A．1024B．960C．768D．512
【答案】A
【详解】
解：依题意设公比为，且、，由，则，即，所以，
因为，所以，所以，所以，所以；
故选：A
【典例1-2】（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
【答案】C
【详解】
因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，
所以，
所以，解得.
故选：C.
【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，
化为：，解得．
故选：D
【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据题意可知每天产生的数据量是以为首项，（）为公比的等比数列，
所以训练n天产生的总数据量为，
故选：D
【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知正项等比数列满足，则的最小值为（ ）
A．16B．24C．32D．8
【答案】C
【详解】
等比数列满足，且公比，则，，，，当且仅当时等号成立．
故选：C.
【典例1-6】（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，
标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，
因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.
故选：D
2、等比数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）（多选）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列D．的最小值为0，最大值为20
【答案】BCD
【详解】
当时，，解得或，当时，，，
整理得，当时，若，可得，若，，
可得数列为等比数列，；当时，可得，数列为等差数列，
若，可得，若，可得；故A错误；B正确；C正确；当时，；
当时，；当时，；当时，；故D正确.
故选：BCD.
【典例2-2】（2022·湖南·雅礼中学二模）（多选）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】
将圆盘从小到大编为号圆盘，则将第号圆盘移动到3号柱时，需先将第号圆盘移动到2号柱，需次操作；
将第号圆盘移动到3号柱需1次操作；
再将号圆需移动到3号柱需次操作，
故，，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴.
故选：AD.
【典例2-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列不是递增数列
D．数列的前n项和小于
【答案】ABD
【详解】
，A对；
∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
∴为等比数列，B对；
∵与互质的数为
共有个，∴
又∵=，∴一定是单调增数列，C错；
，的前n项和为
，D对.
故选：ABD．
【典例2-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解析】(1)
当时，；
当时，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即为等比数列．所以
(2)
由题意得，所以与同号，
又因为，所以，即，即．
所以数列为递增数列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
两式相减得：，
所以，所以，所以．
【典例2-5】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】(1)
因为
所以，
因为所以
所以
所以
所以是首项和公比均为的等比数列.
(2)
由（1）易得：
因为所以
所以

3、等比数列的性质及应用
【典例3-1】（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
【典例3-2】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64B．128C．256D．512
【答案】A
【详解】
由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.
故选：A.
【典例3-3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【详解】
由，则，所以，即，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．
故选：D．
【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】
选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：设等比数列的公比为q，由题意知且．
则，，，
因为是等比数列，所以，
即，展开整理得，
所以，即．
选择①③为条件，②为结论，
证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．
因为，即，因为，所以．
所以，所以．
因为，，
所以是首项为，公比为的等比数列．
选择②③为条件，①为结论，
证明过程如下：设的公比为，由题意知且．
则，所以，
又因为，且，所以．所以．
当时，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列．
【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知数列为等比数列，且
(1)求的通项公式；
(2)若 ，的前项和为 ，求满足的最小正整数
【答案】(1)(2)5
【解析】(1)
设等比数列首项为，公比为q，
则，解之得，则等比数列的通项公式
(2)
由，可得
则的前项和
由，可得
令，则
由，可得
由，可得
则有在单调递减，在单调递增
又， ，
则，
即由不等式，可得
则满足的最小正整数为5