（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第20讲 数列综合（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点和典型例题
1、分组转化求和
【典例1-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【典例1-2】（2022·江苏常州·模拟预测）己知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（ ）
A．178B．191C．206D．216
【典例1-3】（2022·河北沧州·二模）（多选）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-4】（2022·湖北·襄阳五中二模）已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记数列的前项和分别为，则=_________；（2）记最接近的整数为，则_________．
【典例1-5】（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，， ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，求
【典例1-6】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
2、裂项相消法求和
【典例2-1】（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知数列的各项互异，且，则（ ）
A．B．C．2D．4
【典例2-3】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．
【典例2-4】（2022·广东·模拟预测）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
【典例2-5】（2022·重庆·模拟预测）已知数列的前n项和为Sn，，，且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【典例2-6】（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知是数列的前项和，且．
(1)求的通项公式．
(2)若，是的前项和，求．
3、错位相减法求和
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-2】（2022·上海·模拟预测）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为_________．
【典例3-3】（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【典例3-4】（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【典例3-5】（2022·山东淄博·三模）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
第20讲 数列综合
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点和典型例题
1、分组转化求和
【典例1-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【详解】
解：因为当为奇数时，为偶数时，
所以，
所以，
所以；
故选：D
【典例1-2】（2022·江苏常州·模拟预测）己知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（ ）
A．178B．191C．206D．216
【答案】A
【详解】
解：数列满足，在，之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，，
所以共有个数，
当时，，
当时，，
由于，
所以．
故选：A．
【典例1-3】（2022·河北沧州·二模）（多选）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】
因为，
所以当为奇数时，；当为偶数时，.
所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确；
故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
【典例1-4】（2022·湖北·襄阳五中二模）已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记数列的前项和分别为，则=_________；（2）记最接近的整数为，则_________．
【答案】 2550
【详解】
依题意，，
则
，
即有，从而有，即，
若，则，若，则，，
所以.
故答案为：；2550．
【典例1-5】（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，， ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，求
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)
设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
(2)
由（1）知，，
∴，
∴，
【典例1-6】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)
因为，，所以，
又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得，，所以，，
．
2、裂项相消法求和
【典例2-1】（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为，
所以.
所以前5项和为
故选：D
【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知数列的各项互异，且，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【详解】
由题意，得，则，
即，
所以.
故选：C.
【典例2-3】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．
【答案】
【详解】
等比数列{}中、为方程的两根
，
设数列{}的公比为，则，且
又，所以，
所以
∴
∴
∴数列的前2022项和
，
故答案为：.
【典例2-4】（2022·广东·模拟预测）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．
【答案】
【详解】
∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
【典例2-5】（2022·重庆·模拟预测）已知数列的前n项和为Sn，，，且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5
【解析】(1)
由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，
解得an+1﹣an＝2（n≥2），
又a2﹣a1＝2，
所以{an}是公差为2的等差数列，
则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；
(2)由题知，则
由得，
解得，
所以n的最大值为5．
【典例2-6】（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知是数列的前项和，且．
(1)求的通项公式．
(2)若，是的前项和，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
时，，
，
所以；
(2)时，，，
所以，
所以.
3、错位相减法求和
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故选：A．
【典例3-2】（2022·上海·模拟预测）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为_________．
【答案】
【详解】
的倾斜角，设圆、与直线的切点分别为，连接，过作，垂足为，
则
∵，整理得
数列是以首项，公比的等比数列，即
∴，设数列的前n项和为，则有：
两式相减得：
即
故答案为：．
【典例3-3】（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)
当时，由可得,
由已知，有,
两式相减得 ,即,
因为，所以,
所以,所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ；
(2)由（1）可得，所以，
，
则 ，
所以 ，
所以 .
【典例3-4】（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
当时，，
所以，，
整理得：，即.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即.
(2)由（1）知，，
所以，①
所以，②
①-②得，，
所以，，
所以，，
所以，即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以.
【典例3-5】（2022·山东淄博·三模）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)
设等差数列的公差为，由得：，整理得，
因为，，成等比数列，所以，
解得（舍去），或，又由，
解得，，满足条件，故．
(2)由（1）得，所以，
所以，
所以，
则，
两式相减得：
.
所以.