（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第21讲 空间几何体（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
考点和典型例题
1、空间几何体的结构特征
【典例1-1】（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
【典例1-2】（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
【典例1-3】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9B．12C．16D．18
2、空间几何体的表面积、体积
【典例2-1】（2022·山东泰安·模拟预测）在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-3】（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-5】（2022·山东临沂·三模）战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（ ）
A．B．
C．D．
3、与球有关的切、接问题
【典例3-1】（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
【典例3-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若正三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】（2022·山东聊城·三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-5】（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开
图
侧面积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
第21讲 空间几何体
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
考点和典型例题
1、空间几何体的结构特征
【典例1-1】（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
【答案】D
【详解】
由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，
则，，解得，．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，
即,过点作,为垂足，
所以，
该圆台形容器的高为，
故选：D．
【典例1-2】（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【详解】
如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.
取BC的中点E，连接.
因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.
因为，所以在直角三角形中,，
则的面积为，
故该四棱锥的侧面积是.
故选：C
【典例1-3】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为圆台下底面半径为5，球的直径为，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，

设圆台上底面圆的半径，则
所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，
所以母线长，
所以，
故选：C.
【典例1-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：由题得,
所以.
故选：B．
【典例1-5】（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9B．12C．16D．18
【答案】D
【详解】
分别过作圆柱的母线，连接，设圆柱的底面半径为
则三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥
即，则
圆柱的侧面积为
故选：D．
2、空间几何体的表面积、体积
【典例2-1】（2022·山东泰安·模拟预测）在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：由题意，设四棱锥内切球的半径为r，
因为，四棱锥的表面积，
所以，
所以四棱锥内切球的表面积为.
故选：B.
【典例2-2】（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
【典例2-3】（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
【典例2-4】（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
【典例2-5】（2022·山东临沂·三模）战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，铜镞的直观图如图所示，
三棱锥的体积，
因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，
所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积
所以此铜镞的体积为
故选：A.
3、与球有关的切、接问题
【典例3-1】（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
【典例3-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若正三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，
设球的半径为，则，设，，
则，，
则在△中，，
当且仅当时，
因为，即
所以，即，
所以该三棱柱的侧面积为.
故选：B.
【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，
所以.
故选：A.
【典例3-4】（2022·山东聊城·三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，
设母线为，则，
所以直角圆锥的侧面积为：，
可得：，，圆锥的高，
由，解得：，
所以球的体积等于，
故选：B
【典例3-5】（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，
故选：C
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开
图
侧面积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3