（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第22练 空间中的平行关系（原卷版+解析）

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一、单选题
1．已知直线a、b和平面，下面说法正确的是( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
2．设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
3．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平面B．平面
C．与平面相交D．以上都有可能
4．如图，已知为四边形外一点，，分别为，上的点，若平面，则（ ）
A．B．C．D．以上均有可能
5．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成的角为D．
6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是（ ）
A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形
7．已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
8．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（ ）
A．B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGC
11．设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若l上有两点到的距离相等，则
C．，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则
D．若，，，，则
12．如图所示，平面平面，则（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
13．如图，在圆锥中，，，为底面圆上的三个点，，且，．
(1)证明：平面．
(2)求四棱锥的体积．
14．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．
(1)求证：BC∥平面ADD1A1；
(2)若，B1D与平面ABCD所成角为，满足且，求最大值．
15．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，，求三棱锥的体积.
16．在长方体中，，P为的中点．
(1)已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
(2)求点到平面的距离．
第22练 空间中的平行关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知直线a、b和平面，下面说法正确的是( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
【答案】C
【详解】
对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，，则，故C正确；
对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误．
故选：C．
2．设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【详解】
A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.
B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.
D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.
故选：D
3．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平面B．平面
C．与平面相交D．以上都有可能
【答案】A
【详解】
∵
∴
又∵，.
∴平面.
故选：A
4．如图，已知为四边形外一点，，分别为，上的点，若平面，则（ ）
A．B．C．D．以上均有可能
【答案】B
【详解】
如下图分别在边，上取点，，使，，
所以，，又，，
所以选项A ，C， D不正确.
因为平面，且平面平面，平面，所以，故B正确.
故选：B.
5．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成的角为D．
【答案】A
【详解】
如图：由正方体的平面展开图还原正方体
根据图形显然不平行，，A不正确，D正确；
∵且，则为平行四边形
∴
平面，平面
则平面，B正确；
连接
∵且，则为平行四边形
∴
又∵，即△为等边三角形
∴与所成的角为，C正确；
故选：A．
6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是（ ）
A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形
【答案】C
【详解】
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，
因为平面，平面平面，
所以∥，
因为，，
所以，
所以四边形为梯形，
故选：C
7．已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【详解】
如图所示，取，分别为棱和的中点，连接,
由题意易知，
所以；
又易知，
故可以证明平面平面；
又平面，由面面平行的性质可知平面，
所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，
过点作，交于点，
由题意可知,
所以,
所以，
又，
所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；
故选：C
8．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
如图，取中点，中点，连接，
所以，正方体中，易得，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，
可得,
则当在中点时，取得最小值为，
当在两端时，取得最大值为，
所以长度的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】
对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
10．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（ ）
A．B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGC
【答案】BC
【详解】
还原为原正方体如图所示，
由图可知，与异面，故A错误；
因为，平面，
所以平面，故B正确；
因为，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
而，平面，
所以平面平面，故C正确；
因为，与平面相交，
所以与平面相交，故D错误.
故选：BC.
11．设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若l上有两点到的距离相等，则
C．，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则
D．若，，，，则
【答案】ABD
【详解】
解：对A：若，，则或，故选项A错误；
对B：若l上有两点到的距离相等，则或或与相交，故选项B错误；
对C：，，两两相交于三条直线l，m，n，若，由线面平行的判断定理及性质定理可得，故选项C正确；
对D：若，，，，则或与相交，故选项D错误.
故选：ABD.
12．如图所示，平面平面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】
对于A，因为平面平面，平面，所以平面，故A正确
对于B，设由与所确定的平面为
因为平面平面，平面平面，平面平面
所以，所以即，解之得
对于C，若，则，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误
对于D，，
而由，
但与长度关系不确定，故D错误
故选：AB
三、解答题
13．如图，在圆锥中，，，为底面圆上的三个点，，且，．
(1)证明：平面．
(2)求四棱锥的体积．
【解析】(1)
如图，设线段上靠近的三等分点为，连接，．
因为，所以，所以，且，
因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面，所以平面．
(2)
作于点，则为的中点，所以，
所以梯形的面积为，
因为，所以到平面的距离为，
所以四棱锥的体积为．
14．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．
(1)求证：BC∥平面ADD1A1；
(2)若，B1D与平面ABCD所成角为，满足且，求最大值．
【解析】(1)
∵AD∥BC，BC平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，
∴BC∥平面ADD1A1．
(2)
∵BB1⊥平面ABCD，则B1D与平面ABCD所成角为，即，
∵∠BAD＝90°且，则，
∵，则且，
∴
，
当，即时取等号
∴最大值为.
15．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，，求三棱锥的体积.
【解析】(1)
证明：连接EG，.
因为E，G分别是棱，的中点，所以，.
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
因为E，F分别是棱，的中点，所以.
因为，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，且，
所以平面平面.
(2)
连接AC，BD，记，连接，则平面ABCD.
因为，所以，所以.
因为，所以，
则四棱柱的体积.
故三棱锥的体积，
即三棱锥的体积为.
16．在长方体中，，P为的中点．
(1)已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)分别是棱的中点；(2).
【解析】(1)
依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，
则，在长方体中，，则有四边形为平行四边形，
于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，
所以分别是棱的中点.
(2)
在长方体中，，P为的中点，
则，，，
设点到平面的距离为，由得：，
即，解得，
所以点到平面的距离是.