（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第24讲 空间向量及其应用（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
7.空间位置关系的向量表示
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
考点和典型例题
1、空间向量的运算及共线、共面定理
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（ ）
A． B．－2 C．0 D．或－2
【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3B．2C．15D．5
【典例1-3】（2020·全国·高三专题练习）设x，，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．4
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-5】（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
2、空间向量的数量积及其应用
【典例2-1】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-3】（2022·山东泰安·模拟预测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.
【典例2-4】（2022·上海徐汇·三模）已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
【典例2-5】（2022·浙江·模拟预测）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.
3、空间向量的应用
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）下图为正三棱柱的一个展开图，若A，，，D，，六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【典例3-3】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【典例3-5】（2022·福建泉州·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【典例3-6】（2022·全国·高二）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【典例3-7】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．名称
定义
空间向量
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋zeq \\al(2,2)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2
l1∥l2
v1∥v2⇔v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2⇔v1·v2＝0
直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n
l∥α
v⊥n⇔v·n＝0
l⊥α
v∥n⇔n＝λv
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
第24讲 空间向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
7.空间位置关系的向量表示
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
考点和典型例题
1、空间向量的运算及共线、共面定理
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（ ）
A．B．－2
C．0D．或－2
【答案】B
【详解】
当m＝0时，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，
与不平行，∴m≠0，∵，
∴，解得m＝－2.
故选：B
【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习），若三向量共面，则实数（ ）
A．3B．2C．15D．5
【答案】D
【详解】
∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得．
故选：D．
【典例1-3】（2020·全国·高三专题练习）设x，，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【详解】
因为向量，，且，，
所以，，
解得，
所以向量，，
所以，
所以，
故选：C
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】
选项A，因为，所以共面；
选项B，因为，所以共面；
选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合.
选项D，因为共线，所以共面.
故选：ABD
【典例1-5】（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
【答案】-1
【详解】
直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
2、空间向量的数量积及其应用
【典例2-1】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
【典例2-2】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
，，由对称性，点在是相同的，
故只考虑在上时，设正四棱台的高为，则
，，设，，
，因为在上，所以，则
，
，
，
所以
由二次函数的性质知，当时，取得最小值为，
又因为的最小值为，所以，解得（负舍），
故正四棱台的体积为：
.
故选：A.
【典例2-3】（2022·山东泰安·模拟预测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.
【答案】 6 -42
【详解】
如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面，平面，
因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，
在堑堵中，，则，即，
又，则，而，于是得，所以，
因，，所以.
故答案为：6；-42
【典例2-4】（2022·上海徐汇·三模）已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
【答案】3
【详解】
因为互相垂直，所以，
，
当且仅当时，取得最小值，最小值为9，
则的最小值为3.
故答案为：3
【典例2-5】（2022·浙江·模拟预测）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.
【答案】
【详解】
如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，
设，其中，则，
所以，，
所以，，
当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，
，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，
但、、为不同的三点，则，
由上可知的最大值为，取线段的中点，
则，
当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.
综上所述，.
故答案为：.
3、空间向量的应用
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）下图为正三棱柱的一个展开图，若A，，，D，，六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
六点共圆的示意图如图所示．
设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r．
则有方程组，解得．
从而在原正三棱柱中，高为底面边长的倍．
设直线AE和直线BF所成角为，则．
由勾股定理，；
所以．
故选：A
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】A
【详解】
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
【典例3-3】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，.
所以，.
故选：C.
【典例3-4】（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【详解】
由题意，,,
所以，
，
，
所以
故答案为：.
【典例3-5】（2022·福建泉州·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)
法一：（1），D为BC中点，
在直三棱柱中,平面ABC，又AD平面ABC，.
又，平面，平面,
又平面，.
法二:如图建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，则，，，，，，
，，
(2)
法一：由（1）得，平面，设AB=a，由得
,.
如图建立空间直角坐标系A-xyz,
则，，，，
，，
设为平面的一个法向量，即令，
设与平面所成角为，则
法二：，D为BC中点，
在直三棱柱中，平面ABC，又AD平面ABC，
又，平面，平面,
设AB=a，由得
，.
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，，即令，，
设与平面所成角为，则.
【典例3-6】（2022·全国·高二）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【解析】(1)
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，
所以，，，，，，，
所以，
因为平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，
所以平面；
(2)
解：因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，
所以平面，
所以平面的法向量可以为，
设二面角为，由图可知二面角为钝角，
则，
所以二面角的余弦值为；
(3)
解：由（2）知平面的法向量为，
又，设点到平面的距离为，
则
所以点到平面的距离；
【典例3-7】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．
【解析】(1)
由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面，
因为面，故，又，则，得证；
(2)
由题，，则，又，，
故，故.
分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
易得，，，，，，设平面法向量，
则，令，则，
故，故直线与平面所成的角为.
即直线与平面所成的角为.
名称
定义
空间向量
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋zeq \\al(2,2)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2
l1∥l2
v1∥v2⇔v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2⇔v1·v2＝0
直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n
l∥α
v⊥n⇔v·n＝0
l⊥α
v∥n⇔n＝λv
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0