(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题06 空间点、线与面的位置关系（重难点突破）（原卷版+解析）

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题06 空间点、线与面的位置关系（重难点突破）（原卷版+解析），共53页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，空间两直线的位置关系，公理4与等角定理，异面直线所成的角，空间中直线与平面的位置关系，平面与平面之间的位置关系等内容，欢迎下载使用。

二、考点梳理
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的 _______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．

3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．

4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；
直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个公理
（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
【名师提醒】
（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
2．公理2的三个推论
（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：

（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

三、空间两直线的位置关系
1．异面直线
（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线． 即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．
（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：

2．空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．
（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；
（2）_______________——同一平面内，没有公共点；
（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．
3． 空间中两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：

（2）从是否共面的角度分类：

四、公理4与等角定理
1．公理4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c_______________．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．

图（1） 图（2）
五、异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
4．构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
5．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
六、空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有_______________种：
①直线在平面内——有_______________个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③_______________——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
七、平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
三、题型突破
重难点题型突破(一) 空间直线与平面的位置关系
例1．（1）、（2022·北京怀柔·高二期末）给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
（2）、（2021·四川乐山·高二期中（文））下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．空间任意两条直线可以确定一个平面
D．梯形确定一个平面
（3）、（2021·安徽·合肥市第八中学高一期中）（多选题）下列是基本事实的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
C．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
D．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
【变式训练1-1】、（2022·西藏·拉萨中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形一定是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
【变式训练1-2】、（2021·湖南·高二期中）已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果l上有两个不同的点到Q的距离相等，则
【变式训练1-3】、（2021·重庆市第七中学校高三阶段练习）（多选题）下列命题中错误的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
重难点题型突破(二) 空间直线与平面的平行问题
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
（2）、（2021·上海市大同中学高二阶段练习）已知、、是空间三条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，共面
【变式训练2-1】、（2022·浙江·模拟预测）已知是两个不同的平面，直线，则“中任意一条直线均不与l相交”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-2】、（2022·浙江·镇海中学高三期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
重难点题型突破(三) 空间直线与平面的垂直问题
例3．（1）、（2022·安徽六安·一模（理））设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
（2）．（2022·全国·高三专题练习）如图,下列各正方体中,为下底的中点,为顶点,为所在棱的中点,则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①③④
【变式训练3-2】、（2022·四川资阳·高二期末（理））设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是（ ）
A．如果，，n∥β，那么
B．如果，，，那么α∥β
C．如果m∥n，，，那么α∥β
D．如果m∥n，，，那么
重难点题型突破(四) 空间直线与平面的综合问题
例4．（1）、（2022·全国·高一）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
(2)．（2021·全国·高一课时练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
(3)．（2022·广东茂名·高二期末）(多选题)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列说法正确的有（ ）
A．PM⊥BD
B．异面直线BP与AC所成角的取值范围是
C．PE与平面ABCD所成角正切值的最大值为
D．过EF作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
【变式训练4-1】、（2021·上海市进才中学高二期中）已知正方体的边长为2，点E，F分别是线段，的中点，平面过点，E，F，且与正方体形成一个截面，现有如下说法：
①截面图形是一个六边形；
②棱与平面的交点是的中点；
③若点I在正方形内（含边界位置），且，则点的轨迹长度为；
④截面图形的周长为；
则上述说法正确的命题序号为___________.
【变式训练4-2】、（2021·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点A，，的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S与的交点满足；
④当时，S为六边形
四、课堂训练（30分钟）
1．（2021·云南·高三期中（理））若，表示空间中的两条不同直线，则的充要条件是（ ）
A．，没有公共点B．，都垂直于同一直线
C．，都平行于同一平面D．，都垂直于同一平面
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且，，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为 （ ）
A．2B．C．D．3
3．（2022·陕西武功·二模（文））已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知平面，直线、，若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2022·广东·高三阶段练习）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
6．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（文））设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．且，则
B．且，则
C．，则
D． 则
7．（2022·上海长宁·高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知长方体，若，若与所成的角为，则与所成角的余弦值为________．
9．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为___________.
专题06 空间点、线与面的位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其邻边长的 _______________倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．

3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_______________的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．

4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作P_______________a；点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作B_______________α；
直线a在平面α内，记作a_______________α；直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个公理
（1）公理1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）公理2：过_______________的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
【名师提醒】
（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
2．公理2的三个推论
（1）推论1：经过一条直线和_______________的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：

（2）推论2：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

（3）推论3：经过两条_______________，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

三、空间两直线的位置关系
1．异面直线
（1）异面直线的定义：我们把不同在_______________的两条直线叫做异面直线． 即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．
（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：

2．空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面．
（1）_______________——同一平面内，有且只有一个公共点；
（2）_______________——同一平面内，没有公共点；
（3）_______________——不同在任何一个平面内，没有公共点．
3． 空间中两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：

（2）从是否共面的角度分类：

四、公理4与等角定理
1．公理4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相_______________．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c_______________．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．

图（1） 图（2）
五、异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_______________．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是_______________，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
4．构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
5．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
六、空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有_______________种：
①直线在平面内——有_______________个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③_______________——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为_______________．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
七、平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有_______________条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
三、题型突破
重难点题型突破(一) 空间直线与平面的位置关系
例1．（1）、（2022·北京怀柔·高二期末）给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
【答案】C
【解析】
【分析】
根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】
对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；
对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；
对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.
故选：C
（2）、（2021·四川乐山·高二期中（文））下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．空间任意两条直线可以确定一个平面
D．梯形确定一个平面
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，利用空间四边形可判断；对于B，结合公理2判断；对于C，结合异面直线可判断，对于D，根据两平行线可以确定一个平面即可判断.
【详解】
解：对于A选项，四边相等的空间四边形确定的平面不止一个，故错误；
对于B选项，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面，故错误；
对于C选项，空间中的两条异面直线无法确定一个平面，故错误；
对于D选项，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故正确.
故选：D
（3）、（2021·安徽·合肥市第八中学高一期中）（多选题）下列是基本事实的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
C．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
D．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
利用平面的基本性质判断.
【详解】
A. 经过两条相交直线，有且只有一个平面，是性质的推论，故正确；
B.过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面是性质本身，故正确；
C. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面是性质的推论，故正确；
D.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内是性质本身，故正确.
故选：ABCD
【变式训练1-1】、（2022·西藏·拉萨中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形一定是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据确定平面的公理以及推论判断即可.
【详解】
A错误，不共线的三点可以确定一个平面；
B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；
C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；
D正确，两条相交直线可以确定一个平面．
故选：D．
【变式训练1-2】、（2021·湖南·高二期中）已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ）
A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面
B．如果，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果l上有两个不同的点到Q的距离相等，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.
【详解】
对于A，当l与相交时，在平面内且过交点的直线与l都是共面的，故A错；
对于B，如图1，可能是，故B错；
对于C，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C正确；
对于D，如图2，由于直线l与相交时，也可以有两点到的距离相等，故D错．,
故选：C.
【变式训练1-3】、（2021·重庆市第七中学校高三阶段练习）（多选题）下列命题中错误的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据空间中点、线、面的位置关系及基本定理，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：若空间中三点共线，则无法确定平面，故A错误；
对于B：三角形一定是平面图形，故B正确；
对于C：若A，，，既在平面内，又在平面内，则此四点可能在平面与平面的交线上，无法确定平面和平面是否重合，故C错误；
对于D：四条边都相等的四边形可能是空间四边形，故D错误；
故选：ACD
重难点题型突破(二) 空间直线与平面的平行问题
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
. 若，有可能，可判断选项A；若，，则与也可能相交，可判断选项B；若，有可能，可判断选项C；由线面垂直的定义和面面平行的判定定理可以判断选项D.
【详解】
对于选项A，有可能，故选项A为假命题；
对于选项B，若，，则与也可能相交，故选项B为假命题；
对于选项C，有可能，故选项C为假命题；
对于选项D，过的平面与平面的交线分别为，则，则，
过的另一个平面与的交线分别为，同理可得，
进而可证得，故选项D为真命题.
故选：D.
（2）、（2021·上海市大同中学高二阶段练习）已知、、是空间三条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，共面
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.
【详解】
由，，则、平行、异面、垂直都有可能，故A、B错误；
由，，根据平行公理的推论知：，故C正确，D错误；
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·浙江·模拟预测）已知是两个不同的平面，直线，则“中任意一条直线均不与l相交”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】
中任意一条直线均不与l相交不能推出；
可以推出中任意一条直线均不与l相交，
故“中任意一条直线均不与l相交”是的必要不充分条件.
故选：B.
【变式训练2-2】、（2022·浙江·镇海中学高三期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点，
故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误；
由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误；
体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误；
补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确.
【详解】
对于选项A，交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
故A错误；
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，
故B错误；
四条体对角线全部与面都相交，
故C错误.
如下图，取中点为，易得，
取中点为，连接，易得，
再取中点为，连接，则，
，
是平面与正方体底面的交线，
延长，与的延长线交于，连接，交于，
则可得五边形即为平面交正方体的截面，
故D正确；
故选：D.
重难点题型突破(三) 空间直线与平面的垂直问题
例3．（1）、（2022·安徽六安·一模（理））设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可.
【详解】
A：，，则无法判断n与的位置关系，A为假命题；
B：，，则无法判断n与的位置关系，B为假命题；
C：，，则m∥n或m与n是异面直线，C为假命题；
D：，，则n⊥β，D为真命题.
故选：D.
（2）．（2022·全国·高三专题练习）如图,下列各正方体中,为下底的中点,为顶点,为所在棱的中点,则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据图形利用垂直的判定或性质可判断.
【详解】
对于A,如图,//EF,但EF与OP不垂直,所以A不符合条件；
对于B,如图,点Q是所在棱的中点,则，易得平面，所以，因为，可得MN平面OPQ，所以,所以B符合条件；
对于C,如图，易得，平面，则，因为，所以平面，所以，因为，所以，所以C符合条件；
对于D，如图，为中点，易得，若，则平面，则，显然和不垂直，故D不符合.
故选：BC.
【变式训练3-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用面面平行、线面垂直的性质可判断①；直接根据已知条件判断线线位置关系，可判断②；利用线面平行、垂直的性质可判断③；根据已知条件直接判断面面位置关系，可判断④.
【详解】
因为直线平面，直线平面.
对于①，若，则，从而，①对；
对于②，若，则或，则与的位置关系不确定，②错；
对于③，若，则，因为，则，③对；
对于④，因为，，则或，则或、相交、重合，④错.
故选：B.
【变式训练3-2】、（2022·四川资阳·高二期末（理））设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是（ ）
A．如果，，n∥β，那么
B．如果，，，那么α∥β
C．如果m∥n，，，那么α∥β
D．如果m∥n，，，那么
【答案】C
【解析】
【分析】
AB.利用两平面的位置关系判断；CD.利用面面平行的判定定理判断；
【详解】
A. 如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故错误；
B. 如果，，，那么α，β垂直，故错误；
C. 如果m∥n，，则，又，那么α∥β，故C正确；D错误，
故选:C
重难点题型突破(四) 空间直线与平面的综合问题
例4．（1）、（2022·全国·高一）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面的基本性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；
对于B，梯形是一组对边平行且不相等，因此一定是平面图形，故B正确；
对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；
对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，
故选：B．
(2)．（2021·全国·高一课时练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.
【详解】
解：当时，如下图1，是四边形，故A正确；
当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：
当时，如下图3，是五边形，C错误；
当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.
故选：C
(3)．（2022·广东茂名·高二期末）(多选题)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列说法正确的有（ ）
A．PM⊥BD
B．异面直线BP与AC所成角的取值范围是
C．PE与平面ABCD所成角正切值的最大值为
D．过EF作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合线线垂直、线线角、线面角、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，又BD平面ABCD，
所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，且AC∩AA1=A，AC，AA1平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，又PM平面ACC1A1，则PM⊥BD，故选项A正确；
在B中，当点P与线段A1C1的端点重合时，异面直线BP与AC所成角取得最小值为，
故异面直线BP与AC所成角的取值范围是，故B错误；
对于选项C，点P在平面ABCD上的射影N在AC上，连接NE，
故∠PEN即为PE与平面ABCD所成的角，由正方体的棱长为1，则PN=1，tan∠PEN=，
故EN的最小值即为E到直线AC的距离为，所以tan∠PEN的最大值为，故选项C正确；
对于选项D，设EF∩AC=H，因为正方体外接球的球心为正方体中心O，半径为R=，
过EF作该正方体外接球的截面，截面的面积最小者是直径过EF的圆面，
OH垂直于此圆面，设其半径为r，AC∩BD=Q，
因为OH2=OQ2+HQ2，所以r=R2－OH2=R2－OQ2－HQ2=，
截面面积为，所以D对.
故选：ACD
【变式训练4-1】、（2021·上海市进才中学高二期中）已知正方体的边长为2，点E，F分别是线段，的中点，平面过点，E，F，且与正方体形成一个截面，现有如下说法：
①截面图形是一个六边形；
②棱与平面的交点是的中点；
③若点I在正方形内（含边界位置），且，则点的轨迹长度为；
④截面图形的周长为；
则上述说法正确的命题序号为___________.
【答案】④
【解析】
【分析】
依题意在正方体中作出截面，再利用勾股定理分别计算各线段的长度，即可判断.
【详解】
正方体的棱长为；
延长EF，AD，交于点Р，连接交于点G，
延长EF，AB，交于点Q，连接，交于点H，
则五边形即为所求截面，故①错误；
易知G，H分别是线段和的三等分点，
则，即为点的轨迹即为线段，则轨迹长度为，故②③错误；
而，而，
则五边形的周长为，故④正确．
故答案为：④
【变式训练4-2】、（2021·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点A，，的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S与的交点满足；
④当时，S为六边形
【答案】①②③
【解析】
【分析】
分情况和两种情况作出截面，并判断②③，再通过平移交点，即可判断①④.
【详解】
如图1，当时，，这时过A，，三点的截面与交于点，，且，截面为等腰梯形；
当时，过A，，三点的截面与的交点在棱上，截面S为四边形，故①②正确．
如图2，当时，设截面S交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，取的中点，作交于点，则，且，即为的中点，∴，，，可得，故③正确．
易知当时，只需上移即可，此时S仍如图2所示的五边形，故④错误．
故答案为：①②③
四、课堂训练（30分钟）
1．（2021·云南·高三期中（理））若，表示空间中的两条不同直线，则的充要条件是（ ）
A．，没有公共点B．，都垂直于同一直线
C．，都平行于同一平面D．，都垂直于同一平面
【答案】D
【解析】
【分析】
判断选项ABC都不是的充要条件，只有选项D是的充要条件.
【详解】
A:没有公共点可能异面，可能平行,所以，没有公共点不是的充要条件；
B：垂直于同一直线的直线可能相交，可能异面，也可以平行，所以，都垂直于同一直线不是的充要条件；
C：平行于同一平面的直线可能平行，可能相交，也可能异面，所以，都平行于同一平面不是的充要条件；
D：，都垂直于同一平面，则，反之也成立，所以，都垂直于同一平面是的充要条件.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且，，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为 （ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
证得（或其补角）为异面直线与所成的角，然后在中解三角形即可求出结果.
【详解】
连接，则，（或其补角）为异面直线与所成的角，又，，，平面，又因为平面，，即，为直角三角形，，因为异面直线成角的范围为，所以异面直线与所成角的正切值为，
故选：B.
3．（2022·陕西武功·二模（文））已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中的线面关系逐一判断即可.
【详解】
垂直于同一个平面的两个平面可以平行、相交，故A错误；
垂直于同一个平面的两条直线平行，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则或，故D错误；
故选：C
4．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知平面，直线、，若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
若，且，则或，即“”“”；
若，且，则或、异面，则“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．（2022·广东·高三阶段练习）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可；
【详解】
解：对于选项A，，，m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；
对于选项B，因为，，所以.又，所以，故B错误；
对于选项C，由，则存在直线，使得，又，所以，且，所以.故C正确；
对于选项D，因为，可设，则当，时，可得到，，但此时.故D错误.
故选：C
6．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（文））设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．且，则
B．且，则
C．，则
D． 则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：对于A选项，且，则或异面或相交，故错误；
对于B选项，且，则，故正确；
对于C选项，，则与可以为平行关系，故错误；
对于D选项，根据，面面平行的判定定理得，时，，故错误；
故选：B
7．（2022·上海长宁·高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
【答案】①④
【解析】
【分析】
画出正方体，，，故，① 正确，根据相交推出矛盾得到② 错误，根据，与相交得到③ 错误，排除共面的情况得到④ 正确，得到答案.
【详解】
如图所示的正方体中，，，故，① 正确；
若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误；
，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误；
，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确；
故答案为：① ④.
8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知长方体，若，若与所成的角为，则与所成角的余弦值为________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
根据异面直线夹角的定义，结合余弦定理和已知几何关系，即可求解.
【详解】
根据题意，连接交于，连接交于，如下所示：
因为//，又与所成夹角为，故可得或；
又，故，
若，在△中：因为，
故△为等边三角形，则；则，
则在三角形中，由余弦定理可得：；
若，在三角形中，由余弦定理可得：
，故可得，
则，
则在三角形中，由余弦定理可得：.
又//，
故即为与所成角或其补角，又或，
故与所成角的余弦值为或.
故答案为：或.
9．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）如图，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，，则或其补角即为异面直线与所成角，在中计算即可求解.
【详解】
如图：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，且，
所以或其补角即为异面直线与所成角，
，
在中，，
所以异面直线与所成角的正切值为，
故答案为：.