(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直（重难点突破）原卷版+解析，共60页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，课堂训练等内容，欢迎下载使用。

二、考点梳理
考点一 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点二 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点三 知识拓展
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
三、题型突破
重难点题型突破01 线面垂直
例1．（1）、（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（ ）
①，则；
②，则；
③，则.
A．1B．2C．3D．0
（2）、（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有（ ）
A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF
（3）、（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选题）已知正方体中，点是底面的中心，点是侧面内的一个动点，且平面，则以下关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】、（2022·浙江丽水·高二期末）空间中两条不同的直线m，n和平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式训练1-2】、（2022·浙江·模拟预测）已知圆锥SO，AB是圆O的直径，P是圆O上一点（不与A，B重合），Q在平面SAB上，则（ ）
A．直线可能与平面垂直B．直线可能与平面垂直
C．直线可能与平面平行D．直线可能与平面平行
【变式训练1-3】、（2022·全国·模拟预测）（多选题）如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（ ）
A．
B．平面
C．点在上运动时，三棱锥的体积为定值
D．点在上运动时，始终与平面平行
例2．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，平面ABE，且，，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)若点F满足，且平面CEF，求.
【变式训练2-1】、（2022·广西广西·模拟预测（文））在平行四边形中，，，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，，连接EB交AD于点F，如图①，将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图②.
(1)求证：平面；
(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面平面ABCD，求三棱锥的体积.
【变式训练2-2】、（2022·山西晋中·一模（文））如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，过点B作BE⊥AC，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点．
(1)证明：AC⊥平面BEF；
(2)求三棱锥F-BGE的体积．
重难点题型突破02 面面垂直
例3．（1）、（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
（2）、（2021·山东·高二学业考试）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
（3）、（2021·山东省潍坊第四中学高三开学考试）（多选题）在四边形ABCD中，，，，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题错误的是（ ）
A．平面平面ABCB．平面平面BCD
C．平面平面BCDD．平面平面ABC
（4）、（2021·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，已知矩形ABCD，，，平面ABCD，且，点E为线段DC(除端点外)上的一点，沿直线AE将向上翻折成，M为的中点，则下列结论正确的有______．(写出所有正确结论的序号)
①三棱锥的体积为；
②当点E固定在线段DC某位置时，则在某圆上运动；
③当点E在线段DC上运动时，则在某球面上运动；
④当点E在线段DC上运动时，三棱锥的体积的最小值为．
【变式训练3-1】、（2022·江苏镇江·高二开学考试）（多选题）己知m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【变式训练3-2】、（2022·四川达州·高二期末（文））（多选题）在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
【变式训练3-3】、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，点为边长为1的正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ）
A．直线、是异面直线
B．
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的体积为
【变式训练3-4】、（2021·河南省杞县高中高三阶段练习（理））已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，且，，则；
④若，为异面直线，且，，，，则．
其中正确命题的序号是______．
例4．（2022·陕西咸阳·高一期末）如图甲，直角梯形中，，，为的中点，在上，且，现沿把四边形折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：
(1)平面平面；
(2)平面平面.
【变式训练4-1】、（广西玉林市普通高中2022届高三3月教学质量监测考试（第一次适应性测试）数学（文）试题）如图所示，己知四棱锥中底面是矩形，面底面且，，为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【变式训练4-2】、（2021·西藏林芝·高三阶段练习（文））如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点.
(1)求证：平面平面.
(2)若，求三棱锥的体积.
重难点题型突破03 综合应用
例5．（2022·辽宁实验中学高三阶段练习）如图，在正三棱柱中，各棱长均为2，D是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面ABC所成角的大小．
例6．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
例7．（2022·浙江绍兴·高三期末）如图，三棱锥中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
例8．（2022·重庆南开中学模拟预测）如图所示，四棱锥中，△为正三角形，，，，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求与面所成角的正弦值.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·黑龙江·一模（理））设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的个数为（ ）
命题①：若，，则 命题②：若，，则
命题③：若，，则 命题④：若，，则
A．4B．3C．2D．1
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在正方体中，点P是线段上的一个动点，有下列三个结论：
①面；
②；
③面面．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③C．①③D．①②
4．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（ ）
①平面；
②平面；
③平面平面.
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45°
D．异面直线MN与DD1所成角为60°
6．（2021·湖南·常德市第二中学高二期末）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（ ）
A．BC⊥PC
B．OM⊥平面ABC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积
7．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））在三棱锥中，，，，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求钝二面角的余弦值.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点二 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点三 知识拓展
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
三、题型突破
重难点题型突破01 线面垂直
例1．（1）、（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（ ）
①，则；
②，则；
③，则.
A．1B．2C．3D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
对于①，利用线面垂直的性质判断即可，对于②，由线面垂直的性质和线面平行的判定判断，对于③，由线面平行的性质判断
【详解】
对于①，当时，则相交垂直或异面垂直，所以①正确，
对于②，当时，或，所以②错误，
对于③，当时，与平行，或相交，或，所以③错误，
故选：A
（2）、（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有（ ）
A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在折叠的过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即可得SG⊥GE，SG⊥GF，从而由线面垂直的判定定理可得结论
【详解】
对于A，因为在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
所以在四面体SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，
因为GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG．所以A正确，
对于B，因为SG⊥平面EFG，平面，所以，所以，所以不可能为直角，所以与不垂直，所以与平面不可能垂直，所以B错误，
对于C，由题意可知为等腰直角三角形，且，，所以与平面不可能垂直，所以C错误，
对于D，由选项B的解析可知，不可能为直角，所以与不垂直，所以与平面不可能垂直，所以D错误，
故选：A．
（3）、（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选题）已知正方体中，点是底面的中心，点是侧面内的一个动点，且平面，则以下关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据正方体的性质，利用线面、面面平行垂直的判定定理及性质定理逐一验证即可.
【详解】
A：因为O为底面中心，连接，，因为平面，根据线面平行性质定理可知：， A正确；
B：因为直线CM与平面不平行，所以点C与点M到平面的距离必然不相等，故，B错误.
C：根据中位线可知：M为中点，所以，因为与不垂直，所以不垂直，故C错误.
D：根据正方体性质易知：平面，所以，所以，故D正确.
故选：AD
【变式训练1-1】、（2022·浙江丽水·高二期末）空间中两条不同的直线m，n和平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面垂直的性质判断A；举特例说明并判断B，C，D作答.
【详解】
对于A，，，由线面垂直的性质知，，A正确；
对于B，在长方体，平面视为平面，棱所在直线分别视为直线m，n，如图，
显然有，，此时m与n相交，B不正确；
对于C，在长方体，平面视为平面，棱所在直线分别视为直线m，n，
显然有，，此时，C不正确；
对于D，在长方体，平面视为平面，棱所在直线分别视为直线m，n，
显然有，，此时，D不正确.
故选：A
【变式训练1-2】、（2022·浙江·模拟预测）已知圆锥SO，AB是圆O的直径，P是圆O上一点（不与A，B重合），Q在平面SAB上，则（ ）
A．直线可能与平面垂直B．直线可能与平面垂直
C．直线可能与平面平行D．直线可能与平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
按照对应选项的条件假设，再结合题目条件，利用反证法证明，对选项逐一判断.
【详解】
对A，若平面，则，又， 平面，平面，又因为时，不垂直于平面，所以必相交，所以平面，不符合题意，故A错误；
对B，若平面，则，又，平面，平面，又因为时，不垂直于平面，所以必相交，所以平面，不符合题意，故B错误；
对C，若平面，又平面，平面平面，所以，如图所示，可能存在，故C正确；对D，与平面有公共点，不可能平行，故D错误.
故选：C
【点睛】
解答本题的关键是利用反证法对选项逐一证明判断.
【变式训练1-3】、（2022·全国·模拟预测）（多选题）如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（ ）
A．
B．平面
C．点在上运动时，三棱锥的体积为定值
D．点在上运动时，始终与平面平行
【答案】ACD
【解析】
【分析】
依题意可得，，即可得到平面，即可判断A；
根据正四棱柱的性质可得不一定成立，即可判断B，易知平面，即可判断C，由面面平行的判定定理得到平面平面，由平面，即可得到平面，即可得证；
【详解】
解：对于选项A，由条件得，，，平面，所以平面．又因为平面，所以，故选项A正确；
对于选项B，由于正四棱柱的侧面不一定是正方形，所以不一定成立，所以平面不一定成立，故选项B错误；
对于选项C，易知平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确；
对于选项D，由于，，所以平面，且，平面，且，所以平面平面，点在上运动时，平面，所以平面，故选项D正确．
故选：ACD．
例2．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，平面ABE，且，，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)若点F满足，且平面CEF，求.
【答案】(1)证明见解析(2)4
【解析】
【分析】
（1）在中，由余弦定理求得，再根据勾股定理证得，利用线面垂直的判定定理可得证；
（2）连接交于点，连接，根据平面，得到，由求解.
(1)
证明：在中，，解得.
∴，即.
∵平面ABE，∴，
又AB，平面ABC，，∴平面ABC.
(2)
解：如图所示：
连接交于点，连接.
∵平面，平面平面，∴，∴.
在直角梯形中，，∴，
所以，所以，
∴.
【变式训练2-1】、（2022·广西广西·模拟预测（文））在平行四边形中，，，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，，连接EB交AD于点F，如图①，将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图②.
(1)求证：平面；
(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面平面ABCD，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过证明来证得平面.
（2）先证明平面，然后根据锥体体积公式，求得三棱锥的体积.
(1)
折叠前，在中，，，
且，
是直角三角形，，，
在中，，，，，
，又，，.
折叠后，，，，
平面BFP.
(2)
平面平面ABCD，且平面平面，平面ADP，
且由（1）知，平面ABCD.由（1）得.
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半.
设到平面的距离为，则.
，
，
.
【变式训练2-2】、（2022·山西晋中·一模（文））如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，过点B作BE⊥AC，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点．
(1)证明：AC⊥平面BEF；
(2)求三棱锥F-BGE的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直证明，由可知，结合可以证明结论.
（2）先利用面积分割法求出三角形BGE的底面积，然后利用椎体的计算公式求解.
(1)
证明：，
所以，
又，
，
，
，
又，，
，
点E为线段AD的中点，
，
又平面ABCD，平面ABCD，
，
，
又，EF，平面BEF，
平面BEF．
(2)
解：
由（1）可知且
又平面ABCD
平面ABCD
所以三棱锥．
重难点题型突破02 面面垂直
例3．（1）、（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行、线线平行的性质可判断AB，根据直线与平面垂直的判定定理可判断CD.
【详解】
对于A，，，则可能平行、相交、异面，故错误；
对于B，，，则在平面内或，故错误；
对于C，由，，可得，又，所以，故正确；
对于D，由C可知，得不到，故错误.
故选：C
（2）、（2021·山东·高二学业考试）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【答案】C
【解析】
【分析】
利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.
【详解】
因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
（3）、（2021·山东省潍坊第四中学高三开学考试）（多选题）在四边形ABCD中，，，，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题错误的是（ ）
A．平面平面ABCB．平面平面BCD
C．平面平面BCDD．平面平面ABC
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合面面垂直的判定和性质，结合二面角的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
根据题意，作图如下：
因为在四边形ABCD中，，，，，
所以，又平面平面BCD，且平面平面，
故平面ABD，又面，则，又，
又面，故平面ADC，又面，
所以平面平面ADC，故正确；
设，则，，，
由，又，面，可得平面ADC，
又面，可得，，
所以为平面ABD与平面ABC所成角，且，
故二面角不为直角，故错误；
由上述证明可知，为平面ADC与平面BCD所成角，为45°，故错误；
若平面平面BCD，取BC的中点H，可得，则平面ABC，
平面ABC，可得，
而△中，，，，显然△不为直角三角形，故错误.
故选：ABC.
（4）、（2021·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，已知矩形ABCD，，，平面ABCD，且，点E为线段DC(除端点外)上的一点，沿直线AE将向上翻折成，M为的中点，则下列结论正确的有______．(写出所有正确结论的序号)
①三棱锥的体积为；
②当点E固定在线段DC某位置时，则在某圆上运动；
③当点E在线段DC上运动时，则在某球面上运动；
④当点E在线段DC上运动时，三棱锥的体积的最小值为．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
利用等体积法求出体积，即可判断选项①，利用A⊥E，即可判断选项②，根据A＝1保持不变，即可判断选项③，求出点M到平面BCF的距离的最小值，过点A作出BF的垂线，求出最小值，即可判断选项④．
【详解】
对于①，由等体积法可得，，
∴三棱锥A﹣BCF的体积为，故选项①错误；
对于②，当固定点E时，可知点在球面被平面截得的圆弧上，即在某圆上运动，
故选项②正确；
对于③，当点E在线段DC上运动时，A＝1保持不变，
∴点的轨迹为以点A为球心，半径为1的球面的一部分，
故选项③正确；
对于④，∵BC×BF，
∴求三棱锥M﹣BCF的体积的最小值即求点M到平面BCF的距离的最小值，
即求点到平面距离d的最小值，且d，
过点A作BF的垂线，垂足为H，
∵AF⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，
故AF⊥BC，
又BC⊥AB，且ABAF＝A，AF，AB平面ABF，
∴BC⊥平面ABF，
又AH⊂平面ABF，
则BC⊥AH，
又BCBF＝F，BC，BF⊂平面BCF，
故AH⊥平面BCF，
∵点在以点A为球心，半径为1的球面上运动，
则点到平面BCF距离的最小值为d＝AH﹣1，
∴，
故三棱锥M﹣BCF的体积的最小值为，
故选项④正确．
故答案为：②③④．
【变式训练3-1】、（2022·江苏镇江·高二开学考试）（多选题）己知m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据空间里面直线、平面的位置关系即可逐项判断.
根据线面平行判定定理可以判断A，根据线面平行的性质定理可判断B，根据线面垂直的性质定理可判断C，根据面面垂直的判定定理可判断D.
【详解】
若，，则无法判断m与平面α的位置关系，故A错误；
若，，，故根据线面平行的性质定理可知m∥n，故B正确；
若，，则根据线面垂直的性质定理知m∥n，故C正确；
若，，则根据面面垂直的判定定理知，故D正确.
故选：BCD.
【变式训练3-2】、（2022·四川达州·高二期末（文））（多选题）在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】D
【解析】
【分析】
利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
若平面，因为，则平面平面，
事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；
对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，
平面，平面，则，
，，平面，
而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；
对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则，
，，则平面，
若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，平面，
而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，
所以，平面平面，所以，，
但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；
对于D选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，，
，平面，
因为平面，因此，平面平面平面，D对.
故选：D.
【变式训练3-3】、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，点为边长为1的正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ）
A．直线、是异面直线
B．
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的体积为
【答案】BD
【解析】
【分析】
通过作辅助线可以看到直线、是相交直线，说明A选项错误；根据面面垂直的性质，可以证明平面，从而求得，计算线与平面所成角的正弦值即可判断C的正误，借助于C的计算过程，再求出，可知B的对错；根据三棱锥体积公式求得其体积即可判断D的对错.
【详解】
对于A选项，连接，则点为的中点，、平面，
平面，
同理可知平面，
所以，与不是异面直线，A选项错误；
对于C选项，四边形是边长为的正方形，，
平面平面，交线为，平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，
为的中点，且是边长为的正三角形，则，，，C选项错误；
对于B选项，取的中点，连接、，则且，，
平面，平面，平面，，
，，B选项正确；
对于D选项，平面，的面积为，
所以三棱锥的体积为，D选项正确.
故选：BD.
【变式训练3-4】、（2021·河南省杞县高中高三阶段练习（理））已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，且，，则；
④若，为异面直线，且，，，，则．
其中正确命题的序号是______．
【答案】②④
【解析】
【分析】
作出一个正方体，进而根据各个面的位置关系并结合条件可以判断①；
根据线面垂直的性质定理可以判断②；
根据面面平行的判定定理可以判断③④.
【详解】
如图1，记平面为平面，平面，平面，显然，，但.所以①错误；
垂直于同一条直线的两个平面平行.所以②正确；
一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行.所以③错误；
如图2，因为，过m作平面，使得，所以，易知，所以，又异面，则相交，设交点为M，又，，所以.所以④正确.
故答案为：②④.
例4．（2022·陕西咸阳·高一期末）如图甲，直角梯形中，，，为的中点，在上，且，现沿把四边形折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：
(1)平面平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明出平面，平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.
(1)
证明：翻折前，，翻折后，则有，，
因为平面，平面，平面，
因为平面，平面，平面，
因为，因此，平面平面.
(2)
证明：翻折前，在梯形中，，，则，
，则，
翻折后，对应地，，，因为，所以，平面，
，则平面，
平面，因此，平面平面.
【变式训练4-1】、（广西玉林市普通高中2022届高三3月教学质量监测考试（第一次适应性测试）数学（文）试题）如图所示，己知四棱锥中底面是矩形，面底面且，，为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，结合勾股定理可证面面垂直；
（2）利用等体积转化求点到平面的距离.
(1)
由平面底面，且平面底面，
又底面是矩形，则，，
平面，，，
又，且是中点，
，，，
，
，
又，
则平面，
又平面，
所以平面平面；
(2)
如图所示，取中点，连接，作，连接，
则，，
又平面底面，且平面底面，
平面，故平面，，
，
，
又，
即，，
解得，
故点到平面的距离为.
【变式训练4-2】、（2021·西藏林芝·高三阶段练习（文））如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点.
(1)求证：平面平面.
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得证；
（2）利用等体积法，计算体积即可.
(1)
证明：几何体是直棱柱，底面，
又底面，，
直三棱柱的底面是正三角形，是的中点，.
又，平面，平面，
平面，平面平面；
(2)
为，在直角中，可得，
等边三角形的边长为2，，，
利用等体积法知.
重难点题型突破03 综合应用
例5．（2022·辽宁实验中学高三阶段练习）如图，在正三棱柱中，各棱长均为2，D是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面ABC所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点为，的中点为，连接，可得平面，从而得到所证的面面垂直.
（2）延长交的延长线于，连接，可证为平面与平面ABC所成的锐二面角，根据可得其大小.
(1)
取的中点为，的中点为，连接，
由正三棱柱可得平面，而平面，
故，而为等边三角形，，所以，
在中，、分别为所在棱的中点，故，
而，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
由可得平面，
而平面，故平面平面.
(2)
延长交的延长线于，连接.
因为，故，由可得，
所以，
因为为等边三角形，故，所以，
所以为直角三角形且，
故为平面与平面ABC所成的锐二面角，
在中，，故，
所以平面与平面ABC所成的锐二面角为.
例6．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据直线与平面位置关系，把问题转化为全等三角形问题即可证明；
（2）用等面积法建立二面角与线面角关系，当线面角满足正弦最大时，即可求二面角大小．
(1)
证明：分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，
从而可得；
(2)
解：由（1）知，是二面角的平面角，设，，
在中，，
过点作于，则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．
例7．（2022·浙江绍兴·高三期末）如图，三棱锥中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）若分别是中点，连接，由已知条件及勾股定理可得、，根据线面垂直的判定和面面垂直的判定即可证结论.
（2）由（1）可得，结合面面垂直的性质求到面的距离，由等体积法求到面的距离，进而求直线与平面所成角的正弦值.
(1)
如下图，若分别是中点，连接，令，
由，即△为等腰直角三角形，则；
在等腰△中，可得 且，又，
所以，即，又且面，
所以面，而面，故平面平面.
(2)
由（1）知：，，则，即，
若为到上的高，则，可得，
又面面，且面面，易知到面的距离为.
所以，又，，
若到面的距离为，则，可得，又，
所以直线与平面所成角的正弦值.
例8．（2022·重庆南开中学模拟预测）如图所示，四棱锥中，△为正三角形，，，，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求与面所成角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，可得，根据平行四边形的性质并连接，取中点，连接，，则△，△均为正三角形，可得且，根据线面、面面垂直的判定证明面面，延长，作于，由面面垂直的性质有面，进而求、，再由棱锥的体积公式求的体积；
（2）连接，根据余弦定理可得，再由勾股、余弦定理及同角三角函数的平方关系求、，进而求，利用求到面的距离，即可求与面所成角的正弦值.
(1)
，取的中点，连接，可得，，，
由平行四边形，可得，连接，取中点，连接，，
△，△均为正三角形，
且，又，
面，又面，
面面，
，，可得，
延长，作于，
面面，且面面，
面，
，，
.
(2)
连接，在△中，，
，，，
由余弦定理有：，可得，
，
，，
，又，
设到面的距离为，，，
，可得，
设与面所成角为，则.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·黑龙江·一模（理））设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
A. 若，，则两直线平行，相交，异面，故A错误；
B. 若，，与平行或相交，故B错误；
C. 若，，，则平行或异面，故C错误；
D. 若，，则，若，，故D正确.
故选：D
2．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的个数为（ ）
命题①：若，，则 命题②：若，，则
命题③：若，，则 命题④：若，，则
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由线面平行的性质定理及面面垂直、线面垂直的性质定理入手，依据线面平行、面面平行、线面垂直的判定定理去判定推理即可解决.
【详解】
命题①：若，，则或与相交.判断错误；
命题②：若，，则由线面垂直的性质可得.判断正确；
命题③：若，，则与相交或或.判断错误；
命题④：若，，则与相交或平行或.判断错误.
故选：D
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在正方体中，点P是线段上的一个动点，有下列三个结论：
①面；
②；
③面面．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③C．①③D．①②
【答案】A
【解析】
【分析】
对于①. 先证明平面平面即可判断；对于②.先证明平面即可判断；对于③.由②有平面从而可判断.
【详解】
对于①. 在正方体连结
可得，又平面,平面, 所以平面
,又平面,平面, 所以平面
又，所以平面平面
又平面，所以面，故①正确.
对于②. 连结
在正方体中，平面，则
又,且，所以平面
而平面,所以
又, 平面,平面,则
由，所以平面
而平面，所以,有
所以平面,平面,所以，故②正确.
对于③. 由②可知平面，又平面
所以面面，即面面，故③正确.
故选：A
4．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（ ）
①平面；
②平面；
③平面平面.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
通过线线垂直证明线面垂直及面面垂直，通过线线平行证明线面平行.
【详解】
三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，
又为的中点，所以,且,平面ABA1,
所以平面，
又平面，所以平面平面，故①③都正确；
连接交于点，再连接，可知为的中位线，
所以，又平面，在平面外，
所以平面，故②正确.
故选：D
5．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45°
D．异面直线MN与DD1所成角为60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】
取中点，连接，证明平面平面，得线面平行，判断A，证明平面，得线线垂直判断B，确定直线MN与平面ABCD所成角判断C，由异面直线所成角的定义判断D．
【详解】
取中点，连接，如图，因为M､N分别为AC，A1B的中点，
所以，，
又，
所以，，
平面，平面，所以平面，同理平面，
而，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，A正确；
由正方体性质，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；
由平面，得平面，所以是直线与平面所成的角，由选项A可得，由平面，得，所以，即直线与平面所成的角是，C正确；
而，，所以是直线直线MN与DD1所成角，D错误．
故选：ABC．
6．（2021·湖南·常德市第二中学高二期末）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（ ）
A．BC⊥PC
B．OM⊥平面ABC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
A选项先证线线垂直，，得到线面垂直，最后得到线线垂直；
B选项先利用中位线证明，进而得到OM⊥平面ABC；
C选项先证线线垂直，，得到线面垂直面，即可得出结论；
D选项利用底面相等时，高的关系求出体积关系.
【详解】
A选项：△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，，又直线PA垂直于圆O所在的平面，，，面，又面，，正确；
B选项：点M为线段PB的中点，，又直线PA垂直于圆O所在的平面， OM⊥平面ABC，正确；
C选项：△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，，又直线PA垂直于圆O所在的平面，，，面，点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，正确；
D选项：点M为线段PB的中点，M到平面PAC的距离等于B到平面PAC的距离的一半，三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，又M到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距离的一半，三棱锥M-ABC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半， 三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥M-ABC体积，正确.
故选：ABCD.
7．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））在三棱锥中，，，，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求钝二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，过作于，交于，连接，则由已知数据可求出，则可得，再由∽，可求出，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得，然后利用线面垂直定理和面面垂直定理可证得结论，
（2）过作于，过作于，交于，连接，则即为二面角的平面角，然后根据已知条件在中求解即可
(1)
证明：取的中点，连接，过作于，交于，连接，
因为，为的中点，所以，
因为，， ，
所以，所以，
所以，
在中，，
因为,
所以∽，
所以，
因为， ，，
所以，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
(2)
过作于，过作于，交于，连接，则即为二面角的平面角，
在中，于，，
所以，所以，
因为 ，所以，
所以，
在中，，
在中，，
所以,
所以,
在中，，则,
在中，,
所以,
所以钝二面角的余弦值为
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
(1)
因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．
(2)
由题可知、、两两垂直，建系如图，
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α