(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 期末测试卷（B卷 能力提升）原卷版+解析

高一（下）期末测试卷（B卷 能力提升）数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2019·重庆巴蜀中学高一期末）已知向量，若，则k＝（       ）A． B．4 C． D．﹣42．（2021·广东茂名·高一期末）复数z的共轭复数为，则“z为纯虚数”是“”的（       ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2021·广东茂名·高一期末）如图，四边形中，，，则（       ）A． B． C． D．4．（2021·广东茂名·高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是(       )A． B． C． D．5．（2021·广东茂名·高一期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（       ）A． B． C． D．6．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法错误的是（       ）A．直线平面B．异面直线与所成角为C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于7．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成A． B． C． D．8．（2021·天津·高一期末）下列四个命题正确的个数为（       ）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为.A．3 B．2 C．1 D．0二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．（2021·广东茂名·高一期末）、、表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是（       ）A．若，，，则B．若，，，，则C．若，，、、，，则D．若，，，则10．（2021·广东茂名·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（       ）A． B． C． D．111．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足且，，将沿直线DE折到的位置，在翻折过程中，下列结论不成立的是（       ）A．在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDEC．若，当二面角为直二面角时，D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为12．（2021·河北安平中学高一期末）某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（       ）A．众数的估计值为B．中位数的估计值为C．平均数的估计值为D．样本中有名同学阅读时间不低于分钟三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2019·重庆巴蜀中学高一期末）已知单位向量夹角为，则_____．14．（2021·广东茂名·高一期末）事件、互相独立，若，，则______．15．（2021·广东茂名·高一期末）已知向量，，若，则__________．16．（2021·广东茂名·高一期末）如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·广东茂名·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．18．（2021·广东茂名·高一期末）为了调查中小学生课外使用互联网的情况，教育部向华东、华北、华南和西部地区60所中小学发出问卷10000份，10000名学生参加了问卷调查．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图）．(1)要从这10000名中小学生中用分层抽样的方法抽取100名中小学生做进一步调查．则在(小时)时间段内应抽出的人数是多少？(2)若希望使70%的中小学生每天使用互联网时间不少于(小时)，请估计的值．19．（2021·广东茂名·高一期末）我市甲，乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额．推向国内外，创造更高的收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品．参加2021年的广交会．现从甲、乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测．得到质量指数如下表：规定：质量指数在90以上（包括90）的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：(1)若从甲．乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率；(2)若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是我市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？20．（2021·广东茂名·高一期末）如图，在棱台中，底面与互相平行且相似，底面为菱形，，，平面，．（1）平面，求证：平面；（2）求三棱锥的体积．21．（2021·河北张家口·高一期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.22．（2021·河北张家口·高一期末）在梯形中，，E是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接，，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）求点A到平面的距离.甲9089938791乙9288908892高一（下）期末测试卷（B卷 能力提升）数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2019·重庆巴蜀中学高一期末）已知向量，若，则k＝（       ）A． B．4 C． D．﹣4【答案】D【解析】【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k．【详解】∵，∴，∴k＝﹣4．故选：D．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于中档题.2．（2021·广东茂名·高一期末）复数z的共轭复数为，则“z为纯虚数”是“”的（       ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据复数的基本概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由z为纯虚数，设，可得，则；当z是实数0时，即，可得，则，但此时z不是纯虚数，所以“z为纯虚数”是“”的充分不必要条件．故选：B.3．（2021·广东茂名·高一期末）如图，四边形中，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.【详解】，．故选：A.4．（2021·广东茂名·高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是(       )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据已知条件分别求出基本事件总个数和满足任意两个素数之和不是合数的基本事件数即可求解.【详解】在“2，3，5，7，11”这5个素数中任取两个，其和有10种不同的情况如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18，其中两素数之和不是合数的有5，7，13共3种，所以任取两个素数，其和不是合数的概率为.故选：B.5．（2021·广东茂名·高一期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成．大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率．故选：D.6．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法错误的是（       ）A．直线平面B．异面直线与所成角为C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于【答案】B【解析】【分析】由直线与平面垂直的判定及性质得到，，得到直线平面，判定A正确；求出异面直线所成角判断B错误；由直线与平面平行说明到平面的距离为定值判断C正确；由直线与平面平行的性质判断D正确．【详解】解：连接，，，，平面，则，同理，，直线平面，故A正确；，，四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，又，则，即异面直线与所成角为，故B错误；，平面，平面，平面．可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故C正确；平面，平面，设平面与底面的交线为，由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故D正确．故选：B．7．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．8．（2021·天津·高一期末）下列四个命题正确的个数为（       ）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】【分析】对于①，利用列举法分析判断，对于②，利用百分位数的定义求解即可，对于③，利用列举法分析判断【详解】①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为种，向上点数之和不小于10的基本事件有，，，，，共6种，所以所求事件的概率，故①正确，②：因为，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65，故②正确，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率，故③正确，故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．（2021·广东茂名·高一期末）、、表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是（       ）A．若，，，则B．若，，，，则C．若，，、、，，则D．若，，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据线线、线面、面面关系，逐一判断可得选项.【详解】解：选项A，因为，，，所以，故A正确；选项B，因为，，，，所以或与相交，故B不正确；选项C，，，，，，，此时点不一定在平面内，所以不正确，故C不正确；选项D，由，，，则与可能平行，也可能异面，故D不正确．故选：BCD．10．（2021·广东茂名·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（       ）A． B． C． D．1【答案】AD【解析】【分析】设与的夹角为，由，解得，由数量积夹角公式计算即可求得结果.【详解】设与的夹角为，则，得，解得．又与的夹角都是，而，，，所以，解得或，故选：AD．11．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足且，，将沿直线DE折到的位置，在翻折过程中，下列结论不成立的是（       ）A．在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDEC．若，当二面角为直二面角时，D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】对于 A，根据平行关系可得直线与平面相交；对于B，根据的范围不可能得出平面平面BCDE；对于C，结合余弦定理可求；对于D，表示出体积的表达式·，利用函数单调性求最大值或者利用导数求最大值.【详解】对于 A，在边上存在点F，在A'D上取一点N，使得FN//ED，在ED上取一点H，使得NH// EF，作HG//BE交BC于点G，如图所示，则可得FN平行且等于BG，即四边形BGNF为平行四边形，NG//BF，而GN始终与平面A'CD相交，,因此在边A'E上不存在点F，使得在翻折过程中，满足BF//平面A'CD，A不正确.对于B，作于，交于，因为，所以,在翻折过程中，点在底面BCDE的射影不可能在直线BC上，因此不满足平面A'BC平面BCDE，因此B不正确.对于C，时，当二面角A'-DE-B为直二面角时，取ED的中点M，如图所示，可得平面BCDE，，因此C不正确；对于D，在翻折过程中，取平面A'ED平面BCDE，四棱锥A'- BCDE体积,;（法一）设，因为，所以，即，所以为增函数；同理可证时，为减函数；所以函数取得最大值因此D正确.（法二），，当时，，为增函数；当时，，为减函数；可得时，函数取得最大值因此D正确.综.上所述，不成立的为ABC.故选：ABC.【点睛】本题利用运动的观点理解空间线面、面面位置关系、四棱锥的体积等，在动态中找寻不变的平行关系，垂直关系是解题的关键.12．（2021·河北安平中学高一期末）某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（       ）A．众数的估计值为B．中位数的估计值为C．平均数的估计值为D．样本中有名同学阅读时间不低于分钟【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图估计各数据特征：频率最大的那组数据的中间值为估计众数，频率为0.5对应的点的值为估计中位数，各组数据中间值乘以频率相加可得估计平均值．求出不低于40分钟阅读时间的频率再乘以总体容量即可得所求人数．【详解】由频率分布直方图知的频率最大，因此众数估计值为35，A正确；由于的频率为，中位数是30，B错误；平均值估计为，C正确；不低于分钟的人数为，D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2019·重庆巴蜀中学高一期末）已知单位向量夹角为，则_____．【答案】1【解析】【分析】利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．【详解】单位向量夹角为，则1．【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及向量的模的求法，属于容易题.14．（2021·广东茂名·高一期末）事件、互相独立，若，，则______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，利用独立事件的乘法公式即可求解.【详解】因为事件、互相独立，，，从而，又因为，所以，所以.故答案为：.15．（2021·广东茂名·高一期末）已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由得，所以，，因此，.故答案为：.16．（2021·广东茂名·高一期末）如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】取，的中点E，F，根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理证明平面平面，由此确定直线l，再确定直线l与直线所成角，解三角形求其大小.【详解】依题意，分别取，的中点E，F，连接，，，，．因为正三棱柱的棱长均为2，所以四边形为正方形，由点M是侧棱的中点，得．因为平面，所以，，所以平面，所以平面平面，所以过点与平面垂直的平面与侧面的交线l即为．又因为，可得直线l与直线所成角即与所成的角，在中，，，，，所以直线l与直线所成角的余弦值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·广东茂名·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）向量，对应的复数分别为，.利用即可得出得出结果.（2）， 对应的点在第二象限，计算可得，，进而计算即可得出结果.【详解】解：（1）由题意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，可得，，，可得．18．（2021·广东茂名·高一期末）为了调查中小学生课外使用互联网的情况，教育部向华东、华北、华南和西部地区60所中小学发出问卷10000份，10000名学生参加了问卷调查．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图）．(1)要从这10000名中小学生中用分层抽样的方法抽取100名中小学生做进一步调查．则在(小时)时间段内应抽出的人数是多少？(2)若希望使70%的中小学生每天使用互联网时间不少于(小时)，请估计的值．【答案】(1)25；(2)．【解析】【分析】(1)首先根据频率分布直方图求出抽取的100名中小学生，每天使用互联网的时间在(小时)时间内的频率，然后利用频率计算公式即可求解；(2)首先根据已知条件确定取值范围，然后再利用频率分布直方图中频率的几何意义即可求解.【详解】(1)由频率分布直方图可知，抽取的100名中小学生，每天使用互联网的时间在(小时)时间内的频率是，不妨设在(小时)时间段内应抽出的人数为，则，解得，，所以在(小时)时间段内应抽出的人数是．(2)由频率分布直方图可知，后3组的频率之和为，后4组的频率之和为，希望使70%的中小学生每天使用互联网的时间不少于(小时)，则，所以，解得.19．（2021·广东茂名·高一期末）我市甲，乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额．推向国内外，创造更高的收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品．参加2021年的广交会．现从甲、乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测．得到质量指数如下表：规定：质量指数在90以上（包括90）的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：(1)若从甲．乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率；(2)若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是我市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？【答案】(1)；(2)应选择乙企业．【解析】【分析】(1)根据已知条件分别写出基本事件总数和“取出的2件优质品中甲，乙企业各一件”的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；(2)分别计算甲、乙两个企业的产品质量指数的方差，即可求解.【详解】(1)甲企业优质品有3件，设为A，B，C，乙企业优质品有3件，设为，，．随机取出2件的结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中取出的2件优质品中，甲乙企业各一件的结果有，，，，，，，，，共9种，所以取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率为．(2)甲企业产品质量指数的平均值为，方差为，乙企业产品质量指数的平均值为，方差为．因为两企业的平均值相同，且，所以乙企业产品质量更稳定些，应选择乙企业．20．（2021·广东茂名·高一期末）如图，在棱台中，底面与互相平行且相似，底面为菱形，，，平面，．（1）平面，求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理可以解决；（2）先将待求的体积转化，变成容易求底面积的三棱锥，最后解决求高的问题即可.【详解】（1）证明：因为底面与互相平行且相似，且为菱形，所以，且平面，所以平面．又平面，平面，所以，又平面，所以平面．（2）解：依题意，，所以，因为，，所以．延长侧棱交于点P，设，易知，，所以，，在中，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以三棱锥的高为，所以，所以三棱锥的体积为．21．（2021·河北张家口·高一期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.【详解】解：（1）由题意得众数为75，的频率为，的频率为，设中位数为a，，.（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，从抽取的人数：.22．（2021·河北张家口·高一期末）在梯形中，，E是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接，，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）.【解析】【分析】（1）由，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）由，得异面直线与所成角就是直线与所成角，分别求出的三条边长即可得出答案；（3），利用等体积法即可得出答案.【详解】（1）证明：由题意知，平面，平面，平面.（2）由（1）知，异面直线与所成角就是直线与所成角，，，四边形是平行四边形，，，，原图中，，，在中，由余弦定理得，，折叠后，，，，连接，在中，由余弦定理得，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，在中，，在中，，，异面直线与所成角为90°.（3）由（2）知，，，，、平面，平面，.，设点A到平面的距离为，，，.甲9089938791乙9288908892