(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积（重难点突破）原卷版+解析，共28页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，课堂训练等内容，欢迎下载使用。

二、考点梳理
知识点一 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识点二 平面向量的坐标运算
知识点三 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.,
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
知识点四 向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(运算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题。
三、题型突破
重难点题型突破1 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
（2）．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一阶段练习）（多选题）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-2】、（2021·安徽·高三阶段练习（理））在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
重难点题型突破2 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
(4)a·b＝x1x2＋y1y2.
(5)|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
例2．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
(2)．（2021·全国·高一课时练习）若，，则______．
(3)．（2021·江苏·镇江市实验高级中学高一阶段练习）(多选题)已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一单元测试）若向量，，，则___________.
【变式训练3-3】、（2022·湖南·高一课时练习）已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
重难点题型突破3．平面向量数量积
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(4)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
(3)cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
例4．（1）、（2021·上海·高一课时练习）已知点A（-1，1）､B（1，2）､C（-2，-1）､D（3，4），则向量在方向上的投影为___________.
（2）．（2022·全国·高三专题练习）已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
（3）．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-1】、（2021·全国·高一单元测试）已知向量，，若，则________．
【变式训练4-2】、（2021·全国·高一课时练习）已知，的夹角为，则使向量与的夹角为锐角的的取值范围是____.
重难点题型突破4 平面向量的应用（平行与垂直）
知识点1 平面向量的平行与垂直
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
例5．（1）、（2021·全国·高一单元测试）若向量，，且，则___________.
（2）．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A．0B．C．1D．3
【变式训练5-1】、（2021·全国·高一课时练习）若，，且，则______．
【变式训练5-2】、（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，若与平行，则___________.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
2．（2021·全国·高一课时练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2021·全国·高一单元测试）已知向量，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．-8B．-6C．-1D．6
6．（2021·全国·高一课时练习）在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
7．（2021·全国·高一单元测试）在中，为的中点，点满足，若，则___________.
8．（2021·全国·高一单元测试）已知，，若，则实数的值为______.
9．（2021·全国·高一单元测试）若向量，，则___________.
10．（2021·全国·高一课时练习）已知，，则在方向上的数量投影为______．
运算
坐标表示
和(差)
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数
任一向量的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，
其中a＝(x，y)，a为非零向量
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识点二 平面向量的坐标运算
知识点三 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.,
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
知识点四 向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(运算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题。
三、题型突破
重难点题型突破1 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基底不共线原则判断即可.
【详解】
解：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
（2）．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一阶段练习）（多选题）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．
【详解】
解：，点在边上，
，
故选：．
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.
【详解】
A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.
B选项，不平行，可以作为基底.
C选项，，所以平行，不能作为基底.
D选项，不平行，可以作为基底.
故选：AC
【变式训练1-2】、（2021·安徽·高三阶段练习（理））在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
延长，交于点，则三点共线，运用可求解.
【详解】
延长，交于点，则三点共线，于是可得，因且，所以，于是，.
故选：D
重难点题型突破2 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
(4)a·b＝x1x2＋y1y2.
(5)|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
例2．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量减法法则计算．
【详解】
故选：A.
(2)．（2021·全国·高一课时练习）若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积的运算直接可得.
【详解】
由已知的坐标表示为，的坐标表示为，
所以，
故答案为：.
(3)．（2021·江苏·镇江市实验高级中学高一阶段练习）(多选题)已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，由两向量平行的条件验证即可；对于B，通过计算来判断，对于C，直接计算验证；对于D，计算后判断
【详解】
解：，
对于A，因为，所以不共线，所以A错误；
对于B，因为，所以，所以B正确；
对于C，因为，，所以，所以C错误；
对于D，因为，，所以，所以D正确，
故选：BD
【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算法则求解.
【详解】
因为向量，，
所以
故选：A.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一单元测试）若向量，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量线性运算的坐标表示计算．
【详解】
由已知．
故答案为：．
【变式训练3-3】、（2022·湖南·高一课时练习）已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据向量的数量积的坐标运算公式即可求解；
（2）根据向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
(1)因为，，
所以；
(2)
因为，，
所以.
重难点题型突破3．平面向量数量积
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(4)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
(3)cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
例4．（1）、（2021·上海·高一课时练习）已知点A（-1，1）､B（1，2）､C（-2，-1）､D（3，4），则向量在方向上的投影为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出，，再根据投影的定义即可得出答案.
【详解】
解：，
所以向量在方向上的投影为.
故答案为：.
（2）．（2022·全国·高三专题练习）已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算可得，即得.
【详解】
∵向量
∴，
∴.
故选：B.
（3）．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解.
【详解】
由，，
则，，
，
设与的夹角余弦值为，
所以
.
故选：C
【变式训练4-1】、（2021·全国·高一单元测试）已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行可以求出的值，从而确定的坐标，根据模长公式计算向量的模长
【详解】
，，，，
．
故答案为：
【变式训练4-2】、（2021·全国·高一课时练习）已知，的夹角为，则使向量与的夹角为锐角的的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得，进而结合向量运算得，解不等式得或，再考虑与共线同向时，，进而可得答案.
【详解】
因为与的夹角为锐角，
所以，即，
因为，的夹角为
所以 ，解得或.
当与共线同向时，，
故的取值范围是
故答案为：
重难点题型突破4 平面向量的应用（平行与垂直）
知识点1 平面向量的平行与垂直
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
例5．（1）、（2021·全国·高一单元测试）若向量，，且，则___________.
【答案】13
【解析】
【分析】
利用向量平行的充要条件列方程求x.
【详解】
因为向量，， ，
所以，
解得：x=13.
故答案为：13
（2）．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A．0B．C．1D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.
【详解】
因为向量，，且，
所以，即，
所以有，解得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：
（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；
（2）根据向量数量积运算法则进行化简；
（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.
【变式训练5-1】、（2021·全国·高一课时练习）若，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量垂直的充要条件列方程即可求解.
【详解】
因为，，且，
所以3x+3=0，
解得：.
故答案为：-1.
【变式训练5-2】、（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，若与平行，则___________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据向量，，求得与的坐标，再由 与平行求解.
【详解】
因为向量，，
所以，，
又因为与平行，
所以，
解得，
故答案为：-2
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.
【详解】
平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
故选：D
2．（2021·全国·高一课时练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.
【详解】
不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B
3．（2021·全国·高一单元测试）已知向量，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意得，再求出与，最后利用向量共线的坐标表示计算即可得答案.
【详解】
解：∵
∴
∴ ，
，
∵ 与共线，
∴ ，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示，是基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】
解：
故选：C.
【点睛】
本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.
5．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．-8B．-6C．-1D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，再解方程即得解.
【详解】
由题得，
因为，
所以.
故选：C
6．（2021·全国·高一课时练习）在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立.
【详解】
解：如下图所示，
由平面向量的加法法则可得，
，，
因为，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
7．（2021·全国·高一单元测试）在中，为的中点，点满足，若，则___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理和向量的线性运算即可求得.
【详解】
在中，为的中点，所以.
因为，所以,
所以,即，
所以，所以.
故答案为：.
8．（2021·全国·高一单元测试）已知，，若，则实数的值为______.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
先用向量的坐标运算法则求出，再根据向量平行所满足的公式进行求解.
【详解】
，由于，所以，解得：
故答案为：
9．（2021·全国·高一单元测试）若向量，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量加减法坐标运算求解．
【详解】
．
故答案为：．
10．（2021·全国·高一课时练习）已知，，则在方向上的数量投影为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.
【详解】
根据题意，可知在方向上的数量投影为.
故答案为：.
运算
坐标表示
和(差)
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数
任一向量的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，
其中a＝(x，y)，a为非零向量