(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题03 平面向量与三角形“四心”（课时训练）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题03 平面向量与三角形“四心”（课时训练）原卷版+解析，共33页。

A．－B．－C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．（2021·全国·模拟预测）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·新疆·莎车县第一中学高二阶段练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5B．2C．D．
8．（2021·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（ ）
A．6B．8C．12D．15
9．（2021·山东菏泽·高三期中）已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
10．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·江西省崇义中学高一期中）已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
12．（2022·全国·）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．垂心D．内心
13．（2022·全国·）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．外心
C．重心D．垂心
14．（2021·上海·）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
15．（2010·湖北夷陵·（理））已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心B．垂心C．重心D．AC边的中点
16．（2020·湖北随州·）已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
17．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
18．（2019·河南南阳·高三期中（理））奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·江西临川·模拟预测（理））梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·江西景德镇·模拟预测（文））已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则_________.
21．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
22．（2019·吉林·长春市实验中学（理））是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．
23．（2021·全国·）已知，，是平面内不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）.
24．（2019·全国全国·）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．
B组 能力提升
25．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）（多选题）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022·山东枣庄·高三期末）（多选题）已知在等腰中，是底边的中点，则（ ）．
A．在方向上的投影向量为
B．在边上存在点使得
C．
D．
27．（2022·山东莱西·高三期末）（多选题）已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2021·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
专题03 平面向量与三角形“四心”
A组 基础巩固
1．（2022·福建三明·高三期末）已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（ ）
A．－B．－C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由△ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.
【详解】
，即△ABC为等腰直角三角形，即
点O是△ABC的外心，点O是的中点
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量可求解．
【详解】
解：因为，
所以
即，
所以，即.
故选：C
3．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
，因为，故得到，，变形得到，故得到在的角平分线上，同理在的角平分线上，进而得到答案.
【详解】





在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.
故选：B.
4．（2021·全国·模拟预测）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【解析】
【分析】
令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，
再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.
【详解】
设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，于是有，
则
，
在中，，则，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理有，于是得，
因此，，
所以2021.
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量数量积的夹角公式可得，设，，，，，，根据数量积的坐标表示可得点的轨迹为圆，由几何意义可知：的最小值为减去半径即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以
不妨设，，，，，
，
则，，
因为，所以，
化简为：，
所以对应的点是以为圆心，半径为的圆，
所以的最小值为，
故选：B.
6．（2021·新疆·莎车县第一中学高二阶段练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.
【详解】
因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.
故选：B
7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得是的中点，，再利用向量的数量积公式即可得解.
【详解】
在中，，，，
又为的外心，是的中点，
故选：D
8．（2021·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（ ）
A．6B．8C．12D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量关系可得，即可表示出面积关系.
【详解】
如图，设中点为，中点为，
因为，即，则，
即，
则，
所以的面积与的面积的比值是6.
故选：A.
9．（2021·山东菏泽·高三期中）已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．
【详解】
由与垂直，得，则，
所以1，
所以当时，的最小值为
故选：C
10．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算求出、的值，即可得解.
【详解】
设圆的半径为，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，
，，，
由，得，
所以，，解得，因此，.
故选：B.
11．（2021·江西省崇义中学高一期中）已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【详解】
A．因为，所以，
即
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以
，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：C
12．（2022·全国·）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【答案】C
【解析】
【分析】
根据得，
由即可求解.
【详解】
解：，
所以，
动点在的高线上，动点的轨迹一定通过的垂心，
故选：C
【点睛】
考查用向量的数量积证明向量垂直，进一步证明直线垂直，基础题.
13．（2022·全国·）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．外心
C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.
【详解】
解：设为的中点，则，
则，即，
三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：C.
14．（2021·上海·）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
由于分别表示向量方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，由已知条件可得与共线，由此可得结论
【详解】
因为分别表示向量方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线一致，
又因为，
所以，
所以向量的方向与的角平分线一致
所以点的轨迹一定经过的内心．
故选：B．
15．（2010·湖北夷陵·（理））已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．内心B．垂心C．重心D．AC边的中点
【答案】C
【解析】
【分析】
设△ABC的重心为G，则，结合题设，利用平面向量的运算法则可得，即G、P、C三点共线，从而可得结果.
【详解】
设△ABC的重心为G，∵，
∴
，
∴，∴G、P、C三点共线，故选C．
【点睛】
向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
16．（2020·湖北随州·）已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
由所给等式利用数量积的定义可得，推出O点为的角平分线上的点，同理O点为的角平分线上的点，即可判断.
【详解】
，，
即，
，O点为的角平分线上的点，
同理可得O点为的角平分线上的点，
所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心.
故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积的定义及运算律、三角形内心的概念，属于中档题.
17．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】
记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
18．（2019·河南南阳·高三期中（理））奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】
如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得.
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
19．（2020·江西临川·模拟预测（理））梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积，再结合几何概型中的面积型求概率即可.
【详解】
解:由图可知: ,,,
不妨设,
在中,由正弦定理可得,
则,
则阴影部分的面积为,
则在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为,
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理及三角形面积公式，重点考查了几何概型中的面积型，属中档题.
20．（2022·江西景德镇·模拟预测（文））已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出草图，利用平面几何的性质，可证，再根据，可得，再利用，可得，的夹角，再根据，利用数量积公式即可求出.
【详解】
根据题意，作出如下草图，
令，，
因为，由平行四边形法则，可得，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，所以
因为，所以，
所以，所以，所以
即，所以，
又，所以，即
所以平行四边形为菱形，
设，即向量，的夹角为，
因为，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以.
故答案为：.
21．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【答案】④
【解析】
【分析】
设BC的中点为D，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】
设BC的中点为D，
∵，
∴，
即，两端同时点乘，
∵= ===0，
所以，
所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
故答案为：④.
22．（2019·吉林·长春市实验中学（理））是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．
【答案】重心
【解析】
【分析】
由[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，得到点P的轨迹一定过△ABC的重心．
【详解】
∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），
且，
∴P、C、D三点共线，
又D是AB的中点，
∴CD为中线，
∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．
故答案为重心．
【点睛】
本题考查三角形重心性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量性质的合理运用．
23．（2021·全国·）已知，，是平面内不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）.
【答案】重心
【解析】
根据已知条件判断三点共线，结合重心的定义，判断出的轨迹过三角形的重心.
【详解】
∵点满足，且，
∴，，三点共线.
又是的中点，∴是边上的中线，∴点的轨迹一定过的重心.
故答案为：重心
【点睛】
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题.
24．（2019·全国全国·）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．
【答案】重.
【解析】
【分析】
由已知条件可知动点P满足，，我们取BC的中点D，易得点A，D，P三点共线，进而得到点P的轨迹一定通过的重心.
【详解】
设D为BC的中点，则，
于是有，
，P，D三点共线，
又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，
于是点P的轨迹一定通过的重心．
【点睛】
该题考查的是有关向量在几何中的应用，以及三角形四心，涉及到的知识点有三角形的中线向量，向量共线的条件，三角形的重心是中线的交点，属于简单题目.
B组 能力提升
25．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）（多选题）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】
由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
26．（2022·山东枣庄·高三期末）（多选题）已知在等腰中，是底边的中点，则（ ）．A．在方向上的投影向量为
B．在边上存在点使得
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出和的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可
【详解】
对于A，因为，在方向上的投影向量为，所以A错误，
对于B，如图建立坐标系，设，则
，
所以，
由，得，得，
因为，所以，所以在边上存在点使得，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：BCD
27．（2022·山东莱西·高三期末）（多选题）已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据题意，，且不能共线，再求解即可得实数的取值范围，进而得答案.
【详解】
解：因为，，与的夹角为，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且不能共线，
所以，解得，
当向量与向量共线时，有，即，解得，
所以实数的取值范围，
所以实数可能的取值为A，D
故选：AD
28．（2021·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，
再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.
【详解】
连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
29．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确.
【详解】
A项：，即，
，，，
同理可得，，
故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则
，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，
即，，
同理可得，
故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难题.