高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质学案，共9页。
1． SKIPIF 1 < 0 的有关概念：
2．用五点法画 SKIPIF 1 < 0 一个周期内的简图：
用五点法画 SKIPIF 1 < 0 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
3．由 SKIPIF 1 < 0 的图象求其函数式：已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 SKIPIF 1 < 0 ；由函数的周期确定 SKIPIF 1 < 0 ；确定 SKIPIF 1 < 0 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点 SKIPIF 1 < 0 作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
4．利用图象变换求解析式：由 SKIPIF 1 < 0 的图象向左 SKIPIF 1 < 0 或向右 SKIPIF 1 < 0 平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，将图象上各点的横坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍( SKIPIF 1 < 0 )，便得 SKIPIF 1 < 0 ，将图象上各点的纵坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍( SKIPIF 1 < 0 )，便得 SKIPIF 1 < 0 ．
要点诠释
1．根据 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
（1） SKIPIF 1 < 0 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(最高点－最低点,2)；（2） SKIPIF 1 < 0 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(最高点＋最低点,2)；（3） SKIPIF 1 < 0 的确定：结合图象，先求出周期 SKIPIF 1 < 0 ，然后由 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )来确定 SKIPIF 1 < 0 ；（4）求 SKIPIF 1 < 0 ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时 SKIPIF 1 < 0 已知)或代入图像与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定 SKIPIF 1 < 0 值时，由函数 SKIPIF 1 < 0 最开始与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 (即令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )确定 SKIPIF 1 < 0 ．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点）为 SKIPIF 1 < 0 ，其他依次类推即可．
2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 SKIPIF 1 < 0 而言的，如果 SKIPIF 1 < 0 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
典例强化
例1．已知函数=Acs()的图象如图所示，，则=（ ）
A． B． C．－ D．
例2．已知函数的图像如图所示，则 ．
例3．已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求的解析式；（2）当，求的值域．
举一反三
1．如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一个周期的图像．（1）写出f(x)的解析式；
（2）若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式．
2．右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．

知识点二：三角函数图像变换
1．三角函数图象的变换：（1）函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减；①把函数 SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像；②把函数 SKIPIF 1 < 0 向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像；③把函数 SKIPIF 1 < 0 向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像；④把函数 SKIPIF 1 < 0 向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像．
（2）伸缩变换: ①把函数 SKIPIF 1 < 0 图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像；②把函数 SKIPIF 1 < 0 图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像；③把函数 SKIPIF 1 < 0 图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像；④把函数 SKIPIF 1 < 0 图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像．
（3）由 SKIPIF 1 < 0 的图象变换出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 SKIPIF 1 < 0 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与性质的综合应用：
（1）的递增区间是，递减区间是．
（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．
SKIPIF 1 < 0 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 SKIPIF 1 < 0 解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，可由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即其对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ．（3）若 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则有 SKIPIF 1 < 0 ;若为奇函数则有 SKIPIF 1 < 0 ．（4） SKIPIF 1 < 0 的最小正周期都是 SKIPIF 1 < 0 ．
要点诠释
变换方式：
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）
的图象得的图象得
的图象得的图象
得的图象．
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
的图象得的图象
得的图象得的图象
得的图象．
典例强化
例1．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 具有性质（ ）
A． 最大值为1，图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称 B． 周期为 SKIPIF 1 < 0 ，图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
C． 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，为偶函数 D． 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，为奇函数
例2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，若将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例3．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
举一反三
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，若将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A． 在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
3．已知函数Y＝（A>0，ω>0）的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为（1）求函数解析式；（2）求函数的最大值，并写出相应的x的值；（3）求使Y≤0时，x的取值范围．
随堂基础巩固
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．函数的图像可以由函数的图像经过（ ）
A． 向右平移个单位长度得到 B． 向右平移个单位长度得到
C． 向左平移个单位长度得到 D． 向左平移个单位长度得到
3．函数的部分图象如图所示，则的解析式为 ( )
A． B． C． D．
4．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数f(x)＝(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
6．将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于原点对称，则函数在的最大值为（ ）
A． 0 B． C． D． 1
8．已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．
9．已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为，求函数的解析式．
课时跟踪训练
1．设，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D． 3
2．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
3．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g( x) 的图象，则 g( x) 的解析式为( )
A． B．
C． D．
4．函数在内的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．把曲线：向右平移个单位后得到曲线，若曲线的所有对称中心与曲线的所有对称中心重合，则的最小值为 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
6．函数的部分图象如图，求函数表达式；为若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数g(x)的解析式为.
7．已知函数的图像如图所示，的函数解析式；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
－ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0