河南省南阳市六校2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市六校2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 已知动直线与圆等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟试卷 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为.
因为，，，所以，.
又，则.
当时，单调递增，解，可得；
当时，单调递增，解，可得.
综上所述，.
故选：B.
2. 已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出中点，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：

不妨设，则满足；
易知，
又线段的中点为，可得；
即，代入方程可得，
整理得.
故选：D
3. 若，的图象是两条平行直线，则的值是
A. 或B. C. D. 的值不存在
【答案】B
【解析】
【详解】显然 或 时两条直线不平行，则由题意可得 ，解得 故选B．
4. 已知动直线与圆.则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直线变形为．利用直线系过定点，利用垂径定理和弦长公式即可得出．
【详解】直线变形为．
令解得
如图所示，故动直线恒过定点．
而，
设圆心到直线的距离为，则弦长为，故当最大时，弦长最小，
而当垂直直线时，此时最大，故弦长最小．
最小值为．
故选：C
5. 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离为2，这样与直线3x＋4y－11＝0距离为2的两条直线中一条与圆相交，另一条与圆相离，从而可得满足题意的点的个数．
【详解】圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，
与直线3x＋4y－11＝0距离为2的两条直线中一条与圆相交，另一条与圆相离，
∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个.
故选：B.
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离问题，主要考查直线与圆的位置关系．解题关键是转化为求圆心到已知直线的距离，从而判断出到已知直线距离为2的直线和圆位置关系．
6. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.
【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，
设反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线方程为，即，
又由反射光线与圆相切，可得，
整理得，解得或.
故选：D.
【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.
7. 已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，
∴若与关于x轴对称，则，即，
由图易知，当三点共线时取得最小值，
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：A.
8. 曲线与直线有两个交点时，实数k取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图直线过定点，要有2个交点，直线要在,之间，求出两直的斜率可得结果
【详解】解：曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图：

直线过定点，设半圆的切线BE的切点为E，
则BC的斜率为．
设切线BE的斜率为，，则切线BE的方程为，根据圆心A到线BE距离等于半径得
，，
由题意可得，∴，
故选：A．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. l的倾斜角等于B. l在x轴上的截距等于
C. l与直线垂直D. l上不存在与原点距离等于的点
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意先将直线方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令，求出的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为即可；对于D，算出原点到直线l的距离即可判断.
【详解】因为直线l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率为，
又l经过点，
所以直线l的方程为：，整理得.
对于A，由于直线l的斜率为，所以其倾斜角为，故A选项不正确；
对于B，在直线方程中令，解得，
所以l在x轴上的截距等于，故B选项不正确；
对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为，
又直线l的斜率为，所以，
所以l与直线垂直，故C选项正确；
对于D，由于原点到直线的距离为，
这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是，
因为，所以，，即，
因此l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确.
故选：CD,
10. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意作出图形，一方面：以长轴为直径的圆的直径为，且恰好将线段三等分，由此可知；另一方面：将双曲线渐近线方程与椭圆方程联立，结合弦长公式可得；最终结合 ，即可列出方程组求解.
【详解】如图所示：
因为，有公共焦点，
所以通过可得从而，
由题意以的长轴为直径的圆的直径为，
又因为恰好将线段三等分，
所以截椭圆的弦长为；
由双曲线得其一条渐近线方程，将其与椭圆方程联立得，
所以，
利用弦长公式可得，
整理得，
又因为，
所以解得：.
故选：AC.
11. (多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有（ ）
A. 长轴长为m＋n＋2RB. 焦距为n－m
C. 短轴长为D. 离心率
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用近地点和远地点到焦点的距离得到关于、的关系式，求得、值后再利用椭圆的几何性质和进行求解.
【详解】不妨设椭圆的焦距、长轴长分别为、，
由题意，得，
解得，
则长轴长为，即选项A正确；
焦距为，即选项B正确；
短轴长为，
即选项C错误；
离心率为，即选项D正确.
故选：ABD.
12. 已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于
B. 点到直线的距离大于
C 当最小时，
D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【答案】4x＋3y－6＝0
【解析】
【分析】
直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程．
【详解】由方程组可得P（0，2）．
∵l⊥l3，∴kl=﹣，
∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，
即4x＋3y－6＝0．
故答案为：4x＋3y－6＝0
14. 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________.
【答案】6
【解析】
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【详解】∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 ＝4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC2，CB＝R＝2，
∴切线的长|AB|6．
故答案为6．
【点睛】本题主要考查圆的切线长的求法，直线和圆相切的性质的合理运用，关键由圆的对称轴可知直线经过圆心求出a值.
15. 椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，P为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得，，再根据可得勾股定理，结合化简求解即可.
【详解】设，在双曲线中，渐近线为，
即，故，，，
不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：
，由双曲线定义可得：，
因为，∴，
而，
代入可得：，∴.
故答案为：
16. 已知直线上存在点满足与两点、连线的斜率与之积为，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设点，根据可求出点的轨迹方程，再由直线与点的轨迹有公共点，联立直线与点的轨迹方程，由可得出关于的不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】设点，由可得，化简可得，
由题意可知，直线与曲线有公共点，
联立，消去可得，①
当时，可得，此时方程①为，解得，不合乎题意；
当时，，化简得，
得且，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程的常用方法之一：直译法——“四步一回头”.
（1）建立合适的坐标系，设出动点的坐标；
（2）写出适合条件的点的集合；
（3）将翻译成代数方程；
（4）化简代数方程为最简形式.
一回头：回头看化简方程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．
求(1)BC边所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
【答案】(1) 2x＋3y＋7＝0;(2).
【解析】
【分析】（1）先判断A点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB、AC的方程，进而通过联立可得解；
（2）分别求|BC|及A点到BC边的距离d，利用S△ABC＝×d×|BC|即可得解.
【详解】(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．
∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．
由得B(7，－7)．
由得C(－2，－1)．
∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．
(2)∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，
∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系，直线的点斜式方程的应用，解答中熟记两条直线的位置关系和直线方程的形式是解答的关键，其中当两条直线垂直时，直线的斜率乘积等于，同时考查了学生的推理与运算能力.
18. 已知是的三个顶点，求证：的三条中线交于一点.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据三点坐标可得出三角形三条边的中点坐标，分别求出三条中线所在直线方程，联立解出交点即可得出结论.
【详解】根据已知条件画出平面直角坐标系，如下图所示：
设点E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，
易得坐标为.
所以得中线AF所在直线的方程为，
中线BG所在直线的方程
中线CE所在的直线方程为
联立，解得交点
检验可知满足中线CE所在直线的方程，
故的三条中线交于一点.
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】
【详解】试题分析：（1）设，圆的半径为，则，可得圆心的轨迹方程；（2）设，则 ，又根据点到直线距离公式得，解出，进而可得圆的半径，求得圆的方程．
试题解析：（1）设，圆的半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为．
（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得．由，得，此时，圆的半径，
由，得，此时，圆的半径，故圆的方程为或．
考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程．
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入．本题（1）就是利用方法①求的轨迹方程的．
20. 已知圆：.
（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.
【答案】（1），，；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据截距是否为零分类讨论，结合圆的切线性质进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.
设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，
①当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.
所以切线方程为.
②当时，切线方程为，即.
由点到直线的距离公式，得，.
所以切线方程为，.
综上，所求切线方程为，，.
（2）由圆的切线性质可知：，
∵，∴.
即.
整理得.
∴.
当时，最小，此时，
∴.
21. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程；
（2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 .
【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)，
由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)，
∴，解得，
∴圆C的半径为，
∴圆C的方程为.
（2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程，
由已知得，判别式①，
由根与系数的关系得，②，
由得.
又∵，，∴可化为③，
将②代入③解得，经检验，满足①，即，
∴.
【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.
22. 已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（1）求C的方程；
（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为，再对直线l进行分类讨论求弦长.
【详解】（1）依题意，圆M的圆心，圆N的圆心，故，由椭圆定理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为；
（2）对于曲线C上任意一点，由于（R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为；
若直线l垂直于x轴，易得；
若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，解得，故直线l：；有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，.