陕西省咸阳市秦都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份陕西省咸阳市秦都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了答卷前将装订线内的项目填写清楚等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各选项中的图形，一定相似的是（ ）
A．两个正方形B．两个矩形C．两个菱形D．两个平行四边形
2．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4，6，8，10B．3，4，5，6C．5，15，3，9D．8，6，2，1
3．用配方法解一元二次方程x²-4x-11=0时，下列变形正确的是（ ）
A．x-2²=15B．x+2²=15C．x-4²=15D．x+4²=15
4．如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，AB∥DE，AC∥DF，则DEAB的值为（ ）
（第4题图）
A．12B．25C．35D．45
5．对于实数a，b定义运算“※”为a×b=a+b²，例如3×2=3+2²=7，则关于x的方程x※（x＋1）＝5的解是（ ）
A．x＝－4B．x＝－1C．x₁=-1，x₂=4D．x₁=1，x₂=-4
6．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．C．D．
7．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗绿、白、蓝、红四个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟从四个杯身中随机取出一个，再从四个杯盖中随机取出一个，将取出的杯身和杯盖搭配在一起，则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A．18B．14C．34D．38
8．如图，正方形ABCD的边长为12，点E为AD上方一点，连接BE、CE，分别交AD于F、G两点，若BF＝EF，AF＝1，则CE的长为（ ）
（第8题图）
A．12B．24C．25D．26
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知关于x的方程x²+ax=0的一个根为x＝1，则a的值为___________．
10．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，若△ABC中的最大角是110°，则△DEF中的最大角为________°．
11．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问直田周长几何？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，它的周长是___________步．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（－2，0），B（0，1）均在坐标轴上，则点C的坐标为___________．
（第12题图）
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接CE、BF，交于点H，则EH的长为___________．
（第13题图）
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x(2x－4)＝3(2x－4)．
15．（5分）一个不透明的口袋中有黄色和蓝色的玻璃球共80个，小华每次从口袋中摸出一个球记录下颜色后再放回，通过多次试验后发现，摸到黄色玻璃球的频率稳定在0.25左右，请估计口袋中蓝色玻璃球的个数．
16．（5分）已知一元二次方程x²+3x-2023=0的两根分别为x₁、x₂，求x12x2+x1x22的值．
17．（5分）如图，BD为□ABCD的对角线，点E为边AB上一点，请用尺规作图法在边AD上求作一点F，使得△AEF∼△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）
（第17题图）
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0．
（1）若该方程的一个根为：x=3，求实数m的值；
（2）求证：无论m为何值，该方程总有实数根．
19．（5分）如图，AD为△ABC的一条中线，点E为BC的延长线上一点，以AD、DE为一组邻边作平行四边形ADEF，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形ADEF是矩形．
（第19题图）
（1）你添加的条件是______________；
（2）请根据你添加的条件，写出证明过程．
20．（5分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE//AC，AE//DF，BDAD=32，BF=36，求EF和FC的长．
（第20题图）
21．（6分）少年强，则国强，为增强青少年科技创新能力，某市举行了“青少年无人机设计大赛”，张帆和李明两位同学用自己设计的无人机进行模拟飞行游戏，如图，张帆的无人机一号从地面上的点A处出发，沿射线AM匀速飞行，李明的无人机二号从地面上的点B处出发，沿射线BN匀速飞行，已知两架无人机的飞行速度和起飞时间均相同，AB=12米，飞行6分钟后，两架无人机在空中点O处相遇，飞行10分钟后，张帆的无人机一号到达点C处，李明的无人机二号到达点D处，求点C与点D之间的距离CD．
（第21题图）
22．（7分）秦腔可以称为“百戏之祖”，是华夏民族文化的瑰宝，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，成为了中华民族精神财富的组成部分，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．甲、乙两位秦腔爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从A．《三娘教子》、B．《临潼山》、C．《白蛇传》、D．《和氏璧》、E．《三上殿》五部曲目中，分别随机选择一部，主办方做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别是这5个曲目的剧照，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行表演．
（1）甲所抽取的卡片正面是C．《白蛇传》的概率为__________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个人抽中A．《三娘教子》这个曲目的概率．
（第22题图）
23．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN=6，OM=5，求菱形ABCD的面积．
（第23题图）
24．（8分）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC=∠DCE=90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC于点G．
（第24题图）
（1）求证：△EFG∽△BFD；
（2）若AB=10，CD=6，求GF的长．
25．（8分）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元/箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱．
（1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图①，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F为边CD的中点，连接EF，若EF=3，则正方形ABCD的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF，试判断△AEF'的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边CD上，已知．AD=CD=120米，DE=40米，BC=160米，∠ADC=∠C=90°，AE、BE为果园内两条小路，现在BE的中点F处修建一个临时库房，沿DF修一条运输通道．
①判断△AEB的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度DF．
（第26题图）
试卷类型：B（北师大版）
秦都区2023～2024学年度第一学期期中调研试题（卷）
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．－1 10．110 11．120 12．（－1，3） 13．135
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解：移项，得x(2x－4)－3(2x－4)＝0，
因式分解，得(x－3)(2x－4)＝0，
∴x－3＝0或2x－4＝0，…………………………………………………………………………（3分）
解得x₁=3，x₂=2．……………………………………………………………………………………（5分）
15．解：80×0.25＝20（个），……………………………………………………………（4分）
80－20＝60（个），
∴估计口袋中蓝色玻璃球有60个．………………………………………………（5分）
16．解：∵一元二次方程x²+3x-2023=0的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-2023，……………………………………………（3分）
∴x12x2+x1x22=x1x2x1+x2=-2023×-3=6069……………………（5分）
17．解：点F如图所示．（答案不唯一）
……………………………………………………………（5分）
18．（1）解：将x＝3代入x²-mx+m-1=0，得
3²-3m+m-1=0，解得m＝4．……………………………………………（2分）
（2）证明：∵Δ=-m²-4m-1=m²-4m+4=m-2²≥0，
∴无论m为何值，该方程总有实数根．………………………………………………（5分）
19．解：答案不唯一，正确即可参照给分．
（1）AB＝AC………………………………………………………………………（1分）
（2）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高，即AD⊥BC．…………………………………………（3分）
又∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形………………………………………………………（5分）
20．解：∴AEDF，∴BDAD=BFEF，
即36EF=32，∴EF=24，………………………………………………………………（2分）
∴BE＝BF＋EF＝36＋24＝60．
∵DEAC，∴BDAD=BECE，………………………………………………………………（4分）
即60CE=32，∴CE=40，
∴CF＝CE＋EF＝64……………………………………………………………………（5分）
21．解：根据题意，得OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△COD∽△AOB，∴·㎡＝00/……………………………………………………………（3分）
∵张帆的无人机一号匀速飞行，且OA段用时6分钟，OC段用时4分钟，
∴OCOA=46=23，即CD12=23，
解得CD＝8m，即点C与点D之间的距离CD为8米．……………………………………（6分）
22．解：（1）15………………………………………………………………………………………………（2分）
（2）根据题意画树状图如下：
……………（5分）
由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙二人中，有一个人抽中A．《三娘教子》这个曲目的情况有8种，
∴甲、乙二人中，有一个人抽中A．《三娘教子》这个曲目的概率为820=25．………………………（7分）
23．解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∵MN＝6，∴AC＝2MN＝12，
∴OA=12AC=6．……………………………………………………………………………………（3分）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°
∴AD＝2OM＝10，…………………………………………………………………………（5分）
∴在Rt△AOD中，OD=AD2-OA2=8，
∴BD＝2OD＝16，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×12×16=96．……………………………………（7分）
24．（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，
∴∠CFE＝180°－∠ACB－∠CED＝90°，…………………………………………………………（2分）
∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°．
∵∠BGH＝∠EGF，∴∠DBF＝∠FEG，
∴△EFG∽△BFD………………………………………………………………………………（4分）
（2）∵AB＝10，CD＝6，
∴BC=102，DE=62，
∴DF=EF=CF=32，BF=72．
∵△EFG∽△BFD，……………………………………………………………………（6分）
∴FGDF=EFBF，即FG32=3272，
∴GF=927．…………………………………………………………………………………（8分）
25．解：（1）设每箱猕猴桃降价x元，依题意，得
(120－x－80)(20＋2x)＝1200，…………………………………………………………（2分）
整理，得x²-30x+200=0，
解得x₁=10，x₂=20．
答：每箱猕猴桃降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元．…………（4分）
（2）商家平均每天的盈利不能达到1800元，理由如下：
设每箱猕猴桃降价γ元，依题意，得
(120－y－80)(20＋2y)＝1800，……………………………………………………………………………（6分）
整理得：y²-30y+500=0．
∵Δ=b²-4ac=-30²-4×1×500=-1100<0，
∴此方程无解，
∴商家平均每天的盈利不能达到1800元……………………………………………………（8分）
26．解：（1）6………………………………………………………………………………（2分）
（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°．
∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，
∴∠BAE＋∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，……………………………………………………………………………………（4分）
∴△ADE≌△ABF（ASA），∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形……………………………………………………………………（5分）
（3）①过点A作AG⊥BC于点G，如图③．
∵∠ADC＝∠DCG＝∠AGC＝90°，
∴四边形ADCG是矩形．
∵AD＝CD，∴四边形ADCG是正方形，
∴∠GAD＝90°，AG＝CG＝AD＝CD＝120米，
∴BG＝BC－CG＝40米＝DE，
在△ABG和△AED中，AG＝AD，∠AGB＝∠ADE，BG＝DE，
∴△ABG≌△AED（SAS），
∴AB＝AE，∠BAG＝∠DAE，即∠BAE＝∠GAD＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形．…………………………………………………………………………………（7分）
②连接AF、CF，取CE的中点M，连接FM，如图③．
∵F为BE的中点，△ABE和△BCE都是直角三角形，
∴AF=CF=12BE．
在△ADF和△CDF中，AD=CD，DF=DF，AF=CF，
∴△ADF≌△CDF（SSS），∴∠CDF＝45°．
∵点F、M分别为BE、CE的中点，
∴FM为△BCE的中位线，
∴FM=12BC=80米，FM∥BC，……………………………………………………………………（9分）
∴∠DMF=∠DCB=90°，即△DFM为等腰直角三角形，
∴DF=2FM=802米，
即该运输通道的长度DF为802米．………………………………………………………………（10分）