广东省2024届普通高中毕业班高三第二次调研考试数学试题

这是一份广东省2024届普通高中毕业班高三第二次调研考试数学试题，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的学校、姓名、班级、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡名题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.若集合，，定义集合，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知，是椭圆：的两个焦点，双曲线：的一条渐近线l与交于A，B两点. 若，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
5.在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A.84B.85C.127D.128
6.已知是等差数列，数列是递增数列，则（ ）
A.B.C.D.
7.如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（ ）
A.B.C.D.
8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ）
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
10.若平面向量，，其中n，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则与同向的单位向量为
C.若且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为
D.若，则的最小值为4
11.已知，函数有两个极值点，，则（ ）
A.a可能是负数
B.若，则函数在处的切线方程为
C.为定值
D.若存在，使得，则
12.已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A.为奇函数B.的最小正周期为
C.的最大值为2D.在处的切线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出满足“直线：与圆：相切”的一个m的值_________.
14.已知O是坐标原点，点，且点M是圆C：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是_________.
15.已知圆锥的外接球半径为2，则该圆锥的最大体积为_______.
16.已知函数的最小值为0，则a的值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
（1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
（2）求小李同学当天穿连衣裙的概率.
18.（12分）
已知抛物线C：，焦点为F，准线为l，点Q在准线l上.倾斜角为的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限.
（1）若Q在x轴上，证明：直线的斜率等于；
（2）已知，线段的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形的面积为，求p.
19.（12分）
如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.
（1）求的取值范围；
（2）当α变化时，求四边形面积的最大值.
20.（12分）
记数列的前n项和为，已知，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若，，，求.
21.（12分）
如图，在三棱锥中，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知，函数，为的导函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论在区间上的零点个数；
（3）比较与的大小，并说明理由.
广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.0或14.15.16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
17.解：（1）设抽到红球的个数为X，则X服从参数为，，的超几何分布，X的取值可能为4，3，2，
，，
所以X的分布列为：
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，则当天穿连衣裙的概率为.
18.（1）证明：过点A作轴，垂足为H，过点A作，垂足为E，则四边形为矩形.
而，而，
由抛物线的定义，，而，故，从而.
（2）解：由题得，直线的方程为，设，，
联立，消去y，可得，
故，从而，.
于是线段的中点为.
又，所以直线的斜率为，故可得直线的方程为，即.
令，得，故，
令，得，故.
于是.
因为，故四边形的面积为，
解得.
19.解：（1）因为四边形的对角线交点位于四边形内部，所以，又因为为正三角形，，所以.
在中，由余弦定理得，
又因，
将，代入并整理得且，解得.
所以的取值范围是.
（2）在中，由余弦定理可得，，
由（1）知，所以，
又因为为正三角形，所以.
又，
所以
，
所以当，即时，且，
四边形的面积取得最大值，最大值为.
20.解：（1）因为，则当时，，
两式相减可得，则，
且当时，，解得，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以.
（2）因为，
则
.
21.解：（1）证明：在中，，所以，
过点D作于点O，连接，则，
因为，，为公共边，所以.
所以，且，又，所以，所以，
又因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：[解法一]设存在满足题意的点E，由（1）可知，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则，，，，
，，，
设，，则，
显然平面的法向量.
设平面的法向量，则，
取，则，，所以，
若二面角的正切值为，则其余弦值为，
则，
整理得，所以，又因为，所以，
所以，即当时，二面角的正切值为.
[解法二]过点E作于点F，过点F作（或的延长线）于点G，连接EG，
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，
而平面，所以，又，
所以平面，所以，所以即为二面角的平面角.
设，因为，所以，
所以，，，
由（1）得，则，故，
所以，
解得，所以当时，二面角的正切值为.
22.解：（1）当时，，其定义域为，
，令，得.
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，
则，.
因为，则，，则.
当时，则，
故，从而在上单调递减；
而，故当时，，
故在区间上无零点；即在区间上无零点；
当时，令，则，
因为，则，
从而，即在上单调递减；
而，，
因此存在唯一的，使得，
并且当时，；当时，.
即当时，，当时，.
故当时，单调递增，当时，单调递减.
而，故；
取，当时，，
所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点.
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上没有零点.
（3）
理由如下：
[解法一]由（2）可得，当时，在上恒成立.
即当时，，.
以下证明不等式：当时，有.
令，则，故在上单调递减，则，即，，即有，
而，故，.
取，则有.
[解法二]显然，故，
以下证明不等式：当时，有.
令，则令，得.
故当时，，从而在上单调递增；
当时，，从而在上单调递减.
故是的极大值点，并且是最大值点，
故，即，.
取，则，故，
故，从而题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
D
D
C
A
B
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BD
BCD
AD
X
4
3
2
P