山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题

这是一份山东省青岛市莱西市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，已知奇函数在R上是增函数，，已知向量，，则在上的投影向量为，已知向量，是非零向量，设甲，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若P为线段中点，则点P到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ）
A．4048B．－4048C．2024D．－2024
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数图象的一条对称轴．
B．函数在上单调递减．
C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上的最小值为，则m的最大值为．
D．在上有2个零点，则实数a的取值范围是．
11．在中，D是BC边的中点，E是边AC的三分之一分点（靠近点A的），AD与BE交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则______．
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则______．
15．若，，，则2ab的最小值为______．
16．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，．
（1）证明：是等腰三角形
（2）若，求
18．（12分）已知函数．
（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．
（2）若，求在区间上最大值．
19．已知且，函数在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个：
①函数为奇函数；②；③．
（1）从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b．
（2）设函数，，若对，总，使得成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，．
（1）求证：；
（2）若，且平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．求PC的长．
21．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）若，求C；
（2）若，且，求的最小值．
22．（12分）已知函数（……是自然对数底数）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：．
高三教学质量检测（一）
数学试题参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B2．C3．A4．D5．A6．C7．B8．D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC10．BC11．ABD12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．816．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．解：（1）因，，
由正弦定理，
得，
所以，所以是等腰三角形
（2），则，，，
所以在中，由余弦定理，得：
，
在中，∵，∴
∴
18．解（1），
又是函数的极值点，∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
19．解：（1）选择的两个条件的序号为①②
因为在R上是单调递增函数，
故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数．
因为函数的定义域为R，所以，则，，故一定满足②．
选择①②，，即，
而，解得．
（2）设，，
由题意可知，，
由已知，在时单调递增，
所以，即
即集合，
又∵，∴，∴．
20．解（1）如图，连接BD交AC与点O．
∵，即为等腰三角形，又，
故，
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面PAC，
∵平面PAC，∴．
（2）在和中，，，
∴，，又，∴．
在中，作于点E，则平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因平面xz，设点P坐标为，
故，，，
设平面PBC的法向量为，
由，得，可取，
平面PAC的法向量取为，
因为平面PBC与平面PAC夹角的余弦值．
．
即①
又因∵，∴，即②
由①②解得，或，（舍去）
所以
21．（1）∵，
∴
∴
∴
∴或者
由，得，从而
由得
∴，则，而，故
综上，∴或
（2）∵，∴，即
由（1）知∴，
又，∴，
∴
由正弦定理，，
∴的最小值为
22．解：当时，，
∴，
令，显然在单增，且
所以当时，；当时，；
所以函数在单调递增，在单调递减
（2）证明：，
令，，则，
所以单调递增，∵，又，，
所以，又，
故，使，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值；
所以，
又，∴，
∴，
令，显然在单增，
∴，
要证，即证，
即，即，
令，，则，
当时，，
所以在上单调递减，∴，
所以，故．