福建省部分地市校2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题

这是一份福建省部分地市校2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种B．360种C．480种D．504种
5．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．图中所有小长方形的面积之和等于1B．中位数的估计值介于100和105之间
C．该班成绩众数的估计值为97.5D．该班成绩的极差一定等于40
10．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知圆和圆，则（ ）
A．圆的半径为4
B．轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有6个点到直线的距离为1
12．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A．函数为奇函数
B．不等式的解集为
C．若方程有两个根，，则
D．在处的切线方程为
三、填空题
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 .
15．已知等比数列满足且，则的取值范围是 ．
16．斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为 .
四、解答题
17．设的三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，求的最小值；
(2)求的值.
18．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．

(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
19．已知数列和，其中的前项和为，且，.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记，求证：.
20．设，为实数，且，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由.
21．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
(1)请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
附：，，．
22．已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.
编号
1
2
3
4
5
学习时间
30
40
50
60
70
数学成绩
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．C
【分析】利用定义域的求法化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
2．B
【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.
【详解】由得，
将代入可得，
所以，所以，
由于，所以，
故选：B
3．D
【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.
【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）,
由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故,
所以,
所以为外接球的半径，故外接球表面积为，
故选：D
4．C
【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.
【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有种.
故选：C
5．A
【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案
【详解】由，，则，又，所以，故“”是“”的充分条件.
当满足，，时，直线可能平行，可能相交，也可能异面.
故“”不是“”的必要条件.
故选：A
6．D
【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，
解得，即的取值范围是.
故选：D
7．A
【分析】构造函数,，讨论得出函数单调性递增后，通过作差或作商判断，大小后，即可判断,的大小，利用下凸函数与割线的关系即可判断,的大小.
【详解】因为，连接和,得割线方程,
因为在上是下凸函数，
所以在上，割线在正切曲线上方，即,
所以当时，,
令，，
，
当时，因为,即，
所以在单调增，即,
因为，
所以，即，
故，即.
故选：A.
8．C
【分析】利用已知条件易得是周期为的奇函数，且是一条对称轴，再结合各项判断是否一定有成立即可.
【详解】由题设，即，
所以是周期为的奇函数，且是一条对称轴，
当时，则，，不符合
当时，则且，不符合；
当时，则，，故；
当时，则且，不符合；
故选：C
9．ABC
【分析】由频率分布直方图的性质可知A正确；由中位数定义以及图中频率计算可知B正确；由众数定义可得图中最高的区间即代表众数即可估计为97.5，即C正确；由于成绩高分和最低分不一定分别为，因此极差不一定为40，即D错误.
【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知，图中所有小长方形的面积之和等于1，即A正确；
对于B，易知组距为，前两组成绩所占的频率为，
前三组成绩所占的频率为，由中位数定义可得其估计值介于100和105之间，即B正确；
对于C，由图可知频率最高的成绩区间，取中间值为代表可知班成绩众数的估计值为97.5，即C正确；
对于D，由图可知成绩最高区间为，最低区间为，但最高分和最低分不一定分别为，所以其成绩极差不一定为40，即D错误；
故选：ABC
10．BCD
【分析】由为等差数列，先求出，由可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断; 选项C，先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和.
【详解】由为等差数列，，公差为，则
当时，，则选项A不正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
故，所以选项B正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
所以， 故选项C正确.
所以
，所以选项D正确
故选：BCD
11．BD
【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径
即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合
图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.
【详解】
对于A项，由圆配方得：
知圆的半径为2，故选项A错误；
对于B项，因圆心到轴的距离为1，等于圆的半径，故圆与轴相切，
同理圆心到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切，故轴为圆
与的公切线，故选项B正确；
对于C项，只需要将与左右分别相减，
即得圆与的公共弦所在的直线方程为：故选项C错误；
对于D项，如图，因直线同时经过两圆的圆心，依题意可作两条
与该直线平行且距离为1的直线与，其中与和圆都相切，各有一个公共点，
与和圆都相交，各有两个交点，故圆与上共有6个点到直线
的距离为1，故选项D正确.
故选：BD.
12．AC
【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.
【详解】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，
由于，所以为常数，则
又在中，令，则，故，故，
所以，
对于B, 可得，又，故，则，故B错误，
对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以， C正确，
由得，所以在处的切线方程为，D错误，
故选：AC
13．
【分析】先求出的展开式的通项，然后即可求得的展开式中含的项，从而求解.
【详解】由题意得：展开式的通项为：，
当时，即：，得：，
当时；即：，得：，
所以得：展开式中含项为：，所以的系数为：.
故答案为：.
14．
【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.
【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得：，
.
因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.
故答案为：
15．
【分析】利用等比数列，将各项均用表示，然后构造函数，分类讨论和两种情况下的单调性，进而确定为使方程有解，的取值范围.
【详解】因为为等比数列，所以.
令，
则.
因为，所以.
当时，，此时恒成立，在上单调递增，
，所以一定有解，即，使得成立.
当时，，则，此时单调递增；，则，此时单调递减.
为使有解，则，
整理得，解得.
又，所以.
综上，的取值范围是.
故答案为：
16．
【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取的中点，得到，再由，，结合所以，求得，利用，即可求解.
【详解】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，
联立方程组，整理得，
可得，则，
又由在直线上，可得，
所以，所以，
即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，
如图所示，取的中点，
因为的重心在中线上，的重心在中线上，
所以，，可得，
即，
又由，可得，可得
因为，且的外心为点，则为线段的中点，
可得，因为，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.

【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
17．(1)
(2)0
【分析】（1）首先应用余弦定理得，
然后方法1：使用均值不等式求解的最小值；
方法2：利用已知条件，将转化成关于的二次函数，进而求解最小值.
（2）方法1：利用三角形内角和为，得：，将其代入原式中利用和差角公式即可化简求值；
方法2：将，代入原式，然后利用和差角公式即可化简求值；
【详解】（1）由余弦定理知，
方法1：
所以，当时取等，此时为正三角形.
故的最小值为.
方法2：
所以，当时取等.
故的最小值为.
（2）方法1：因为.
所以原式
方法2：因为，
原式
综上所述：.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，勾股定理逆定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式计算即可．
【详解】（1）因为四边形为正方形，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
连接，则，
在中，，
所以，
因为，，平面，且，
从而平面，
又平面，
所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又平面，
所以，
又因为，所以，
又是中点，，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以．

（2）由（1）知，平面，且，
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、，
则，，，
由得，，所以，
所以，，
设面的法向量为，由得，，取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和与项的关系，结合等比数列的定义即可求解，进而可求解；
（2）利用错位相减法即可求解，进而可证明.
【详解】（1）当时，，所以，
时，①，
②，
①-②得，
即，，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以；
（2），即③，
④，
④-③，得
，
因为，，所以.
20．(1)答案见解析
(2)存在极小值点，且极小值点为
【分析】（1）根据题意，对求导，分和两种情况讨论即可求解；
（2）对求导，确定函数的单调区间，根据零点存在性定理即可说明是否存在极值点.
【详解】（1），，，
当时，，在区间上单调递增；
当，且时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，，，
故.
令，，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，，
故，使得.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
故存在极小值点，且极小值点为.
21．(1)，140.5分
(2)可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；
（2）根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案.
【详解】（1），
，又的方差为，
所以，
，故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（2）零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
，
因为，
所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
22．(1)
(2)
【分析】（1）结合抛物线定义即可.
（2）设经过，两点的直线方程为：（），与抛物线方程联立得，.将每条直线表达出来，、、、表达出来，再由得出即可.
【详解】（1）设，由题意可得，即，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为.
（2）如图，

设经过，两点的直线方程为：（），
与抛物线方程联立可得，
即，
∴，.
∵，则，
∴，
∴过点作的切线方程为，
令，得，即.
同理，过点作的切线方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，即，
则到直线的距离.
又∵过点作直线垂直于，
直线的方程为，
令，得，即.
同理，直线的方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，
整理后可得，即，
则到直线的距离.
由上可得，，
，，
∴，得，
∴直线的方程为即.