备战2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义word版专题06 古典概型【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份备战2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义word版专题06 古典概型【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共20页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

一、考向解读
考向：古典概型是以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查概率的思想和考生的数据处理能力及应用意识。
考点：古典概型
导师建议：审题至关重要，优先找到“分母”。
二、知识点汇总
1.古典概型的概念
1.定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性 ）则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到∶假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为1n.此时，若事件C
包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P（C）=mn”.
【常用结论】
1.P（A）=事件A包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=m1n。
2.P（AB）=AB中包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=mn。
3.P（A＋B）=A+B中包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=m1+m2−mn=P（A）+P（B）-P（AB）。
注意：设A，B是Ω的两个事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）- P （AB），这就是概率的一般加法公式，该公式也适合A，B为互斥事件的情况，因为P（AB）=0。
三、题型专项训练
①计算古典概型问题的概率
一、单选题
1．掷一枚均匀骰子两次，所得点数之和为10的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】掷一枚均匀骰子两次，共有36种情况，
所得点数之和为10，共有，，，
所以点数之和为10的概率是.故选：B
2．欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】记4部书籍分别为a、b、c、d，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为、、、、、共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为、、共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：.故选：A.
3．现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人参加巴蜀中学高三年级的百日誓师大会，已知选出的2人中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列举法求古典概型概率.
【详解】假设两名男生为，，两名女生为，，
从中任选两人有男生的情况有：，，，，共5种情况，
其中一男一女的情况有4种，故所求概率为，故选：C
4．某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.
【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，
从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：
（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b ），（甲，丙，a），（甲，丙，b），
（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙， b），（乙，a，b），（丙，a，b），
其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况
则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为故选：A
5．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】这5名棋手分别记为：甲，乙，，利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】这5名棋手分别记为：甲，乙，，，，分组情况有：
（甲乙，），（甲乙，），（甲乙，），（甲，乙），（甲，乙）
（甲，乙），（乙，甲），（乙，甲），（乙，甲），（，甲乙）共10种，
其中甲和乙在同一人组的有4种，分别为：（甲乙，），（甲乙，），（甲乙，），（，甲乙），所以甲和乙在同一个小组的概率为.故选：C.
6．我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据5根算筹，分为四类情况：，然后逐一列举所表示的两位数，再根据古典概型概率公式即得.
【详解】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为共四类情况；
第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，
其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，
故这个两位数大于40的概率为，故选：B.
②有无放回抽取问题的概率
7．袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从中有放回地取两次（每次只取一个球），则两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从中有回放地取两次，每次取球有4种结果，所以有16种结果，再利用列举法能求出两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的结果，从而求出概率．
【详解】从中有回放地取两次，每次取球有4种结果，所以有种结果，
其中标号数之差的绝对值为2的有，，，共4种结果，
所以两次取出的小球的标号数之差的绝对值为2的概率是．故选：C．
8．天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题为古典概型概率，首先列举所有基本事件数，找出满足条件的事件数，即可解决问题.
【详解】设三张卡片“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”依次记为 , 若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则基本事件为：共9种，
则其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为：共2种，所有所求概率为故选：C.
9．现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件列出所有基本事件，再确定事件一张为“1”，一张为“2”中所包含的基本事件数，再利用古典概型概率公式求其概率.
【详解】从盒子中依次有放回地取出两张卡片，取出的所有可能情况为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9种．
满足一张为“1”，一张为“2”的的取法为（1，2），（2，1），共2种情况，
所以所求的概率．故选：C.
10．一个袋中有个3红球，绿球5个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出个球，则取到同色球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列出样本空间，确定事件取到同色球所含的样本点的个数，利用古典概型的概率公式求概率即可.
【详解】记绿球为1，2，3，4，5，红球为A，B，C，则采用不放回的方式从中依次随机地取出个球的所有结果有：(A，1)，(A，2)，(A，3)，(A，4)，(A，5)，(A，B)，(A，C)，(B，1)，(B，2)，(B，3)，(B，4)，(B，5)， (B，C)，(C，1)，(C，2)，(C，3)，(C，4)，(C，5)， (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (2，3)，(2，4)，(2，5)， (3，4)，(3，5)， (4，5)共计28个基本事件，其中取得同色球的结果有13个，由古典概型概率公式可得事件取到同色球的概率，故选：C.
11．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球的个数为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过用完后，将球放回盒中有3个旧球，可知取出的2个球1新1旧，从而可求解答案.
【详解】盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.
设此时盒中旧乒乓球的个数为，说明取出的2个球1新1旧，则.
故选：D.
12．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球不放回，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率公式求解.
【详解】解：由题得试验的所有基本事件个数为,两次都是黄球的基本事件个数为,
由古典概型的概率公式得两次都是黄球的概率为.故选：B
13．十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知这两位同学各取一个毛绒娃娃有12×11种取法，而他们都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故可由古典概率公式计算可得.
【详解】小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12×11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概率.故选：B
【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查学生的应用意识与数学抽象的核心素养.
③根据古典概型的概率求参数
14．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4B．5C．12D．15
【答案】A
【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值．
【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，
则，解得（负值舍去）.故选：A．
15．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设袋中球的总个数为，根据已知条件可得出关于的等式，由此可求得的值.
【详解】设袋中球的总个数为，由题意可得，解得.故选：C.
16．中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（ ）
A．25本B．30本C．35本D．40本
【答案】C
【分析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案.
【详解】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后
该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法.
《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法.
从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为
根据题意可得，解得，
即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本.故选：C
17．《镜花缘》是清代李汝珍的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设有个大灯球下缀有2个小灯，个大灯球下缀有4个小灯，列方程组求解，再由排列组合知识可得结果.
【详解】设有个大灯球下缀有2个小灯，个大灯球下缀有4个小灯，
则
设随机抽取2个灯球，至少有一个是下缀有4个小灯的大灯球为事件A
则故选：C
④利用概率的加法公式计算古典概型的概率
18．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球（两个箱子中球的大小和形状完全相同），其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，记事件A表示“从乙箱中取出的球是红球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件的加法公式和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】.故选：C
19．2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占，澳门课堂女生占，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.
【详解】解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占，澳门课堂女生占，
所以香港女生数为总数的，澳门女生数为总数的，
所以提问的学生恰好为女生的概率是.故选：C.
20．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少两面涂有颜色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算基本事件的总数有27个，然后计算出满足条件的基本事件个数，代入古典概型概率公式即可得到答案．
【详解】一块各面均涂有颜色的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，
其中满足两面有颜色的小正方体有12个，三面涂有颜色的小正方体有8个，
故从中随机地取出一个小正方体，至少两面涂有颜色的概率P故选：C.
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
2．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.故选：D.
3．（2022·全国·统考高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
，
B选项结论正确.
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，
C选项结论错误.
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，
D选项结论正确.故选：C
4．（2022·四川成都·统考模拟预测）纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用相邻元素捆绑法和古典概型公式求解即可.
【详解】从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，
偶数的球被连续抽取出来，共有，
则偶数的球被连续抽取出来的概率.故选：C
5．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，故选：C.
6．（2020·山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B
7．（2020·全国·统考高考真题）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从5个点中任取3个有
共种不同取法，
3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为.故选：A
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
二、填空题
8．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：
9．（2020·江苏·统考高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2022·上海·高二专题练习）从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数和有利事件数，代入古典概型的概率计算公式，即可得解.
【详解】解：从集合中任取两个不同元素的取法有、、、、、共6种，其中满足两个元素相差的取法有、、共3种.故这两个元素相差的概率为.
故选：B.
2．（2022秋·北京·高二北京二中校考阶段练习）袋中有个白球，个黑球，若从中任意摸出个，则至少摸出个黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】设个白球为、，个黑球为、，
则有、、、、、共种等可能的结果，
事件“至少摸出个黑球”所含有的基本事件为、、、、共种，
根据古典概型的概率公式可知，事件“至少摸出个黑球”的概率是，故选:.
3．（2022·高一单元测试）在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用列举法求解即可
【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，则从这5个国家中任取2个国家有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，
其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为.
故选：D.
4．（2022·高一课时练习）在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设袋中球的总个数为，根据已知条件可得出关于的等式，由此可求得的值.
【详解】设袋中球的总个数为，由题意可得，解得.故选：C.
5．（2022·高一单元测试）连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m，n，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】依题意知基本事件的种数为，
其中的事件为（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），
（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15种，
根据古典概型的概率公式可得所求概率为.故选：D
6．（2022·高一课时练习）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为（ ）
A．6B．17C．19D．21
【答案】C
【分析】根据可得随机事件中含有的基本事件的个数.
【详解】∵方程有实数解，∴，
则含有的样本点为：，；
，，，，共19个，故选：C.
7．（2023·全国·高一专题练习）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：
（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，
其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，
所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式计算即可求解.
【详解】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，
则有共10种结果.
某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果
有，共4种，
则“创新发展能力”版块被选中的概率为，故选：B.
9．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）从中任取2个不同的数，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列举从中任取2个不同的数的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事件，结合古典概型计算结果．
【详解】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有个基本事件，所以所求概率为故选：B．
10．（2022·全国·高三专题练习）两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被整除的概率.
【详解】由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：
，
，
，
共36种情况，所得结果之积为：, , , , ,
所得之积能被整除的概率故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率.
11．（2023·全国·高三专题练习）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，再由古典概率代入即可得出答案.
【详解】设11个重要建筑依次为，其中故宫为，
从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：，
，共9种情况，
其中选取的3个中一定有故宫的有：，共3种，
所以其概率为：.故选：D.
12．（2022·高一单元测试）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.
【详解】齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a，b，c，
双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：
，共6个基本事件，它们等可能，
田忌获胜包含的基本事件为：，仅只1个，
所以田忌获胜的概率.故选：D
13．（2023·全国·高二专题练习）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠，”现从1，2，3，4，5，6中随机选币2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列举基本事件，由古典概率公式直接求概率即可.
【详解】因为，随机选取2个不同的数字组成有：
a=2，b=1，3，4，5，6；
a=3，b=1，2，4，5，6；
a=4，b=1，2，3，5，6；
a=5，b=1，2，3，4，6；
a=6，b=1，2，3，4，5.共25种情况.
其中满足的有a=6，b=1，2，3，4，5；
a=5，b=1，2，3，4；a=4，b=1，2，3；
a=3，b=1，2；
a=2，b=1.共15种情况.
所求概率为.故选：A.