备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题26 空间向量与立体几何的综合应用（原卷版）

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一、空间向量的数量积运算
1、两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，..，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作.
2、数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，.
3、空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）.
二、空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
.
（2）设，，则.
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则,
或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.
（4）向量在向量上的射影为.
（5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）.
（6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则.
（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即.
（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.
（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空间角公式.
①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则.
②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则.
③二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.
（11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则.
【典例例题】
例1．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·高一课时练习）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，棱AC，A1C1的中点分别为M，N．
(1)求证：B1N⊥C1M；
(2)求异面直线BN与C1M所成角的余弦值；
(3)求平面A1BM与平面ABC1所成二面角的正弦值．
例5．（2023秋·广东广州·高二广州空港实验中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离．
例6．（2023秋·北京·高三校考期末）如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面．
(1)求证：为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．
条件 ①：点到平面的距离为；
条件 ②：直线与平面所成的角为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
例7．（2023·全国·高三专题练习）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若正方形的变成为2，且二面角是直二面角，求点到平面的距离．
例8．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使．
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·高一课时练习）设正方体的棱长为1，则点到的距离为______.
三、解答题
4．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）如图，在长方体中，四边形是正方形，点N为AD的中点，且.
(1)求证；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2023秋·湖北·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．
(1)证明：平面PAD；
(2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
6．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转至，．
(1)求旋转所得旋转体的体积和表面积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）如图，在正方体中，为的中点．
(1)求：异面直线与所成角的大小；
(2)求：直线与平面所成角的正弦值．
9．（2023秋·河北秦皇岛·高二秦皇岛一中校考期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)点到平面的距离；
(3)求与平面所成角的正弦值.
10．（2023秋·北京密云·高二统考期末）如图所示，在多面体中，梯形与正方形所在平面互相垂直，，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若点在线段上，且，求异面直线与所成角的余弦值.
11．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.
(1)证明：B，E，D1，F四点共面；
(2)若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.
12．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）如图，在平面ABCD中，△ABD为正三角形，△BCD为直角三角形，且，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且满足平面EBD⊥平面FBD．
(1)求证：；
(2)若，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值.
13．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，是侧棱上一点.
(1)若，求的值；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
14．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点G（G与P，B不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
15．（2023秋·浙江·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，．
(1)若平面平面，求点P到平面的距离；
(2)若平面平面，平面，且，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（2023秋·浙江·高三校联考期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，PD⊥底面ABCD，，E是PC的中点，F是PB上的点，且．
(1)证明：PD//平面AEF；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求三棱锥A－BEF的体积．
17．（2023秋·广东广州·高二广州空港实验中学校考期末）如图，正三棱柱中，D是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，E为PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，，菱形ABCD的面积为，求平面AED与平面AEC夹角的正切值．
19．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）如图所示，平面，点在以为直径的上，，，点为线段的中点，点在半圆上（弧长小于弧长），且三棱锥的体积．
(1)求证：平面；
(2)平面平面；
(3)设二面角的大小为，求的值．
20．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，平面，且，的中点为．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
21．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
22．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
23．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且.
(1)求证：平面
(2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
24．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．
(1)若，，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；
(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角平面角为．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由．
25．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在平行六面体 中，平面，，．
(1)证明：平面；
(2)求点 到平面 的距离．