山西省太原市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山西省太原市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数的相反数是（ ）
A．B．2C．D．
2．已知点M的坐标为，它关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．以下列长度的线段为边不能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17B．4，5，C．，1，D．40，50，60
6．将一次函数的图象向右平移1个单位长度，平移后的图象经过坐标系的（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
7．如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数（单位：环）与方差如右表所示．根据表中数据，这四人中成绩好且发挥稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．下列图表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．的立方根是 ．
12．太原北齐壁画博物馆是中国首座建设于壁画墓葬原址上的专题博物馆，集纳了山西各地出土的北齐壁画精品．该馆于2023年12月20日开馆，让民众得以“一眼看千年”．如图是博物馆平面图局部，若将其放入适当的平面直角坐标系中，入口两点的坐标分别为和，则入口（正好在坐标系网格点上）的坐标为 ．
13．如图，已知一次函数与的图像交于点，根据图像可知二元一次方程组的解为 ．
14．在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 ．
15．有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接在一起，拼成的图案总长为；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为，则与之间的函数关系式为 （为正整数）．
三、解答题
16．计算题：
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)解方程组：
17．数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在中，，是的外角的角平分线．
求证：．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵是的外角，
∴（__________）．
∵，
∴．
……
18．2023年11月16日11时55分，酒泉卫星发射中心成功将新一代海洋水色观测卫星01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．八年级某班以此为契机举行了“航天知识知多少”的主题活动，下面是小文、小玉本次活动各项成绩（单位：分）的统计表．
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最终成绩，请说明小文、小玉谁的成绩高；
(2)如果将书面测试、知识抢答、演讲比赛三项成绩按照2∶3∶5的比例计算最终成绩，请说明小文、小玉谁的成绩高．
19．李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
20．某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：
(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；
(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．
21．阅读与思考
下面是小亮写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
2023年9月12日天气：晴
正方形的剪拼与无理数
今天在数学课上同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，在老师的引导下认识了无理数．
我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的，课后我有了进一步的思考：
问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？
对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法：
问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？
任务：
(1)图1中拼成的大正方形的边长为______，图2和图3中拼成的大正方形的边长为______；
(2)请参考材料中图2或图3的剪拼方法，解决问题2．
要求：①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度；
②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线．
22．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的数量关系．
已知，在中，，过点B作，交的角平分线所在直线于点E．设的度数为．
初步探究：
(1)如图1，当时，点E在线段的延长线上．“勤学”小组对这种情形进行了分析，提出如下问题，请你解答：
①当时，求的度数；
②用含的代数式表示的度数为______；
拓展延伸：
(2)“智慧”小组借助图2进一步探究当时，与之间的数量关系，请你补全图形并直接写出这个结论．
23．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，直线经过点，与轴正半轴交于点，且．
(1)求两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)如图2，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），设点的纵坐标为．过点作轴的平行线，分别交直线，于点．
①当时，求线段的长；
②若点是轴上的一个动点，当是等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
书面测试
知识抢答
演讲比赛
小文
89
81
85
小玉
81
83
88
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“-”，求出实数的相反数即可．
【详解】解：实数的相反数是．
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此求解即可．
【详解】解：∵点M的坐标为，
∴它关于y轴的对称点的坐标为，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查平行线的判定．根据内错角相等，两直线平行，作答即可．
【详解】解：由图可知：，
∴（内错角相等，两直线平行）；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式乘法和二次根式除法运算等知识，根据二次根式性质及运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、根据二次根式乘法运算法则，，该选项正确，符合题意；
D、根据二次根式除法运算法则，，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】根据勾股定理逆定理：“若三角形的三条边分别为a、b、c（c为最长边），且，则这个三角形是直角三角形”进行逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴8，15，17能组成直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴4，5，能组成直角三角形，故B不符合题意；
∵，
∴，1，能组成直角三角形，故C不符合题意；
∵，
∴40，50，60不能组成直角三角形，故D不符合题意，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，求出平移后的解析式，进而判断图象经过的象限即可．
【详解】解：将一次函数的图象向右平移1个单位长度，得到，
∵，
∴图象经过第一、三、四象限；
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据已知条件得出 ，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
8．D
【分析】本题考查的是平均数和方差的意义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较成绩的稳定程度即可．
【详解】解：甲、丙、丁射击成绩的平均成绩相同，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁的成绩比较稳定，
∴成绩好且发挥稳定的运动员是丁，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查的是一次函数的定义与图象，先描点，再画直线，根据一次函数的图象是一条直线逐一判断即可．
【详解】解：如图，
A选项反应的不是一次函数，不符合题意，
如图，
∴B选项反应的是一次函数关系，符合题意；
如图，
C选项反应的不是一次函数，不符合题意，
如图，
D选项反应的不是一次函数，不符合题意，
故选B
10．A
【分析】本题考查方程组解决古代问题，涉及列二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系列方程即可得到答案，根据等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：设有人，辆车，根据题意得，
故选：A．
11．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
12．
【分析】本题考查图形与坐标，涉及建立平面直角坐标系及坐标中点的坐标表示，根据题中入口两点的坐标分别为和，建立如图所示的平面直角坐标系即可得到答案，准确建立平面直角坐标系是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
入口（正好在坐标系网格点上）的坐标为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查利用函数图像解方程组，涉及函数交点与二元一次方程组解的关系，熟记两直线的交点坐标就是两直线构成方程组的解，数形结合即可得到答案，熟记函数交点与二元一次方程组解的关系是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
二元一次方程组的解为．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质；过点D作，垂足分别为E，F；由等腰三角形的性质及勾股定理求得的长，再证明，可得的长，再由勾股定理即可求得长．
【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为E，F，
则；
∵是等腰三角形，
∴；
由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查利用解二元一次方程组求图形规律，涉及二元一次方程组解实际应用题、图形中的数字规律等知识，根据拼图，设每一个拼图卡长度为，重合部分长度为，由等量关系列方程组求解后，按规律列式表示即可得到答案，利用二元一次方程组求解是解决问题的关键．
【详解】解：设每一个拼图卡长度为，重合部分长度为，则
，解得，
若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为，则与之间的函数关系式为，
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查计算，涉及二次根式乘法、平方差公式、二次根式除法、有理数加减运算和解二元一次方程组等知识，熟练掌握相关运算性质及方程组解法是解决问题的关键．
（1）利用平方差公式及二次根式乘法运算法则先计算，再由有理数减法运算求解即可得到答案；
（2）先利用二次根式除法运算化简，再利用二次根式性质计算，最后由有理数加减运算求解即可得到答案；
（3）利用代入消元法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
由①得，③，
将③代入②，得，解得，
将代入③，得，
原方程组的解为．
17．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；证明见解析
【分析】根据三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可求解．
【详解】证明：∵是的外角，
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
18．(1)小文成绩高
(2)小玉成绩高
【分析】本题考查统计问题，涉及算术平均数定义及求法、加权平均数的定义及求法、利用平均数做决策等知识，熟练掌握平均数的求法是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用算术平均数的求法得到小文和小玉的平均成绩，比较成绩大小做决策即可得到答案；
（2）根据题意，利用加权平均数的求法得到小文和小玉的平均成绩，比较成绩大小做决策即可得到答案．
【详解】（1）解：小文的最后成绩为：（分），
小玉的最后成绩为：（分），
，
小文成绩高；
（2）解：小文的最后成绩为：（分），
小玉的最后成绩为：（分），
，
小玉成绩高．
19．李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度
【分析】设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，
根据题意，得，
解得，，
答：李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度．
20．(1)3600；
(2)
(3)；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米
【分析】本题考查函数综合，涉及从函数图像中得到信息、待定系数法确定函数关系式、函数图像交点求法及其实际意义，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
（1）由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像即可得到答案；利用待定系数法将代入确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据题意，数形结合，得到、，利用待定系数法将、代入确定函数关系式即可得到答案；
（3）由（1），（2）所得函数表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标，从而根据函数图像交点的实际意义即可得到答案．
【详解】（1）解：由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像可知，学校到科技馆的路程为3600米；
设线段的函数关系式为，
将代入得，
解得，
线段对应的函数表达式为
故答案为：3600；；
（2）解：甲班比乙班先出发5分钟，
，
设线段对应的函数表达式为，
将、代入得，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）解：联立，
解得，
图像中线段与线段的交点的坐标为，点坐标表示的实际意义是当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米，
故答案为：；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米．
21．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了图形的拼接，勾股定理，正确拼接是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）仿照图2或图3的拼接方法解答即可．
【详解】（1）图1中拼成的大正方形的边长为，
图2和图3中拼成的大正方形的边长为．
故答案为：，；
（2）如图所示，
或
或
22．(1)①；②
(2)补全的图形见解析；，
【分析】本题考查了余角的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质．
（1）①利用互余关系得，再利用三角形外角的性质即可求得结果；
②利用互余关系得，再利用三角形外角的性质即可求得结果；
（2）利用互余关系得，再利用三角形外角的性质即可求得与之间的数量关系．
【详解】（1）解：①∵，
即，
∴；
∵平分，
∴；
∴；
②∵，
即，
∴；
∵平分，
∴；
∴；
故答案为：；
（2）解：补全的图形如下：
∵，
即，
∴；
∵平分，
∴；
∴；
23．(1)的坐标为；的坐标为；
(2)①；②点的坐标为：，，
【分析】（1）根据题意，直线：与轴、轴分别交于点，令或求解即可得到答案；利用待定系数法将、代入解方程组确定函数关系式；
（2）①由（1）知直线：；直线：；令代入求值即可得到答案；②由（1）知直线：；直线：；令代入求出、，进而得到及其中点坐标为，根据是等腰直角三角形，作出图形，数形结合，分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，
当时，，即；
当时，，解得，即；
，
，
设直线的函数表达式为，则将、代入得，解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：①由（1）知直线：；直线：；
当点的纵坐标为时，，解得，即；，解得，即，
轴，
；
②由（1）知直线：；直线：；
当点的纵坐标为时，，解得，即；，解得，即，
轴，
；中点坐标为；
根据题意，构造等腰直角，如图所示：
当过作轴于，则；若是等腰直角三角形时，则，即，解得，则；
当过作轴于，则；若是等腰直角三角形时，则，即，解得，则；
当以中点为圆心、为半径作圆交轴于（或者过中点作轴垂线交于），则；若是等腰直角三角形时，则，即，解得，则；
综上所述，点的坐标为：，，
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及求直线与坐标轴交点、待定系数法确定函数关系式、函数与线段问题和函数与特殊三角形问题等，熟练掌握直线图像与性质，数形结合，根据特殊三角形分类讨论是解决问题的关键．