河南省安阳市重点高中2022-2023学年高二下学期阶段性测试（开学考）数学试卷(含答案)

这是一份河南省安阳市重点高中2022-2023学年高二下学期阶段性测试（开学考）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知点,直线AB的倾斜角为,则( )
A.B.C.D.6
2．在数列中,,则( )
A.-4B.C.D.
3．已知双曲线的一个焦点为,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
4．在各项均为正数且递增的等比数列中,,,则( )
A.96B.192C.384D.768
5．在空间直角坐标系中,已知点,,若A,B,C三点共线,则( )
A.B.C.D.
6．已知圆,过点作圆C的切线m,则m的方程为( )
A.B.
C.或D.或
7．如图,在三棱锥中,平面DEF,,,,P,Q分别为ME,MF的中点,则异面直线FP,DQ所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知直线,点关于直线的对称点为B,直线m经过点B,且,则直线m的方程为( )
A.B.
C.D.
9．过抛物线焦点的直线与抛物线交于点M,N,若,则直线MN的方程为( )
A.B.
C.或D.或
10．如图,已知PA为圆柱的母线,BC为圆柱的下底面直径,,,,F为线段AC的中点,则点C到平面PBF的距离为( )
A.B.C.D.
11．在数列中,,数列的前n项和为,若不等式对恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
12．已知,是椭圆的两个焦点,过的直线与椭圆C交于M,N两点,,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知数列的通项公式为,若,则__________.
14．在空间直角坐标系中,已知点,,,,若A,B,C,D四点共面,则__________.
15．已知点,,若圆上存在一点P使,则正实数r的取值范围为__________.
16．已知,分别是双曲线的左､右焦点,A,B分别在该双曲线的左､右支上,,,则该双曲线的离心率为__________.
三、解答题
17．已知圆C过,两点且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）已知直线被圆C截得的弦长为,求实数k的值.
18．已知是各项均为正数的数列的前n项和,是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式;
（2）已知,求数列的前n项和.
19．已知是焦点为F的抛物线上一点,以P为圆心,为半径的圆过点.
（1）求C的方程;
（2）过点作直线l交抛物线于A、B,求的最大值.
20．如图,在三棱柱中,E,F分别为AB,的中点,G为侧面对角线的交点.
（1）求证：平面平面;
（2）若,,侧面为矩形,平面平面,求直线BC与平面所成角的正弦值.
21．如图,四棱锥的底面ABCD为菱形,,,,.
（1）求证：平面平面ABCD;
（2）求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值.
22．已知是椭圆的左焦点,M是椭圆C上一点,O是坐标原点,N是线段的中点,,,,分别是椭圆C的左､右顶点,.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设过椭圆C的右顶点与y轴平行的直线为l,G是椭圆上与,均不重合的一个动点,过作直线的垂线交直线l于H,求证：直线GH过定点.
参考答案
1．答案：C
解析：因为直线AB的倾斜角为,,
可得直线AB的斜率为,
可得.
故选：C.
2．答案：A
解析：当时,;
当时,
当时,
当时,
当时,
所以数列是一个周期为4的周期数列,
则
故选：A.
3．答案：B
解析：因为双曲线的一个焦点为,
所以,,,
又可得,解得,
所以,,所以该双曲线的渐近线方程为,
故选：B.
4．答案：D
解析：设等比数列公比为q,
数列为正数且递增的等比数列,则,,
由,则,可得,
则,解得或（舍去）,
故.
故选：D.
5．答案：B
解析：,,,,,
若A,B,C三点共线,则有,得,解得,,
,.
故选：B.
6．答案：C
解析：将圆化为标准方程,
则圆心,,
当切线l的斜率不存在时,切线l的方程为,
当切线l的斜率存在时,设切线l的方程为,
即, 由题意知,.解得.
此时切线l的方程为.
综上,切线l的方程为或.
故选：C.
7．答案：A
解析：根据题意可得,由平面DEF,,
以D为原点,分别以DE,DF,DM所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
所以,,,,
因为P,Q分别为ME,MF的中点,
所以,,
则,,
则,
所以异面直线FP,DQ所成角的余弦值为.
故选：A.
8．答案：A
解析：设点,则,解得,即点,
因为,设直线m的方程为,
将点B的坐标代入直线m的方程可得,解得,
所以,直线m的方程为.
故选：A.
9．答案：D
解析：抛物线焦点,准线方程,
设直线MN的方程为,由,消去y,则有,
设,,,,
则焦点弦长,解得,
所以直线MN的方程为,即或.
故选：D.
10．答案：D
解析：因为BC为圆柱的下底面直径,所以,
以A为原点,分别以AC,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
设平面PBF的法向量为,
则有,即
取,则,,即.
则点C到平面PBF的距离为.
故选：D.
11．答案：A
解析：易得,则由两边除以可得,
整理可得,
因为,所以是首项为2,公比为4的等比数列,
所以,即,
数列的前n项和为,
所以,
对于,,,
则,当且仅当即时,取等号;
因为不等式对恒成立,所以,
故选：A.
12．答案：B
解析：由椭圆的定义可得
结合可得
由可得,
由椭圆的定义可得,所以,
在中,,
中,,
,
,.
故选：B.
13．答案：1023
解析：因为,所以,
因为,显然k不能为偶数,则k为奇数,即,
解得.
故答案为：1023.
14．答案：1
解析： ,,,,
,,,
又A,B,C,D四点共面,
由平面向量基本定理可知存在实数,,使成立,
,
,解得,
故答案为：1.
15．答案：
解析：因为、,所以O、A的中点坐标为,,
所以以OA为直径的圆D的方程为,
圆,即,
则圆心为,半径为r,则,
因为圆C上存在一点P使,所以圆C与圆D有交点,
所以,即,解得,
即正实数r的取值范围为.
故答案为：.
16．答案：
解析：,,,如图所示,
设,则,,, ,,
在中,由余弦定理,,
即,解得,
则,,,
由,有,
得,所以该双曲线的离心率为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设,半径为,
所以圆C的方程为,
所以
解得
所以圆C的方程为.
（2）圆心到直线的距离
由垂径定理得,
解得或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是与的等比中项,
所以①,当时,解得或（舍去）,
当时②,
①②得,即,
因为,则,所以,即,
所以是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以.
（2）由（1）可知
,
所以
19．答案：（1）
（2）-7
解析：易知点,由题意可得,
所以,,
因为,解得,所以,抛物线C的方程为.
（2）若直线l与x轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,不合乎题意,
设直线l的方程为,设点、,
联立可得,,
由韦达定理可得,,
,,
所以,
,
当且仅当时,取等号,故的最大值为-7.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）点G为侧面对角线的交点,
点G为与的中点,
点E,F分别为AB,的中点,
,,
,,且GE,平面EFG,,平面,
平面平面;
（2）延长EG与直线交于点O,连接,
点E分别为AB的中点,G为侧面对角线的交点,且侧面为矩形,
,且O直线中点,
平面平面,平面,
,
,
,
则以点O为坐标原点,向量、、方向为x,y,z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,
设平面的一个法向量为,
,令,则,
设直线BC与平面所成角,
则,
故直线BC与平面所成角的正弦值为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：设AB的中点为O,连接PO、DO、BD,
因四边形ABCD为菱形,,,
所以为等边三角形,,,
所以且,
因为,,
所以,所以,所以,
,OD,平面POD,
所以平面POD,平面POD,所以,
因为,所以,
所以,即,
,AB,平面ABCD,
所以平面ABCD,平面PAB,
所以平面平面ABCD.
（2）如图建立空间直角坐标系,则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,则,令,则,
设平面的法向量为,则,令,则,
所以,
所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）证明过程见解析
解析：（1）设是椭圆C的右焦点,为椭圆C的焦距,
连接,因为N是线段的中点,O是线段的中点,
所以,,
由椭圆的定义知：,所以,
由椭圆的几何性质知：,即,
所以,,
所以椭圆方程为.
（2）由（1）知,,.设,
则,,因为,所以,
所以直线的方程为,令,得,
所以,
所以直线GH的方程为,即,
所以直线GH过定点.