天津市第一百中学2023-2024学年高二上学期过程性诊断（2）数学试卷(含答案)

这是一份天津市第一百中学2023-2024学年高二上学期过程性诊断（2）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．向量,,,则( )
A.9B.3C.1D.
2．已知直线与圆交于M,N两点,则线段MN的长度为( )
A.B.2C.D.
3．已知抛物线上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为( )
A.2B.3C.4D.5
4．已知直线与平行,则k的值是( )
A.5B.0或5C.0D.0或1
5．已知等比数列中,,且,那么( )
A.31B.32C.63D.64
6．在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则( )．
A.B.
C.D.
7．已知等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.40B.70C.90D.100
8．在数列中,,(,),则( )
A.B.1C.D.2
9．设双曲线的左,右焦点分别为,,离心率为e,过的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．已知,若直线与直线相互垂直,则______.
11．已知圆与相交于A,B两点,则直线AB的方程是__________.
12．已知等差数列的前n项和为,且,,则取最大值时,______.
13．抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,又已知定点,则的最小值是___________.
14．已知直线与椭圆相交于A,B两点,且线段AB的中点在直线上,则此椭圆的离心率为______.
15．若直线与曲线有公共点,则的取值范围是____________.
三、解答题
16．已知圆C经过和两点,且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）从点向圆C作切线,求切线方程.
17．在各项均为正数等比数列中,,且,,成等差数列.
（1）求等比数列的通项公式和前n项和;
（2）若数列满足,求数列的前n项和的最大值.
（3）求数列的前n项和
18．如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面ABCD,,,点E在线段AB上,且.
（1）求证:平面PBD;
（2）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值;
（3）求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值.
19．已知正项数列的前n项和为,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列前n项和;
（3）若,数列的前n项和为,求的取值范围.
20．已知椭圆的离心率为,右焦点为.
（1）求椭圆方程;
（2）过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与直线交于点,为等边三角形,求直线l的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以,解得,
则,所以.
故选:A.
2．答案：C
解析：的圆心为,半径
圆心到直线的距离为,
则,
.
故选:C
3．答案：D
解析：抛物线焦点在y轴上,开口向上,所以焦点坐标为,准线方程为,因为点A的纵坐标为4,所以点A到抛物线准线的距离为,因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,所以点A与抛物线焦点的距离为5.
4．答案：C
解析：若直线与平行,则,解得或;
而当时两直线重合.
综上所述,k的值为0.
故选：C
5．答案：A
解析：设等比数列的公比为q,,且,
,即,
.
故选:A.
6．答案：D
解析：因为，所以，
因为Q是BC的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：D
7．答案：D
解析：设等差数列的首项为,公差为d,
因为,,所以,解得:,
所以,
故选:.
8．答案：A
解析：,,,
可得数列是以3为周期的周期数列,,
故选:A
9．答案：B
解析：设,则,所以,也就是,
由余弦定理,可得,
则,
因此,
故选:B.
10．答案：或
解析：因为直线与直线相互垂直,
所以,解得:,
故答案为.
11．答案：
解析：两圆方程相减,得
故答案为:
12．答案：15
解析：由题意知,,设等差数列的公差为d,
则,即,因为,故,
即等差数列为首项为正的递减数列,又由,
可得,即,故,,
即等差数列前15项为正,从第16项开始为负,
故取最大值时,.
故答案为:15.
13．答案：3
解析：抛物线的焦点为,准线为,如下图所示:
过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为点B,
由抛物线的定义可得,所以,,
当且仅当A,P,B三点共线时,即当时,取得最小值为.
故答案为:3.
14．答案：或
解析：联立得:,
所以直线与直线的交点坐标为,
所以线段AB的中点为,
设与的交点分别为,,
所以,,
则,,
分别把,代入到椭圆得:
,两式相减得:,
因为直线AB为:,所以,
且,所以,
所以,即,所以,
所以,所以,所以.
故答案为:
15．答案：
解析：由,可得,整理可得,
即,其中,
故曲线表示圆的下半圆,
作出直线与曲线的图形如下图所示:
当直线过点时,,
当直线与曲线相切时,,
圆的圆心坐标为,半径为2.
由题意,可得,且,解得,
结合图形可知,当时,直线与曲线有公共点,
因此b的取值范围为.
故答案为:.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题可知,所以线段AB的中垂线的斜率等于1,
又因为AB的中点为,
所以线段AB的中垂线的直线方程为,
即,
联立解得,所以圆心
又因为半径等于,所以圆C的方程为.
（2）设圆C的半径为r,则,
若直线的斜率不存在,因为直线过点,
所以直线方程为,
此时圆心到直线的距离,满足题意;
若直线的斜率存在,设斜率为k,
则切线方程为,即,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,
解得,
所以切线方程为,即.
所以切线方程为或.
17．答案：（1）,;
（2）25;
（3）.
解析：（1）设数列的公比为,,由,,成等差数列,得,
即,整理得,而,解得,又,
所以数列的通项公式,.
（2）由（1）得,,则,且,
于是数列是首项为9,公差为的等差数列,
所以,
所以当时,取得最大值25.
（3）由（2）知,当时,,当时,,
当时,,;
当时,,
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明:平面ABCD,平面ABCD,,,.
,,,,所以,又,
所以,,
,,,PD,平面PBD,平面PBD.
（2）平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,
,,为矩形,,
,CD,PD两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,
设平面PCE的法向量为,则,令,则,
设直线PA与平面PCE所成角为,则,
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
（3）平面BCE的一个法向量为,
设平面BCE与平面PCE的夹角为,
则,
所以平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）当时,由,得,得,
由,得,两式相减,
得,即,
即
因为数列各项均为正数,所以,所以
所以数列是以为首项,为公差的等差数列.
因此,,即数列的通项公式为.
（2）由（1）得,
两式相减得
.
（3）由（1）知,所以.
所以.
所以
.
令,则
所以是单调递增数列,数列递增,
所以,又,所以的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可得,,解得,
由,,则椭圆的方程为
（2）当直线A,B为x轴时,易得线段AB垂直平分线与直线没有交点,故不满足题意;
当A,B所在直线的斜率存在且不为x轴时,设该直线方程为,,,
,解为,
,
所以,
,
设A,B中点为D,则,设,
由为等边三角形,,,
,
所以,解得,所以,
当A,B所在直线的斜率不存在时,将代入可得,
所以,,不满足题意,
综上所述,直线l的方程为或