2024辽源田家炳高中友好学校七十六届期末联考高三上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024辽源田家炳高中友好学校七十六届期末联考高三上学期1月期末考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了 下列命题中是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.
2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
3. 设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
4. 2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得，，，在C处测得阁顶的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度为（精确到，参考数据：，）（ ）

A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. 5C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”否定是“：，”
C. 把的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为
D.
10. 如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A. 在上增函数
B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值
D. 当时，取得极大值
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 周长为16
C. 的面积为D.
12. 如图，正方体的棱长为，E是棱上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）

A. 若E为的中点，则直线面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线AC与直线所成角为定值
D. 直线与平面所成角正切值的范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________.
14. 已知正项等比数列的前项和为，若，且，则__________．
15. 已知函数为奇函数，，若当时，，则______．
16. 已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17 已知向量，，设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
18. 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．

（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
19. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．
20. 设数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前的项和．
21. 已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值．
22. 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．友好学校第七十六届期末联考
高三数学
说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.
2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.
【详解】集合，故，
故选：B.
2. 若复数为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】根据除法运算求出，再根据纯虚数的定义可得结果.
【详解】,
因为为纯虚数，所以，得.
故选：D
3. 设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求.
【详解】函数的定义域为，
由已知，故，
函数的导函数，
所以，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，所以，经验证，此时满足题意.
故选：D
4. 2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得，，，在C处测得阁顶的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度为（精确到，参考数据：，）（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，由正弦定理可求，进而可得结果.
【详解】在中，则，
因为，可得（m），
在中，则，
即为等腰直角三角形，可得（m）.
故选：C.
5. 已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
又因为，则，解得，
因此，.
故选：C.
6. 已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．
故选：C.

7. 已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】的定义域是，所以是奇函数.
当时，，
所以在上单调递增.，
由于，
所以，即.
故选：B
8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将三棱锥放入长方体内，得到为球直径，由基本不等式求出，从而求出三棱锥的体积的最大值.
【详解】因为，易知三角形为等腰直角三角形，
又平面，所以为三棱锥的高，
则可将三棱锥放入长方体内，如图，

长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，
，
解得，
又，
解得，
，所以
所以三棱锥的体积，
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“：，”
C. 把的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据三角函数的变换规则及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质判断D；
【详解】解：对于A：由，即，解得或，所以由推得出，由推不出，所以是的充分不必要条件，故A正确；
对于B：命题“，”的否定是“：，”，故B正确；
对于C：把的图像向左平移个单位长度，得到，故C错误；
对于D：因为在上单调递减，又，所以，所以，故D正确；
故选：ABD
10. 如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A. 在上增函数
B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值
D. 当时，取得极大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数与原函数关系解决.
【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；
在上为增函数，故A错B对，C对D错.
故选：BC
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的周长为16
C. 的面积为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.
【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得．，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，．
设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．
故选：AB

12. 如图，正方体的棱长为，E是棱上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）

A. 若E为的中点，则直线面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线AC与直线所成角为定值
D. 直线与平面所成角正切值的范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】若为中点，连接，判断为平行四边形，结合面判断A；由，数形结合及棱锥体积公式判断B；根据正方体性质及线面垂直的判定、性质判断C；根据线面角定义求其正切值的范围判断D.
【详解】A：若为中点，连接，又E为的中点，正方体中易知，
所以为平行四边形，则，而面，显然面不成立，错；

B：，显然的面积为定值，且到面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，对；

C：由题意且面，面，则，
，面，则面，而面，
所以，直线AC与直线所成角为定值，对；

D：由上到面的距离为a，而E是棱上的动点（不包含端点），
所以，则直线与面所成角正切值范围为，对.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据模长公式即可代入求解.
【详解】由可得，
可得，
由于，所以，
故答案为：.
14. 已知正项等比数列的前项和为，若，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.
【详解】设公比为，则，
由，，
解之得或（舍去），
故.
故答案为：
15. 已知函数为奇函数，，若当时，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.
【详解】所以，
所以是周期为的周期函数，
又函数为奇函数，当时，，
所以，即，可得，
则．
故答案为：
16. 已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．
【详解】⊙M：的圆心坐标为，半径为2，如图，

，且，
故要使最小，则最小，此时PM⊥l，
因为圆心M到直线l：的距离为，
∴的最小值为
故答案为：1．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值1,最小值.
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换公式和辅助角公式化简表达式即可求解；
(2)求函数在给定区间内的最大值和最小值即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
因为，所以，所以，
所以当即时函数有最大值为1，
当即时函数有最小值为.
18. 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．

（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
取AC得中点O，连接SO，OB，
，，，，
又SO，BO交于点O，平面，平面，
于是可知平面，
又平面，；
【小问2详解】
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,
那么，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，
那么，取，那么，
∴，
又为平面一个法向量，
，，
即二面角的正弦值为.

19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得，即得结果， (2)根据，利用向量的模以及向量数量积、余弦定理化简求得，最后根据三角形面积公式得结果.
【详解】解:（1）由正弦定理知，所以,
即
所以，化简得
，
因为中，，所以，即，
又， 所以
（2）因为，
所以
，
由，解得
所以面积
【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
20. 设数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前的项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，两式相减化简可得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可求出其通项公式，
（2）由（1）得，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项的和与偶数项的和，相加即可.
【小问1详解】
由，得，两式相减得．
令数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
【小问2详解】
由题意可得，
,
①，
则②，
①②得：,
∴,
21. 已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，代入可得，再令，根据对勾函数的性质计算可得.
【小问1详解】
解：依题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
设直线的方程为，，，
由，消去整理得，
所以，，
所以
，
令，则，
所以，又在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号，即当时面积的最大值为.
22. 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；
（2）结合（1）可得，令，利用导数解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为，且，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
【小问2详解】
当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为．
因为不等式对恒成立，所以．
设，
则的定义域为，且恒成立，
可知：在上单调递增．
因为，所以，
即，可得，即．
综上所述：的取值范围是．