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上教版 (2020)必修 第一册2.1 等式与不等式的性质课堂检测
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这是一份上教版 (2020)必修 第一册2.1 等式与不等式的性质课堂检测，共24页。试卷主要包含了考情分析，题型突破，课堂训练等内容，欢迎下载使用。
考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型突破
重难点题型突破1 等式与不等式的性质
例1．（1）、（2023·浦东新·上海师大附中高一月考）已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则；D．若，则
（2）、（2023·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
（3）、（2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________
①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则；⑤若，，则.
【变式训练1-1】．（2023·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练1-2】．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）若实数，则下列说法正确的是__________．
（1）；（2）；（3）；（4）
【变式训练1-3】．（2023·上海闵行·古美高中）对于实数，给出下列命题：①若，则；②，则；③，则.其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
重难点题型突破2二次不等式
例2．（1）、（2023·东莞市东华高级中学高一月考）若是方程的两个根，则( )
A．B．2C．4D．8
（2）、（2023·贵州省高二学业考试）不等式的解集是_____________；
【变式训练2-1】、（2023·上海市杨思高级中学）已知一元二次方程的两个实数根分别是，则____________；
【变式训练2-2】．（2023·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
例3．（1）、（2023·山东省五莲县第一中学）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是________.
（2）、（2023·全国高三专题练习）方程的两个根分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】．（2023·全国高一课时练习）若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k > -1B．k < -1
C．k≥-1且k≠0D．k > -1且k≠0
【变式训练3-2】．（2023·江苏高一专题练习）关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·上海高一专题练习）已知方程的两根为，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4） ．
【变式训练4-1】、（2023·上海市行知中学）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．
重难点题型突破3 分式不等式
例5．（2023·全国高一课时练习）的解集为______.
【变式训练5-1】．（2023·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．
四、课堂训练
1．（2023·上海）若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a||D．b＜||a|－|c||
2．（2023·上海市大同中学高一月考）已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·上海闵行·古美高中）已知一元二次方程的两根为，则=___________.
4．（2022·上海市青浦高级中学）已知，则__________．
5．（2023·上海市实验学校高三月考）已知且，则 的取值范围是 _______ （答案用区间表示）
6．（2023·江苏高一专题练习）不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）（1）解关于的不等式，其中；
（2）设，试比较和的大小.
8．（2023·上海高一单元测试）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围.
一般式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
图像与解
x
y
O
x1
x2
或
x
y
O
x0
无解
x
y
O
无解
R
无解
专题2.1 等式与不等式的性质
一、考情分析
考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型突破
重难点题型突破1 等式与不等式的性质
例1．（1）、（2023·浦东新·上海师大附中高一月考）已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则；D．若，则
【答案】D
【分析】
当时可判断A，B；当时可判断C；利用不等式的性质可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，，，则即，故选项A不正确；
对于B：若，，则即，故选项B不正确；
对于C：若，，可得，故选项C不正确；
对于D：若，则，所以，所以即，
故选项D正确；故选：D.
（2）、（2023·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C.
（3）、（2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________
①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则；⑤若，，则.
【答案】②③
【分析】
根据不等式的性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对①，举反例，取不成立，故①错误；
对②，开三次方根不改变大小关系，故②正确；
对③，是不等式的性质，正确；
对④，取不成立，故④错误；
对⑤，明显错误，负数越小绝对值越大，应该是，故⑤错误；
故答案为：②③
【变式训练1-1】．（2023·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【解析】若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
【变式训练1-2】．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）若实数，则下列说法正确的是__________．
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）
【分析】
根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法.
【详解】
根据不等式的性质（1）正确；
（2）中如果时不成立，故错误；
（3）若时，不成立，故错误；
（4）若，不成立，故错误.
故答案为:（1）
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
【变式训练1-3】．（2023·上海闵行·古美高中）对于实数，给出下列命题：①若，则；②，则；③，则.其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
根据不等式性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对①，若，故①不成立；
对②，根据不等式性质，若则有，故②正确；
对③，对，可取，所以不成立，故③错误，
所以只有1个正确，
故选：B
重难点题型突破2二次不等式
例2．（1）、（2023·东莞市东华高级中学高一月考）若是方程的两个根，则( )
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.
【详解】
因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故.
故选：C.
（2）、（2023·贵州省高二学业考试）不等式的解集是_____________；
【答案】
【分析】
分解因式从而得到解集.
【详解】
不等式，即，
所以或，即解集为：.
故答案为：.
【变式训练2-1】、（2023·上海市杨思高级中学）已知一元二次方程的两个实数根分别是，则____________；
【答案】6
【分析】
由根与系数的关系得，，再利用求值.
【详解】
由根与系数的关系知，，，
所以.
故答案为：6.
【变式训练2-2】．（2023·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【解析】由得：，
，，即不等式的解集为，故选：C
例3．（1）、（2023·山东省五莲县第一中学）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是________.
【答案】
【分析】
利用韦达定理即可求解.
【详解】
由韦达定理，，故.
故答案为：
（2）、（2023·全国高三专题练习）方程的两个根分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分解因式，即可求得方程根.
【详解】
，即，
解得或.
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，属简单题.
【变式训练3-1】．（2023·全国高一课时练习）若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k > -1B．k < -1
C．k≥-1且k≠0D．k > -1且k≠0
【答案】D
【分析】
由方程有两个不等实根，则根据一元二次方程的性质有k≠0且Δ>0，即可求得k的范围
【详解】
∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根
∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0，解得k > -1
∴由上，k的取值范围为k > -1且k≠0
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次方程，由根与系数关系，以及判别式求参数范围
【变式训练3-2】．（2023·江苏高一专题练习）关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.
【详解】
由题意可得，且1，是方程的两根，
为方程的根，，
则不等式可化为，即，
不等式的解集为．
故选: A．
例4．（2023·上海高一专题练习）已知方程的两根为，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4） ．
【答案】（1）3；（2）；（3）7；（4）-17．
【分析】
根据题意得,进而结合平方和公式和立方和公式依次求解即可.
【详解】
解:由韦达定理，．
（1） ．
（2）
（3） ．
（4）．
【变式训练4-1】、（2023·上海市行知中学）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．
【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）．
【分析】
(1)因为一元二次方程的两个实数根，所以利用判别式求出的取值范围，将化为结合韦达定理以及的取值范围，即可判断.
(2)将关系式化为，结合韦达定理以及整除的性质即可求解.
【详解】
（1）假设存在实数k，使成立．
∵一元二次方程的两个实数根
∴，
又，是一元二次方程的两个实数根
∴∴
，但 ．
∴不存在实数k，使成立．
（2）∵
∴要使其值是整数，只需能整除4，
∴，，，
注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．
所以的值为
重难点题型突破3 分式不等式
例5．（2023·全国高一课时练习）的解集为______.
【答案】或
【分析】
将所求不等式变形为，解此不等式即可得解.
【详解】
由可得，等价于，解得或.
故原不等式的解集为或.
故答案为：或.
【变式训练5-1】．（2023·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．
【答案】.
【分析】
由，则或，解不等式组即可得解.
【详解】
解：由，
则或，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
四、课堂训练
1．（2023·上海）若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a||D．b＜||a|－|c||
【答案】D
【分析】
由含有绝对值不等式的性质可得结果.
【详解】
b＞|a－c||a|－|c|，，故A成立
b＞|a－c||c|－|a|，，故B成立，
∴b＞|a－c|||a|－|c||，故C成立，D不成立.
故选：D
2．（2023·上海市大同中学高一月考）已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.
【详解】
①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，
，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选C.
【点睛】
本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
3．（2023·上海闵行·古美高中）已知一元二次方程的两根为，则=___________.
【答案】19
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可.
【详解】
一元二次方程的两根为，，所以有，
因此，
故答案为：
4．（2022·上海市青浦高级中学）已知，则__________．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质可求得，进而得到，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果.
【详解】
，又
故答案为
【点睛】
本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.
5．（2023·上海市实验学校高三月考）已知且，则 的取值范围是 _______ （答案用区间表示）
【答案】（3,8）
【分析】
根据不等式的性质，求得待求量的范围.
【详解】
设，
则，解得 ，即，
又且，
且，
.
故答案为：（3,8）
6．（2023·江苏高一专题练习）不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
依题意使用韦达定理可得，然后的两根，简单判断可得结果.
【详解】
由题知，和1是的两根，
由根与系数的关系知，，
求得：，，
所以，开口向下，
令，即，解得两个根分别为-2，1.
故选：．
【点睛】
本题考查韦达定理的应用以及函数与方程的转化，考查分析能力，属基础题.
7．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）（1）解关于的不等式，其中；
（2）设，试比较和的大小.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）化简不等式为，结合和不等式的解法，即可求解；
（2）利用作差比较法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，不等式，可化为，
因为，可得，即不等式等价于，
即不等式的解集为.
（2）由，
因为，可得，所以，
所以.
8．（2023·上海高一单元测试）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围.
【答案】（1），4（2）（3）
【分析】
（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果；
（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，从而得到关于的不等式，求解得到结果；
（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得到所求范围.
【详解】
（1）当时，.
设为不动点，因此，
解得或，
，4为函数的不动点.
（2）恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
恒成立.
即对于任意恒成立.
令，
则（或者），
解得.
（3），
.
，即，
，
，
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数问题中新定义问题，关键是能够充分理解不动点的定义，从而构造方程.在求解参数范围过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数、对号函数求解对应模型的最值，对于学生转化与化归的思想要求较高.
一般式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
图像与解
x
y
O
x1
x2
或
x
y
O
x0
无解
x
y
O
无解
R
无解
考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型突破
重难点题型突破1 等式与不等式的性质
例1．（1）、（2023·浦东新·上海师大附中高一月考）已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则；D．若，则
（2）、（2023·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
（3）、（2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________
①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则；⑤若，，则.
【变式训练1-1】．（2023·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练1-2】．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）若实数，则下列说法正确的是__________．
（1）；（2）；（3）；（4）
【变式训练1-3】．（2023·上海闵行·古美高中）对于实数，给出下列命题：①若，则；②，则；③，则.其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
重难点题型突破2二次不等式
例2．（1）、（2023·东莞市东华高级中学高一月考）若是方程的两个根，则( )
A．B．2C．4D．8
（2）、（2023·贵州省高二学业考试）不等式的解集是_____________；
【变式训练2-1】、（2023·上海市杨思高级中学）已知一元二次方程的两个实数根分别是，则____________；
【变式训练2-2】．（2023·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
例3．（1）、（2023·山东省五莲县第一中学）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是________.
（2）、（2023·全国高三专题练习）方程的两个根分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】．（2023·全国高一课时练习）若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k > -1B．k < -1
C．k≥-1且k≠0D．k > -1且k≠0
【变式训练3-2】．（2023·江苏高一专题练习）关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·上海高一专题练习）已知方程的两根为，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4） ．
【变式训练4-1】、（2023·上海市行知中学）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．
重难点题型突破3 分式不等式
例5．（2023·全国高一课时练习）的解集为______.
【变式训练5-1】．（2023·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．
四、课堂训练
1．（2023·上海）若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a||D．b＜||a|－|c||
2．（2023·上海市大同中学高一月考）已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·上海闵行·古美高中）已知一元二次方程的两根为，则=___________.
4．（2022·上海市青浦高级中学）已知，则__________．
5．（2023·上海市实验学校高三月考）已知且，则 的取值范围是 _______ （答案用区间表示）
6．（2023·江苏高一专题练习）不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）（1）解关于的不等式，其中；
（2）设，试比较和的大小.
8．（2023·上海高一单元测试）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围.
一般式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
图像与解
x
y
O
x1
x2
或
x
y
O
x0
无解
x
y
O
无解
R
无解
专题2.1 等式与不等式的性质
一、考情分析
考点梳理
知识点1 一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax>b的解的情况：
当a>0时，；
当a<0时，；
当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
知识点2 分式方程、分式不等式的解法
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
表中，
2、恒成立
恒成立
知识点4 绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型突破
重难点题型突破1 等式与不等式的性质
例1．（1）、（2023·浦东新·上海师大附中高一月考）已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则；D．若，则
【答案】D
【分析】
当时可判断A，B；当时可判断C；利用不等式的性质可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，，，则即，故选项A不正确；
对于B：若，，则即，故选项B不正确；
对于C：若，，可得，故选项C不正确；
对于D：若，则，所以，所以即，
故选项D正确；故选：D.
（2）、（2023·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C.
（3）、（2023·上海市奉贤区曙光中学高一月考）下列命题中，正确的是_________
①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则；⑤若，，则.
【答案】②③
【分析】
根据不等式的性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对①，举反例，取不成立，故①错误；
对②，开三次方根不改变大小关系，故②正确；
对③，是不等式的性质，正确；
对④，取不成立，故④错误；
对⑤，明显错误，负数越小绝对值越大，应该是，故⑤错误；
故答案为：②③
【变式训练1-1】．（2023·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【解析】若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
【变式训练1-2】．（2023·上海浦东新·华师大二附中高一期末）若实数，则下列说法正确的是__________．
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）
【分析】
根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法.
【详解】
根据不等式的性质（1）正确；
（2）中如果时不成立，故错误；
（3）若时，不成立，故错误；
（4）若，不成立，故错误.
故答案为:（1）
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
【变式训练1-3】．（2023·上海闵行·古美高中）对于实数，给出下列命题：①若，则；②，则；③，则.其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
根据不等式性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对①，若，故①不成立；
对②，根据不等式性质，若则有，故②正确；
对③，对，可取，所以不成立，故③错误，
所以只有1个正确，
故选：B
重难点题型突破2二次不等式
例2．（1）、（2023·东莞市东华高级中学高一月考）若是方程的两个根，则( )
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.
【详解】
因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故.
故选：C.
（2）、（2023·贵州省高二学业考试）不等式的解集是_____________；
【答案】
【分析】
分解因式从而得到解集.
【详解】
不等式，即，
所以或，即解集为：.
故答案为：.
【变式训练2-1】、（2023·上海市杨思高级中学）已知一元二次方程的两个实数根分别是，则____________；
【答案】6
【分析】
由根与系数的关系得，，再利用求值.
【详解】
由根与系数的关系知，，，
所以.
故答案为：6.
【变式训练2-2】．（2023·浙江省高一期末）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【解析】由得：，
，，即不等式的解集为，故选：C
例3．（1）、（2023·山东省五莲县第一中学）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是________.
【答案】
【分析】
利用韦达定理即可求解.
【详解】
由韦达定理，，故.
故答案为：
（2）、（2023·全国高三专题练习）方程的两个根分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分解因式，即可求得方程根.
【详解】
，即，
解得或.
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，属简单题.
【变式训练3-1】．（2023·全国高一课时练习）若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k > -1B．k < -1
C．k≥-1且k≠0D．k > -1且k≠0
【答案】D
【分析】
由方程有两个不等实根，则根据一元二次方程的性质有k≠0且Δ>0，即可求得k的范围
【详解】
∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根
∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0，解得k > -1
∴由上，k的取值范围为k > -1且k≠0
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次方程，由根与系数关系，以及判别式求参数范围
【变式训练3-2】．（2023·江苏高一专题练习）关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.
【详解】
由题意可得，且1，是方程的两根，
为方程的根，，
则不等式可化为，即，
不等式的解集为．
故选: A．
例4．（2023·上海高一专题练习）已知方程的两根为，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4） ．
【答案】（1）3；（2）；（3）7；（4）-17．
【分析】
根据题意得,进而结合平方和公式和立方和公式依次求解即可.
【详解】
解:由韦达定理，．
（1） ．
（2）
（3） ．
（4）．
【变式训练4-1】、（2023·上海市行知中学）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．
【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）．
【分析】
(1)因为一元二次方程的两个实数根，所以利用判别式求出的取值范围，将化为结合韦达定理以及的取值范围，即可判断.
(2)将关系式化为，结合韦达定理以及整除的性质即可求解.
【详解】
（1）假设存在实数k，使成立．
∵一元二次方程的两个实数根
∴，
又，是一元二次方程的两个实数根
∴∴
，但 ．
∴不存在实数k，使成立．
（2）∵
∴要使其值是整数，只需能整除4，
∴，，，
注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．
所以的值为
重难点题型突破3 分式不等式
例5．（2023·全国高一课时练习）的解集为______.
【答案】或
【分析】
将所求不等式变形为，解此不等式即可得解.
【详解】
由可得，等价于，解得或.
故原不等式的解集为或.
故答案为：或.
【变式训练5-1】．（2023·桂林市临桂区五通中学高二期中）不等式的解集是___________．
【答案】.
【分析】
由，则或，解不等式组即可得解.
【详解】
解：由，
则或，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
四、课堂训练
1．（2023·上海）若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a||D．b＜||a|－|c||
【答案】D
【分析】
由含有绝对值不等式的性质可得结果.
【详解】
b＞|a－c||a|－|c|，，故A成立
b＞|a－c||c|－|a|，，故B成立，
∴b＞|a－c|||a|－|c||，故C成立，D不成立.
故选：D
2．（2023·上海市大同中学高一月考）已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.
【详解】
①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，
，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选C.
【点睛】
本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
3．（2023·上海闵行·古美高中）已知一元二次方程的两根为，则=___________.
【答案】19
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可.
【详解】
一元二次方程的两根为，，所以有，
因此，
故答案为：
4．（2022·上海市青浦高级中学）已知，则__________．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质可求得，进而得到，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果.
【详解】
，又
故答案为
【点睛】
本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.
5．（2023·上海市实验学校高三月考）已知且，则 的取值范围是 _______ （答案用区间表示）
【答案】（3,8）
【分析】
根据不等式的性质，求得待求量的范围.
【详解】
设，
则，解得 ，即，
又且，
且，
.
故答案为：（3,8）
6．（2023·江苏高一专题练习）不等式的解集为，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
依题意使用韦达定理可得，然后的两根，简单判断可得结果.
【详解】
由题知，和1是的两根，
由根与系数的关系知，，
求得：，，
所以，开口向下，
令，即，解得两个根分别为-2，1.
故选：．
【点睛】
本题考查韦达定理的应用以及函数与方程的转化，考查分析能力，属基础题.
7．（2023·上海市嘉定区中光高级中学）（1）解关于的不等式，其中；
（2）设，试比较和的大小.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）化简不等式为，结合和不等式的解法，即可求解；
（2）利用作差比较法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，不等式，可化为，
因为，可得，即不等式等价于，
即不等式的解集为.
（2）由，
因为，可得，所以，
所以.
8．（2023·上海高一单元测试）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围.
【答案】（1），4（2）（3）
【分析】
（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果；
（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，从而得到关于的不等式，求解得到结果；
（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得到所求范围.
【详解】
（1）当时，.
设为不动点，因此，
解得或，
，4为函数的不动点.
（2）恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
恒成立.
即对于任意恒成立.
令，
则（或者），
解得.
（3），
.
，即，
，
，
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数问题中新定义问题，关键是能够充分理解不动点的定义，从而构造方程.在求解参数范围过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数、对号函数求解对应模型的最值，对于学生转化与化归的思想要求较高.
一般式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
图像与解
x
y
O
x1
x2
或
x
y
O
x0
无解
x
y
O
无解
R
无解
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