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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第二章综合测试卷（B卷 能力提升）学生版+教师版
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这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第二章综合测试卷（B卷 能力提升）学生版+教师版，共9页。
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第二单元 等式与不等式单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第一单元 等式与不等式。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．不等式的解集为__________．2．不等式的解集为________3．不等式的解集为______.4．已知，求的最大值______.5．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为__________.6．函数的定义域是_____.7．对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.8．已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是________.9．若关于的不等式只有一个解，则满足条件的实数组成的集合是________.10．已知，则的范围是______________.11．若函数在区间上至少存在一个实数，使，则实数的取值范围为________.12．设x＞0，当x＝________时，x取到最小值．二、选择题：13．如果，那么下列不等式中错误的是（ ）A． B． C． D．14．下列不等式中，恒成立的是（ ）A． B．C． D．15．“”是“实系数一元二次方程没有实根”的（ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知、、，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若，则；②若，则；③若.则；④若，，，，则，.A． B． C． D．第Ⅱ卷三、解答题：17．已知全集，集合，集合.（1）当时，求集合；（2）若，求实数a的取值范围.18．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.19．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中．（1）请求出的值，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．21．对于定义在上的函数,若函数满足：①在区间上单调递减，②存在常数,使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”，说明理由；(2)求证：函数不是函数的“渐近函数”；(3)若函数，,求证：当且仅当时,是的“渐近函数”. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第二单元 等式与不等式单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第一单元 等式与不等式。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．不等式的解集为__________．【答案】【分析】分，，三种情况讨论，即可求出结果．【详解】当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，显然不成立；综上，原不等式的解集为．故答案为：．2．不等式的解集为________【答案】【详解】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.3．不等式的解集为______.【答案】【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．【详解】不等式化为，，，解得或．故答案为：．【点睛】方法点睛：解分式不等式的方法：把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数．4．已知，求的最大值______.【答案】0【分析】原式化为，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】，所以，因为，当且仅当时，取等号；．即的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.5．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】先由不等式的解集求出与之间关系，进而代入所求不等式，即可得出结果.【详解】因为不等式的解集为，所以，即，因此不等式可化为，则，解得，即不等式的解集为.故答案为：.6．函数的定义域是_____.【答案】.【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．7．对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】结合绝对值三角不等式得，即求即可【详解】由绝对值三角不等式得，即恒成立，当时，去绝对值得，解得，故；当时，，此时无解，综上所述，故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的.8．已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是________.【答案】【分析】变换得到，化简得到，根据解集得，解得答案.【详解】，则，即，化简得到，不等式解集是，故且，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，将题目转化为是解题的关键.9．若关于的不等式只有一个解，则满足条件的实数组成的集合是________.【答案】【分析】考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】当时，解为，不满足条件；当时，不等式只有一个解，则，解得.综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，属于简单题.10．已知，则的范围是______________.【答案】【分析】根据不等式的性质运算求解即可.【详解】由题,故,.故,,则,又,故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.11．若函数在区间上至少存在一个实数，使，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间上任意一个x，都有，只需满足，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数在区间上至少存在一个实数，使的否定为：对于区间上任意一个x，都有，则，即，整理得，解得或，所以函数在区间上至少存在一个实数，使的实数p的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.12．设x＞0，当x＝________时，x取到最小值．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：∵x＞0，∴x，当且仅当x＝时取等号，因此当x＝时，x有最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、选择题：13．如果，那么下列不等式中错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解．【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B，因为，所以，所以该选项正确；对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D，所以，所以该选项正确．故选：C14．下列不等式中，恒成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特殊值法，可判断ABC错，根据不等式的性质，由作差法，可判断D正确.【详解】A选项，若，则，故A错；B选项，若，则，故B错；C选项，若，，，则，，此时，故C错；D选项，显然恒成立，所以，即D选项正确.故选：D.15．“”是“实系数一元二次方程没有实根”的（ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出实系数一元二次方程没有实根对应的的范围，根据集合包含关系即可判断.【详解】实系数一元二次方程没有实根，则，解得，，“”是“实系数一元二次方程没有实根”的必要不充分条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．16．已知、、，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若，则；②若，则；③若.则；④若，，，，则，.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断命题①②③的真假；利用特殊值法判断④的真假．【详解】①若，可知，则；所以①正确；②若，则；满足不等式的基本性质，所以②正确；③若，则；满足不等式的基本性质，所以③正确；④若，，，，则，．反例，，满足条件，不能推出结论，所以④不正确；故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，考查反例法的应用，是基础题．第Ⅱ卷三、解答题：17．已知全集，集合，集合.（1）当时，求集合；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）解分式不等式以及绝对值不等式，求出集合，再利用集合的并运算即可求解. （2）由题意可得，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当时，，所以.（2）由（1）可得或， 若，则，可得或，解得或.所以实数a的取值范围为.18．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.19．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道占地面积最小528．【分析】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，由均值不等式，得，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小528m2．20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中．（1）请求出的值，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．【答案】（1）950；发车间隔为5，载客量为950；（2），．【分析】（1）根据分段函数性质直接代入求解即可；（2）分段计算净收益，并求最值，比较大小.【详解】（1），的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950；（2）当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．21．对于定义在上的函数,若函数满足：①在区间上单调递减，②存在常数,使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”，说明理由；(2)求证：函数不是函数的“渐近函数”；(3)若函数，,求证：当且仅当时,是的“渐近函数”.【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】(1)用反比例型函数的单调性,可以判断函数是否满足定义中的两条性质,进而可以判断出函数是不是函数的“渐近函数”.(2)利用指数型函数的单调性、单调性的性质,证明出函数至少不满足定义中两条性质中的一条,即可证明出函数不是函数的“渐近函数”；(3)根据定义可知函数是上的减函数.这样运用单调性的定义,可以求出的取值范围,再根据定义中的第二条性质再求出的取值范围,最后可以确定的值.【详解】(1) 函数是函数的“渐近函数”理由如下：,显然函数在上单调递减,当时, ,因此存在常数,使得函数的值域为,故函数是函数的“渐近函数”；(2) ,由指数型复合函数的单调性和函数单调性的性质可知：函数在上单调递减,符合定义中的第一条性质,当时, ,,故函数的值趋近负无穷大,故不满足第二条性质,故函数不是函数的“渐近函数”； (3) 由题意可知：在上是减函数.设且,则有,因为且,所以，因为在上是减函数，而,则必有，所以,即；函数在上的值域为,则有,显然,当时，,因此,综上所述：.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用,考查了数学阅读能力,考查了函数单调性的定义及性质.
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第二单元 等式与不等式单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第一单元 等式与不等式。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．不等式的解集为__________．2．不等式的解集为________3．不等式的解集为______.4．已知，求的最大值______.5．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为__________.6．函数的定义域是_____.7．对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.8．已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是________.9．若关于的不等式只有一个解，则满足条件的实数组成的集合是________.10．已知，则的范围是______________.11．若函数在区间上至少存在一个实数，使，则实数的取值范围为________.12．设x＞0，当x＝________时，x取到最小值．二、选择题：13．如果，那么下列不等式中错误的是（ ）A． B． C． D．14．下列不等式中，恒成立的是（ ）A． B．C． D．15．“”是“实系数一元二次方程没有实根”的（ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知、、，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若，则；②若，则；③若.则；④若，，，，则，.A． B． C． D．第Ⅱ卷三、解答题：17．已知全集，集合，集合.（1）当时，求集合；（2）若，求实数a的取值范围.18．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.19．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中．（1）请求出的值，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．21．对于定义在上的函数,若函数满足：①在区间上单调递减，②存在常数,使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”，说明理由；(2)求证：函数不是函数的“渐近函数”；(3)若函数，,求证：当且仅当时,是的“渐近函数”. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第二单元 等式与不等式单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第一单元 等式与不等式。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．不等式的解集为__________．【答案】【分析】分，，三种情况讨论，即可求出结果．【详解】当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，显然不成立；综上，原不等式的解集为．故答案为：．2．不等式的解集为________【答案】【详解】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.3．不等式的解集为______.【答案】【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．【详解】不等式化为，，，解得或．故答案为：．【点睛】方法点睛：解分式不等式的方法：把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数．4．已知，求的最大值______.【答案】0【分析】原式化为，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】，所以，因为，当且仅当时，取等号；．即的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.5．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】先由不等式的解集求出与之间关系，进而代入所求不等式，即可得出结果.【详解】因为不等式的解集为，所以，即，因此不等式可化为，则，解得，即不等式的解集为.故答案为：.6．函数的定义域是_____.【答案】.【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．7．对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】结合绝对值三角不等式得，即求即可【详解】由绝对值三角不等式得，即恒成立，当时，去绝对值得，解得，故；当时，，此时无解，综上所述，故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的.8．已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是________.【答案】【分析】变换得到，化简得到，根据解集得，解得答案.【详解】，则，即，化简得到，不等式解集是，故且，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，将题目转化为是解题的关键.9．若关于的不等式只有一个解，则满足条件的实数组成的集合是________.【答案】【分析】考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】当时，解为，不满足条件；当时，不等式只有一个解，则，解得.综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，属于简单题.10．已知，则的范围是______________.【答案】【分析】根据不等式的性质运算求解即可.【详解】由题,故,.故,,则,又,故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.11．若函数在区间上至少存在一个实数，使，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间上任意一个x，都有，只需满足，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数在区间上至少存在一个实数，使的否定为：对于区间上任意一个x，都有，则，即，整理得，解得或，所以函数在区间上至少存在一个实数，使的实数p的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.12．设x＞0，当x＝________时，x取到最小值．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：∵x＞0，∴x，当且仅当x＝时取等号，因此当x＝时，x有最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、选择题：13．如果，那么下列不等式中错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解．【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B，因为，所以，所以该选项正确；对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D，所以，所以该选项正确．故选：C14．下列不等式中，恒成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特殊值法，可判断ABC错，根据不等式的性质，由作差法，可判断D正确.【详解】A选项，若，则，故A错；B选项，若，则，故B错；C选项，若，，，则，，此时，故C错；D选项，显然恒成立，所以，即D选项正确.故选：D.15．“”是“实系数一元二次方程没有实根”的（ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出实系数一元二次方程没有实根对应的的范围，根据集合包含关系即可判断.【详解】实系数一元二次方程没有实根，则，解得，，“”是“实系数一元二次方程没有实根”的必要不充分条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．16．已知、、，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若，则；②若，则；③若.则；④若，，，，则，.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断命题①②③的真假；利用特殊值法判断④的真假．【详解】①若，可知，则；所以①正确；②若，则；满足不等式的基本性质，所以②正确；③若，则；满足不等式的基本性质，所以③正确；④若，，，，则，．反例，，满足条件，不能推出结论，所以④不正确；故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，考查反例法的应用，是基础题．第Ⅱ卷三、解答题：17．已知全集，集合，集合.（1）当时，求集合；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）解分式不等式以及绝对值不等式，求出集合，再利用集合的并运算即可求解. （2）由题意可得，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当时，，所以.（2）由（1）可得或， 若，则，可得或，解得或.所以实数a的取值范围为.18．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.19．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道占地面积最小528．【分析】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，由均值不等式，得，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小528m2．20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中．（1）请求出的值，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．【答案】（1）950；发车间隔为5，载客量为950；（2），．【分析】（1）根据分段函数性质直接代入求解即可；（2）分段计算净收益，并求最值，比较大小.【详解】（1），的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950；（2）当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．21．对于定义在上的函数,若函数满足：①在区间上单调递减，②存在常数,使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”，说明理由；(2)求证：函数不是函数的“渐近函数”；(3)若函数，,求证：当且仅当时,是的“渐近函数”.【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】(1)用反比例型函数的单调性,可以判断函数是否满足定义中的两条性质,进而可以判断出函数是不是函数的“渐近函数”.(2)利用指数型函数的单调性、单调性的性质,证明出函数至少不满足定义中两条性质中的一条,即可证明出函数不是函数的“渐近函数”；(3)根据定义可知函数是上的减函数.这样运用单调性的定义,可以求出的取值范围,再根据定义中的第二条性质再求出的取值范围,最后可以确定的值.【详解】(1) 函数是函数的“渐近函数”理由如下：,显然函数在上单调递减,当时, ,因此存在常数,使得函数的值域为,故函数是函数的“渐近函数”；(2) ,由指数型复合函数的单调性和函数单调性的性质可知：函数在上单调递减,符合定义中的第一条性质,当时, ,,故函数的值趋近负无穷大,故不满足第二条性质,故函数不是函数的“渐近函数”； (3) 由题意可知：在上是减函数.设且,则有,因为且,所以，因为在上是减函数，而,则必有，所以,即；函数在上的值域为,则有,显然,当时，,因此,综上所述：.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用,考查了数学阅读能力,考查了函数单调性的定义及性质.
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