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上教版 (2020)3.2 对数课时训练
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这是一份上教版 (2020)3.2 对数课时训练，共29页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，十七世纪之交，随着天文，定时训练等内容，欢迎下载使用。
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 对数
例1．（1）、（2023·江苏高一课前预习）计算___________.
（2）．（2023·上海）下列计算中结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-1】．（2023·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________.
【变式训练1-2】、（2023·上海）下列各式中，正确的是（ ）
① ②
③ ④
⑤
A．①④⑤B．③④C．③D．全正确
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2023·全国高一课时练习）如果，则有（ ）
A．B．C．D．
（2）、（2023·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ；
（3）．（2022·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）lg6＝﹣2．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）lg216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【变式训练2-3】．（2023·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与=3
C．=与lg8=-D．lg77=1与71=7
(三) 解对数方程
例3．（1）．（2023·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.
（2）．（2023·上海）若，则_____________.
【变式训练3-1】．（2023·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式训练3-2】．（2023·上海）方程的解为__________.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（1）、（2023·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；
（2）．（2023·浙江高一课时练习）化简的结果是（ ）
A．B．1C．2D．4
例5．（2023·金寨县青山中学高三开学考试）计算：（1）
（2）＋＋－3π0＋；
【变式训练5-1】．（2023·上海高一专题练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
例6．（2023·南京外国语学校高一月考）（1）已知，，．求的值；
（2）若，，用a，b表示．
【变式训练6-1】．（2023·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；
（2）已知，试用表示对数.
(五) 对数的实际应用
例7．（1）、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
（2）、（2022·上海高三专题练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【变式训练7-1】．（2023·江苏扬州·高三月考）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A．B．C．D．
【变式训练7-2】、（2023·江苏洪泽·高三月考）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（ ）
A．10B．15C．30D．32
例8、（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【变式训练8-1】．（2023·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.
（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么
（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaG”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海高一课时练习）若，则_________．
2．（2023·上海）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
3．（2023·上海高一单元测试）若则的值为_______
4．（2023·上海）若，则________．
5．（2023·江苏苏州·）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：）
6．（2023·江苏泰州·）国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过_________年，使得木材总量翻两番．（参考数据：，，）（ ）
A．5B．6C．9D．10
7．（2023·上海市实验学校高一期中）（1）已知，且，求实数的值；
（2）已知，，试用、表示，.
8．（2023·上海）化简
（1）
（2）
专题3.2 对数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 对数
例1．（1）、（2023·江苏高一课前预习）计算___________.
【答案】0
【分析】
根据对数的性质及指对数的关系，即可求值.
【详解】
由对数的基本性质、指对数的关系，知：.
故答案为：0.
（2）．（2023·上海）下列计算中结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
【变式训练1-1】．（2023·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________.
【答案】
【分析】
根据对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】
解：
故答案为：
【变式训练1-2】、（2023·上海）下列各式中，正确的是（ ）
① ②
③ ④
⑤
A．①④⑤B．③④C．③D．全正确
【答案】C
【分析】
根据对数的运算法则及对数的性质计算可得；
【详解】
解：①，③，
④，⑤，
故正确的只有③.
故选：C.
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2023·全国高一课时练习）如果，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用指数化对数得可，故选：C．
（2）、（2023·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ；
【答案】243
【分析】
利用指对数互化即可求出.
【详解】
因为，所以.
故答案为：243.
（3）．（2022·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】
由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【点睛】
本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）lg6＝﹣2．
【分析】根据对数的定义进行转化．
【答案】解：（1）lg100＝2，（2）eb＝a，（3）lg7343＝3；（4）6﹣2＝．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）lg216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【分析】根据指数式ax＝N等价于对数式x＝lgaN，可将指数式与对数式互化．
【答案】解：（1）lg216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；
（3）43＝64可化为：lg464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．
【变式训练2-3】．（2023·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与=3
C．=与lg8=-D．lg77=1与71=7
【答案】B
【分析】
利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【详解】
对于A，e0=1可化为0=lge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，lg39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为lg8=-，所以C中互化正确；
对于D，lg77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
(三) 解对数方程
例3．（1）．（2023·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.
【答案】2
【分析】
将对数式化为指数式，由此求得.
【详解】
由于，所以.
故答案为：
（2）．（2023·上海）若，则_____________.
【答案】
【分析】
根据对数的运算性质计算可得；
【详解】
解：
因为，所以
故答案为：
【变式训练3-1】．（2023·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据对数的定义，先求出，进而求出x.
【详解】
因为，所以，则x=2.
故选：B.
【变式训练3-2】．（2023·上海）方程的解为__________.
【答案】或
【分析】
将原方程化为，可得或，即可得出原方程的解.
【详解】
因为，即，
所以，或，即或，解得或.
故原方程的解为或.
故答案为：或.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（1）、（2023·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；
【答案】.
【分析】
由指对互化及换底公式和对数运算性质可得结果.
【详解】
由得，，
则，
所以，又，所以.
故答案为：.
（2）．（2023·浙江高一课时练习）化简的结果是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】原式.故选：C.
例5．（2023·金寨县青山中学高三开学考试）计算：（1）
（2）＋＋－3π0＋；
【答案】（1）；（2）100.
【分析】
（1）利用对数的运算法则和对数恒等式化简运算即得；
（2）利用分数指数幂的运算化简即得.
【详解】
解：（1）原式=
=
;
（2）原式＝
＝
＝100.
【变式训练5-1】．（2023·上海高一专题练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
【答案】（1）3；（2）1；（3）-7.
【分析】
利用对数的运算性质化简计算即可.
【详解】
（1）原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2
=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
（2）原式=
（3）原式=
例6．（2023·南京外国语学校高一月考）（1）已知，，．求的值；
（2）若，，用a，b表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，将 用表示出来，
（2）化指数式为对数式求得，把要表示的式字换成以18为底的对数，即可求解.
【详解】
（1）设，
所以，，，
所以，即，
即，令，
则，解得：或（舍），
所以
，
（2）由题意，所以，则.
【点睛】
本题主要考查了指对函数互化，以及对数的运算，换底公式，属于中档题
【变式训练6-1】．（2023·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；
（2）已知，试用表示对数.
【答案】（1）-12；（2）.
【分析】
（1）利用对数运算求得正确结论.
（2）利用对数运算求得正确结论.
【详解】
（1）原式
.
（2）
.
(五) 对数的实际应用
例7．（1）、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
【答案】 1
【解析】
，，
；
.
故答案为：；1
（2）、（2022·上海高三专题练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
【变式训练7-1】．（2023·江苏扬州·高三月考）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】
由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
【变式训练7-2】、（2023·江苏洪泽·高三月考）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（ ）
A．10B．15C．30D．32
【答案】D
【分析】
根据地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，计算即可求解.
【详解】
由题意知，，，
所以,
解得，
故选：D
例8、（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；
（2）利用指数与对数式的互化解方程，求得即可得解.
【详解】
（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，
所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；
（2）由可得，
所以，，.
因此，该古生物距今大约年.
【变式训练8-1】．（2023·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.
（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么
（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaG”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析.
【分析】
（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果；
（2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果；
（3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论.
【详解】
（1）如果，且，，
那么，
化为对数式得；
（2）设，所以，
因为，所以，
所以，
所以的位数为6677；
（3）根据题意得，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以甲同学的近似值更接近.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海高一课时练习）若，则_________．
【答案】5
【分析】
利用对数的运算性质求解即可.
【详解】
.
故答案为：
2．（2023·上海）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【分析】
利用指对数的等价关系即可得出.
【详解】
.
故答案为：，，，.
3．（2023·上海高一单元测试）若则的值为_______
【答案】1
【分析】
将指数式化为对数式得，，代入可得，，根据换底公式可求值.
【详解】
由题意可得，，，
∵
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力.
4．（2023·上海）若，则________．
【答案】64
【分析】
利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】
.
故答案为：64
【点睛】
本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
5．（2023·江苏苏州·）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：）
【答案】； 3883
【分析】
根据指数函数模型得出函数关系式，然后由计算．
【详解】
设1年后碳14含量为原来的倍，则，，
∴，
由，即，∴，
∴，．
故答案为：；3883．
6．（2023·江苏泰州·）国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过_________年，使得木材总量翻两番．（参考数据：，，）（ ）
A．5B．6C．9D．10
【答案】D
【分析】
先判断每年的木材产量的规律，列出第年的木材总量，再根据木材翻两番后木材产量为，解得，即得结果．
【详解】
第1年：2019年底的木材总量为万立方米，
第2年：2020年底的木材总量为万立方米，
第3年：2021年底的木材总量为万立方米，
第4年：2022年底的木材总量为万立方米，
……
第年：木材总量为万立方米，
由木材总量翻两番即为，令，
，，即，
又，∴，
故第11年时，即至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．
故选：D．
7．（2023·上海市实验学校高一期中）（1）已知，且，求实数的值；
（2）已知，，试用、表示，.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据条件可得出，从而可得出，进而可得出的值；
（2）根据对数的换底公式和对数的运算即可用，表示出和．
【详解】
解：（1），
，，
，
且，
；
（2），，
，
．
8．（2023·上海）化简
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）2.
【分析】
（1）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现符号错误.
【详解】
（1）
（2）
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 对数
例1．（1）、（2023·江苏高一课前预习）计算___________.
（2）．（2023·上海）下列计算中结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1-1】．（2023·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________.
【变式训练1-2】、（2023·上海）下列各式中，正确的是（ ）
① ②
③ ④
⑤
A．①④⑤B．③④C．③D．全正确
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2023·全国高一课时练习）如果，则有（ ）
A．B．C．D．
（2）、（2023·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ；
（3）．（2022·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）lg6＝﹣2．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）lg216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【变式训练2-3】．（2023·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与=3
C．=与lg8=-D．lg77=1与71=7
(三) 解对数方程
例3．（1）．（2023·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.
（2）．（2023·上海）若，则_____________.
【变式训练3-1】．（2023·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式训练3-2】．（2023·上海）方程的解为__________.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（1）、（2023·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；
（2）．（2023·浙江高一课时练习）化简的结果是（ ）
A．B．1C．2D．4
例5．（2023·金寨县青山中学高三开学考试）计算：（1）
（2）＋＋－3π0＋；
【变式训练5-1】．（2023·上海高一专题练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
例6．（2023·南京外国语学校高一月考）（1）已知，，．求的值；
（2）若，，用a，b表示．
【变式训练6-1】．（2023·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；
（2）已知，试用表示对数.
(五) 对数的实际应用
例7．（1）、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
（2）、（2022·上海高三专题练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【变式训练7-1】．（2023·江苏扬州·高三月考）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A．B．C．D．
【变式训练7-2】、（2023·江苏洪泽·高三月考）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（ ）
A．10B．15C．30D．32
例8、（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【变式训练8-1】．（2023·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.
（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么
（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaG”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海高一课时练习）若，则_________．
2．（2023·上海）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
3．（2023·上海高一单元测试）若则的值为_______
4．（2023·上海）若，则________．
5．（2023·江苏苏州·）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：）
6．（2023·江苏泰州·）国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过_________年，使得木材总量翻两番．（参考数据：，，）（ ）
A．5B．6C．9D．10
7．（2023·上海市实验学校高一期中）（1）已知，且，求实数的值；
（2）已知，，试用、表示，.
8．（2023·上海）化简
（1）
（2）
专题3.2 对数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
考点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
三、题型突破
(一) 对数
例1．（1）、（2023·江苏高一课前预习）计算___________.
【答案】0
【分析】
根据对数的性质及指对数的关系，即可求值.
【详解】
由对数的基本性质、指对数的关系，知：.
故答案为：0.
（2）．（2023·上海）下列计算中结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
【变式训练1-1】．（2023·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________.
【答案】
【分析】
根据对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】
解：
故答案为：
【变式训练1-2】、（2023·上海）下列各式中，正确的是（ ）
① ②
③ ④
⑤
A．①④⑤B．③④C．③D．全正确
【答案】C
【分析】
根据对数的运算法则及对数的性质计算可得；
【详解】
解：①，③，
④，⑤，
故正确的只有③.
故选：C.
(二) 对数与指数互化
例2．（1）、（2023·全国高一课时练习）如果，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用指数化对数得可，故选：C．
（2）、（2023·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ；
【答案】243
【分析】
利用指对数互化即可求出.
【详解】
因为，所以.
故答案为：243.
（3）．（2022·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】
由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【点睛】
本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）lg6＝﹣2．
【分析】根据对数的定义进行转化．
【答案】解：（1）lg100＝2，（2）eb＝a，（3）lg7343＝3；（4）6﹣2＝．
【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化：
（1）lg216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．
【分析】根据指数式ax＝N等价于对数式x＝lgaN，可将指数式与对数式互化．
【答案】解：（1）lg216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；
（3）43＝64可化为：lg464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．
【变式训练2-3】．（2023·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与=3
C．=与lg8=-D．lg77=1与71=7
【答案】B
【分析】
利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【详解】
对于A，e0=1可化为0=lge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，lg39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为lg8=-，所以C中互化正确；
对于D，lg77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
(三) 解对数方程
例3．（1）．（2023·上海市进才中学高一期中）若，则=__________.
【答案】2
【分析】
将对数式化为指数式，由此求得.
【详解】
由于，所以.
故答案为：
（2）．（2023·上海）若，则_____________.
【答案】
【分析】
根据对数的运算性质计算可得；
【详解】
解：
因为，所以
故答案为：
【变式训练3-1】．（2023·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据对数的定义，先求出，进而求出x.
【详解】
因为，所以，则x=2.
故选：B.
【变式训练3-2】．（2023·上海）方程的解为__________.
【答案】或
【分析】
将原方程化为，可得或，即可得出原方程的解.
【详解】
因为，即，
所以，或，即或，解得或.
故原方程的解为或.
故答案为：或.
(四) 用对数型公式及换底公式化简求值
例4．（1）、（2023·上海市松江一中）已知，且，则的值是_________；
【答案】.
【分析】
由指对互化及换底公式和对数运算性质可得结果.
【详解】
由得，，
则，
所以，又，所以.
故答案为：.
（2）．（2023·浙江高一课时练习）化简的结果是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】原式.故选：C.
例5．（2023·金寨县青山中学高三开学考试）计算：（1）
（2）＋＋－3π0＋；
【答案】（1）；（2）100.
【分析】
（1）利用对数的运算法则和对数恒等式化简运算即得；
（2）利用分数指数幂的运算化简即得.
【详解】
解：（1）原式=
=
;
（2）原式＝
＝
＝100.
【变式训练5-1】．（2023·上海高一专题练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
【答案】（1）3；（2）1；（3）-7.
【分析】
利用对数的运算性质化简计算即可.
【详解】
（1）原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2
=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
（2）原式=
（3）原式=
例6．（2023·南京外国语学校高一月考）（1）已知，，．求的值；
（2）若，，用a，b表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，将 用表示出来，
（2）化指数式为对数式求得，把要表示的式字换成以18为底的对数，即可求解.
【详解】
（1）设，
所以，，，
所以，即，
即，令，
则，解得：或（舍），
所以
，
（2）由题意，所以，则.
【点睛】
本题主要考查了指对函数互化，以及对数的运算，换底公式，属于中档题
【变式训练6-1】．（2023·上海市进才中学高一期中）（1）求值(写出必要的过程)：；
（2）已知，试用表示对数.
【答案】（1）-12；（2）.
【分析】
（1）利用对数运算求得正确结论.
（2）利用对数运算求得正确结论.
【详解】
（1）原式
.
（2）
.
(五) 对数的实际应用
例7．（1）、十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
【答案】 1
【解析】
，，
；
.
故答案为：；1
（2）、（2022·上海高三专题练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
【变式训练7-1】．（2023·江苏扬州·高三月考）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】
由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
【变式训练7-2】、（2023·江苏洪泽·高三月考）2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（ ）
A．10B．15C．30D．32
【答案】D
【分析】
根据地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，计算即可求解.
【详解】
由题意知，，，
所以,
解得，
故选：D
例8、（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；
（2）利用指数与对数式的互化解方程，求得即可得解.
【详解】
（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，
所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；
（2）由可得，
所以，，.
因此，该古生物距今大约年.
【变式训练8-1】．（2023·上海市洋泾中学高一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算.
（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么
（2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注）
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaG”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析.
【分析】
（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果；
（2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果；
（3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论.
【详解】
（1）如果，且，，
那么，
化为对数式得；
（2）设，所以，
因为，所以，
所以，
所以的位数为6677；
（3）根据题意得，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
所以甲同学的近似值更接近.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键.
四、定时训练（30分钟）
1．（2023·上海高一课时练习）若，则_________．
【答案】5
【分析】
利用对数的运算性质求解即可.
【详解】
.
故答案为：
2．（2023·上海）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【分析】
利用指对数的等价关系即可得出.
【详解】
.
故答案为：，，，.
3．（2023·上海高一单元测试）若则的值为_______
【答案】1
【分析】
将指数式化为对数式得，，代入可得，，根据换底公式可求值.
【详解】
由题意可得，，，
∵
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力.
4．（2023·上海）若，则________．
【答案】64
【分析】
利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】
.
故答案为：64
【点睛】
本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
5．（2023·江苏苏州·）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：）
【答案】； 3883
【分析】
根据指数函数模型得出函数关系式，然后由计算．
【详解】
设1年后碳14含量为原来的倍，则，，
∴，
由，即，∴，
∴，．
故答案为：；3883．
6．（2023·江苏泰州·）国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过_________年，使得木材总量翻两番．（参考数据：，，）（ ）
A．5B．6C．9D．10
【答案】D
【分析】
先判断每年的木材产量的规律，列出第年的木材总量，再根据木材翻两番后木材产量为，解得，即得结果．
【详解】
第1年：2019年底的木材总量为万立方米，
第2年：2020年底的木材总量为万立方米，
第3年：2021年底的木材总量为万立方米，
第4年：2022年底的木材总量为万立方米，
……
第年：木材总量为万立方米，
由木材总量翻两番即为，令，
，，即，
又，∴，
故第11年时，即至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．
故选：D．
7．（2023·上海市实验学校高一期中）（1）已知，且，求实数的值；
（2）已知，，试用、表示，.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据条件可得出，从而可得出，进而可得出的值；
（2）根据对数的换底公式和对数的运算即可用，表示出和．
【详解】
解：（1），
，，
，
且，
；
（2），，
，
．
8．（2023·上海）化简
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）2.
【分析】
（1）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现符号错误.
【详解】
（1）
（2）
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