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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第三章综合测试卷（B卷 能力提升）学生版+教师版
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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第三单元 幂、指数与对数单元测试卷（B 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第三单元 幂、指数与对数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．方程的根为___________.2．×0＋80.25×＋(×)6－=____________3．若，，则____.（用，表示）4．已知，，则______．5．已知，试用的式子表示________．6．已知，则＝_____.7．已知，若，，则___________.8．已知a＞1，b＞1，ab＝8，则的最大值为_____.9．设，满足，则的最小值为__________.10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60℃的物体，放在20℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是50℃，则______.（精确到0.01）（参考数据：）11．给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②若函数是定义在的奇函数，则实数；③已知在上是增函数，若，则有④已知，，则（用表示）等于.其中正确说法是________.12．已知，，观察下列运算：； ；……定义使为整数的叫做“希望数”，则区间内所有的“希望数”的和为________________．二、选择题：13．下列运算中正确的是（ ）A． B．C． D．14．的值为（ ）A． B． C． D．15．“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ）A． B． C． D．16．若则x=（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、解答题：17．（1）计算（2）化简：.18．设，为方程的两个根，求的值．19．（1）已知，求的值；（2）甲乙两人同时解关于的方程：，甲写错了常数b，得两根3及；乙写错了常数c，得两根及81，求这个方程真正的根.20．已知．求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）正数满足，求的取值范围．（上述三问中，选择两问进行解答）21．丽水水阁开发区的某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物的量与时间间的关系式为.若经过5小时过滤，废气中的污染物的量为原来的，试回答：（1）10小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物的量减少需要经过多少时间（精确到）？（参考数据：） 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第三单元 幂、指数与对数单元测试卷（B 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第三单元 幂、指数与对数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．方程的根为___________.【答案】或【分析】令，，将原方程化为关于的一元二次方程，解出得到，进而得出方程的根.【详解】令，，故原方程可化为，解得或，故而或，即方程的根是或，故答案为：或2．×0＋80.25×＋(×)6－=____________【答案】110【分析】直接利用指数幂的运算化简求值.【详解】原式＝.故答案为：1103．若，，则____.（用，表示）【答案】【分析】应用对数计算公式进行化简即可【详解】由对数计算公式：，得：原式故答案为：4．已知，，则______．【答案】15【分析】利用指数式与对数式的关系求出，然后利用对数的运算性质求解即可【详解】由，得，，则，．所以，所以．故答案为：155．已知，试用的式子表示________．【答案】【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：.故答案为：.【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得，再结合对数运算性质化简即可得答案.6．已知，则＝_____.【答案】【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,利用对数的换底公式,即可求得答案.【详解】∵，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:是解本题的关键.属于基础题.7．已知，若，，则___________.【答案】9【分析】由对数的运算性质解并整理得，由可求出的值.【详解】解：，整理得，解得或，因为，所以，则，即，因为，所以，所以，解得或，因为，所以，所以，所以.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由得出，再根据指数运算求解.8．已知a＞1，b＞1，ab＝8，则的最大值为_____.【答案】【分析】由已知把用表示，然后用换元法，设，（），化为关于的函数式，用基本不等式求得最值．【详解】由得，，，，设，则，，∵，，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是，∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查对数的运算法则，解题方法是换元法，首先由已知条件消元，然后换元，把函数式变得更加简单易求解．还考查了用基本不等式求最值，属于中档．9．设，满足，则的最小值为__________.【答案】【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【详解】，令，则，，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60℃的物体，放在20℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是50℃，则______.（精确到0.01）（参考数据：）【答案】0.29【分析】的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是，则，从而，由此能求出的值．【详解】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是，则，，．故答案为：0.29．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数性质在生产生活中的实际应用，考查运算求解能力，是基础题．11．给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②若函数是定义在的奇函数，则实数；③已知在上是增函数，若，则有④已知，，则（用表示）等于.其中正确说法是________.【答案】①②③【分析】对各命题逐个判断后可得的选项.【详解】对于①，都是奇数的集合，故，故①正确.对于②，由于是定义在的奇函数，故即，故②正确.对于③，由可得，因为为上的增函数，故，同理，从而，故③正确.对于④，即，即.而.若，则有，其中，，令，因为关于的二次函数的图象开口向上，且，，所以方程在内无解，故不成立.故④错.故答案为：①②③.【点睛】本题考查集合相等的判断、奇函数的性质、函数单调性的应用以及对数的运算，注意用已知的对数表示未知的对数时，可能有不同的表示形式，否定一种表示形式需要结合正确的表示形式进行严密的论证，解题中可能会忽视该论证.12．已知，，观察下列运算：； ；……定义使为整数的叫做“希望数”，则区间内所有的“希望数”的和为________________．【答案】【分析】由an＝logn+1（n+2）＝，可得a1•a2•a3•…•an＝＝k，则n＝2k﹣2，即可得出．【详解】由an＝logn+1（n+2）＝，∴a1•a2•a3•…•an＝•…＝＝k，∴n+2＝2k，n∈[1，2016]，∴n＝22﹣2，23﹣1，…，210﹣2，∴在区间[1，2016]内所有希望数的和为22﹣2+23﹣2+…+210﹣2＝﹣2×9＝2026.故答案为2026．【点睛】本题考查了对数换底公式的运算、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题：13．下列运算中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别利用根式与指数幂的互化以及指数幂的运算律可判断选项A、B，利用对数的运算及性质进行判断B、D.【详解】对于A，所以，故A错；对于B，，故B正确；对于C，，故C错；对于D，，故D错.故选：B.14．的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.【详解】原式.故选：B15．“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【详解】解：云南澜沧发生地震为里氏7.6级，，即；①四川汶川发生的地震为里氏8级，，即．②①②得：，即，．故选：．16．若则x=（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解.【详解】由，得，即，所以.故选：A第Ⅱ卷三、解答题：17．（1）计算（2）化简：.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值.【详解】（1）；（2）原式.【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题.18．设，为方程的两个根，求的值．【答案】【分析】利用韦达定理及指数幂的性质化简求值即得.【详解】因为．而，为方程的两个根，所以，．所以，，且由，可得，所以，所以原式．19．（1）已知，求的值；（2）甲乙两人同时解关于的方程：，甲写错了常数b，得两根3及；乙写错了常数c，得两根及81，求这个方程真正的根.【答案】（1）；（2）根为27或；【分析】（1）利用指对数互化可得，代入即得；（2）根据题意可求出b，c，代入即求.【详解】（1）由题可得，即，∴；（2）由题意可得，，，故，，故，则原方程为，∴或，∴或，即这个方程真正的根为27或.20．已知．求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）正数满足，求的取值范围．（上述三问中，选择两问进行解答）【答案】（1）；（2）25；（3）．【分析】（1）由已知结合对数的运算性质可得，，，即，而，展开后利用基本不等式可求；（2）先把进行分离，通分化简后，再利用乘1法配凑，利用基本不等式可求；（3）由先求出的范围，由满足，解出，即可求解．【详解】解：（1）因为，所以，，，所以，所以，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值；（2），，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；（3）因为，当且仅当时取等号，解得，所以，因为正数满足，所以，故的取值范围．21．丽水水阁开发区的某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物的量与时间间的关系式为.若经过5小时过滤，废气中的污染物的量为原来的，试回答：（1）10小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物的量减少需要经过多少时间（精确到）？（参考数据：）【答案】（1）10小时后还剩的污染物；（2）32小时.【分析】（1）由题意，，求得，然后通过整体运算求得时，，则答案可求；（2）令，求解指数方程可得t值得答案.【详解】（1）由题意，，故，∴，即时，，故10小时后还剩的污染物；（2）令，可得，即，∴，即.故污染物的量减少需要经过32小时.
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第三单元 幂、指数与对数单元测试卷（B 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第三单元 幂、指数与对数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．方程的根为___________.2．×0＋80.25×＋(×)6－=____________3．若，，则____.（用，表示）4．已知，，则______．5．已知，试用的式子表示________．6．已知，则＝_____.7．已知，若，，则___________.8．已知a＞1，b＞1，ab＝8，则的最大值为_____.9．设，满足，则的最小值为__________.10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60℃的物体，放在20℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是50℃，则______.（精确到0.01）（参考数据：）11．给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②若函数是定义在的奇函数，则实数；③已知在上是增函数，若，则有④已知，，则（用表示）等于.其中正确说法是________.12．已知，，观察下列运算：； ；……定义使为整数的叫做“希望数”，则区间内所有的“希望数”的和为________________．二、选择题：13．下列运算中正确的是（ ）A． B．C． D．14．的值为（ ）A． B． C． D．15．“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ）A． B． C． D．16．若则x=（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、解答题：17．（1）计算（2）化简：.18．设，为方程的两个根，求的值．19．（1）已知，求的值；（2）甲乙两人同时解关于的方程：，甲写错了常数b，得两根3及；乙写错了常数c，得两根及81，求这个方程真正的根.20．已知．求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）正数满足，求的取值范围．（上述三问中，选择两问进行解答）21．丽水水阁开发区的某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物的量与时间间的关系式为.若经过5小时过滤，废气中的污染物的量为原来的，试回答：（1）10小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物的量减少需要经过多少时间（精确到）？（参考数据：） 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第三单元 幂、指数与对数单元测试卷（B 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第三单元 幂、指数与对数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．方程的根为___________.【答案】或【分析】令，，将原方程化为关于的一元二次方程，解出得到，进而得出方程的根.【详解】令，，故原方程可化为，解得或，故而或，即方程的根是或，故答案为：或2．×0＋80.25×＋(×)6－=____________【答案】110【分析】直接利用指数幂的运算化简求值.【详解】原式＝.故答案为：1103．若，，则____.（用，表示）【答案】【分析】应用对数计算公式进行化简即可【详解】由对数计算公式：，得：原式故答案为：4．已知，，则______．【答案】15【分析】利用指数式与对数式的关系求出，然后利用对数的运算性质求解即可【详解】由，得，，则，．所以，所以．故答案为：155．已知，试用的式子表示________．【答案】【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：.故答案为：.【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得，再结合对数运算性质化简即可得答案.6．已知，则＝_____.【答案】【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,利用对数的换底公式,即可求得答案.【详解】∵，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:是解本题的关键.属于基础题.7．已知，若，，则___________.【答案】9【分析】由对数的运算性质解并整理得，由可求出的值.【详解】解：，整理得，解得或，因为，所以，则，即，因为，所以，所以，解得或，因为，所以，所以，所以.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由得出，再根据指数运算求解.8．已知a＞1，b＞1，ab＝8，则的最大值为_____.【答案】【分析】由已知把用表示，然后用换元法，设，（），化为关于的函数式，用基本不等式求得最值．【详解】由得，，，，设，则，，∵，，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是，∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查对数的运算法则，解题方法是换元法，首先由已知条件消元，然后换元，把函数式变得更加简单易求解．还考查了用基本不等式求最值，属于中档．9．设，满足，则的最小值为__________.【答案】【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【详解】，令，则，，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60℃的物体，放在20℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是50℃，则______.（精确到0.01）（参考数据：）【答案】0.29【分析】的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是，则，从而，由此能求出的值．【详解】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是，则，，．故答案为：0.29．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数性质在生产生活中的实际应用，考查运算求解能力，是基础题．11．给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②若函数是定义在的奇函数，则实数；③已知在上是增函数，若，则有④已知，，则（用表示）等于.其中正确说法是________.【答案】①②③【分析】对各命题逐个判断后可得的选项.【详解】对于①，都是奇数的集合，故，故①正确.对于②，由于是定义在的奇函数，故即，故②正确.对于③，由可得，因为为上的增函数，故，同理，从而，故③正确.对于④，即，即.而.若，则有，其中，，令，因为关于的二次函数的图象开口向上，且，，所以方程在内无解，故不成立.故④错.故答案为：①②③.【点睛】本题考查集合相等的判断、奇函数的性质、函数单调性的应用以及对数的运算，注意用已知的对数表示未知的对数时，可能有不同的表示形式，否定一种表示形式需要结合正确的表示形式进行严密的论证，解题中可能会忽视该论证.12．已知，，观察下列运算：； ；……定义使为整数的叫做“希望数”，则区间内所有的“希望数”的和为________________．【答案】【分析】由an＝logn+1（n+2）＝，可得a1•a2•a3•…•an＝＝k，则n＝2k﹣2，即可得出．【详解】由an＝logn+1（n+2）＝，∴a1•a2•a3•…•an＝•…＝＝k，∴n+2＝2k，n∈[1，2016]，∴n＝22﹣2，23﹣1，…，210﹣2，∴在区间[1，2016]内所有希望数的和为22﹣2+23﹣2+…+210﹣2＝﹣2×9＝2026.故答案为2026．【点睛】本题考查了对数换底公式的运算、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题：13．下列运算中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别利用根式与指数幂的互化以及指数幂的运算律可判断选项A、B，利用对数的运算及性质进行判断B、D.【详解】对于A，所以，故A错；对于B，，故B正确；对于C，，故C错；对于D，，故D错.故选：B.14．的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.【详解】原式.故选：B15．“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：年云南澜沧发生地震为里氏级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【详解】解：云南澜沧发生地震为里氏7.6级，，即；①四川汶川发生的地震为里氏8级，，即．②①②得：，即，．故选：．16．若则x=（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解.【详解】由，得，即，所以.故选：A第Ⅱ卷三、解答题：17．（1）计算（2）化简：.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值.【详解】（1）；（2）原式.【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题.18．设，为方程的两个根，求的值．【答案】【分析】利用韦达定理及指数幂的性质化简求值即得.【详解】因为．而，为方程的两个根，所以，．所以，，且由，可得，所以，所以原式．19．（1）已知，求的值；（2）甲乙两人同时解关于的方程：，甲写错了常数b，得两根3及；乙写错了常数c，得两根及81，求这个方程真正的根.【答案】（1）；（2）根为27或；【分析】（1）利用指对数互化可得，代入即得；（2）根据题意可求出b，c，代入即求.【详解】（1）由题可得，即，∴；（2）由题意可得，，，故，，故，则原方程为，∴或，∴或，即这个方程真正的根为27或.20．已知．求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）正数满足，求的取值范围．（上述三问中，选择两问进行解答）【答案】（1）；（2）25；（3）．【分析】（1）由已知结合对数的运算性质可得，，，即，而，展开后利用基本不等式可求；（2）先把进行分离，通分化简后，再利用乘1法配凑，利用基本不等式可求；（3）由先求出的范围，由满足，解出，即可求解．【详解】解：（1）因为，所以，，，所以，所以，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值；（2），，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；（3）因为，当且仅当时取等号，解得，所以，因为正数满足，所以，故的取值范围．21．丽水水阁开发区的某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物的量与时间间的关系式为.若经过5小时过滤，废气中的污染物的量为原来的，试回答：（1）10小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物的量减少需要经过多少时间（精确到）？（参考数据：）【答案】（1）10小时后还剩的污染物；（2）32小时.【分析】（1）由题意，，求得，然后通过整体运算求得时，，则答案可求；（2）令，求解指数方程可得t值得答案.【详解】（1）由题意，，故，∴，即时，，故10小时后还剩的污染物；（2）令，可得，即，∴，即.故污染物的量减少需要经过32小时.
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