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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第五章综合测试卷（B卷 能力提升）（学生版+教师版）
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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2023·上海市进才中学高一期末）已知是，的反函数，则函数的最小值为________.2．（2023·上海市进才中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.3．（2023·上海·高一专题练习）函数，的值域为__________．4．（2023·上海虹口·高一期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________．5．（2023·上海虹口·高一期末）已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围为________．8．（2023·上海市控江中学高一期末）函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.9．（2023·上海市控江中学高一期末）设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．10．（2023·上海市控江中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是______.11．（2023·上海·高一专题练习）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.12．（2023·上海市实验学校高一期末）已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2023·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是A． B． C． D．14．（2023·上海市进才中学高一期末）“”是“函数在区间上严格递减”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．（2023·上海市进才中学高一期末）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．16．（2023·上海虹口·高一期末）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2022·河南·郑州一中高三（理））已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.18．（2023·上海·高一专题练习）某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？19．（2023·上海·高一专题练习）设是正常数，函数满足.（1）求的值，并判断函数的奇偶性；（2）是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）对任意的实数x、x，且，求证：；（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．21．（2023·上海虹口·高一期末）对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围． 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2023·上海市进才中学高一期末）已知是，的反函数，则函数的最小值为________.【答案】3【分析】首先根据函数的单调性求出函数的值域，即可得到反函数的定义域，根据原函数的单调性得到反函数的单调性，即可得到的单调性，从而求出其最小值；【详解】解：因为在上单调递增，所以，，所以的值域为所以的定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在定义域上单调递增，因为，所以所以故答案为：2．（2023·上海市进才中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.【答案】【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为；故答案为：3．（2023·上海·高一专题练习）函数，的值域为__________．【答案】【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，所以，又，且，，所以，所以的值域为，故答案为：.4．（2023·上海虹口·高一期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________．【答案】【分析】分别代入，计算得和，所以可得方程在区间内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为.【详解】当时，，时，，所以方程在区间内有实根，所以下一个取的点是.故答案为：5．（2023·上海虹口·高一期末）已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值．【详解】解：的图象过点，函数的图象过点，又，，即．故答案为：．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】利用对称性和指数函数的单调性，判定函数在[a,+∞)上单调递增，再结合已知条件即可求出结果．【详解】因为函数的对称轴为，所以函数在上是增函数； 又函数在上是增函数，所以．故答案为：.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】先根据已知条件判断出的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】当时，，当时，，且，所以是定义在上的奇函数，因为的对称轴为，所以在上单调递增，由为奇函数可知在上单调递增，因为，所以，所以，所以或，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：（1）利用奇偶性将不等式变形为；、（2）根据单调性得到与的大小关系；（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.8．（2023·上海市控江中学高一期末）函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，所以二次函数对称轴，故答案为：9．（2023·上海市控江中学高一期末）设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.10．（2023·上海市控江中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是______.【答案】【分析】根据函数的对称性求出的解析式，代入求解即可.【详解】解：因为函数的图像与的图像关于直线对称，则，又函数的图像与的图像关于轴对称，则，，则.故答案为：【点睛】知识点点睛：（1）与图像关于直线对称，则；（2）与关于轴对称，则；（3）与关于轴对称，则；11．（2023·上海·高一专题练习）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /ex （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案为212．（2023·上海市实验学校高一期末）已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.【答案】10【分析】先分析出是偶函数且，然后即可求出所有的的值【详解】因为所以所以是偶函数若则或解得或2或4又因为所以当时也成立故满足条件的所有整数的和是故答案为：10【点睛】要善于从一个函数的解析式分析出其性质，比如单调性、奇偶性和一些特有的性质.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2023·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.14．（2023·上海市进才中学高一期末）“”是“函数在区间上严格递减”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求解出函数在区间上严格递减时的取值范围，然后根据与所求的范围之间的关系确定出属于何种条件.【详解】因为，所以若在上严格递减则有，所以，又因为，所以“”是“函数在区间上严格减”的充分不必要条件，故选：A.15．（2023·上海市进才中学高一期末）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由的解集可知的解集，设，即可知的解集，再利用指数函数的单调性解不等式.【详解】由不等式的解集为，得的解集为，设，，即的解集为，故，即，解得，故选：D.16．（2023·上海虹口·高一期末）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为是定义在R上的奇函数，且当时，，所以时，，所以在R上单调递增，且．对任意的，不等式恒成立，即恒成立．因为在R上单调递增，所以任意的，恒成立．即恒成立，当时，，所以只需，解得．故A正确．考点：奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2022·河南·郑州一中高三（理））已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）当时；（2）由等价于，解之得.试题解析： （1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为. （2）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于. ① 当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.考点：不等式选讲.18．（2023·上海·高一专题练习）某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）；（2），每吨最大利润为4万元.【分析】(1)求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1.(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.【详解】(1)由题意，除尘后，当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1.(2)由(1)，总利润，每吨产品的利润为，当且仅当，即x=8时取等号，除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.19．（2023·上海·高一专题练习）设是正常数，函数满足.（1）求的值，并判断函数的奇偶性；（2）是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1），奇函数；（2）存在，.【分析】（1）代入条件，求得参数a，写出函数解析式；利用奇偶性定义验证与间的关系即可判断函数奇偶性；（2）使得对于任意恒成立，等价于M大于在上的最大值，借助函数单调性求得最大值即可，再根据M为正整数，求得其最小值.【详解】解：（1）由，得，即，又，解得.于是.对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为.在中任取一个实数，都有，并且.故，因此是奇函数.（2）设、是区间上任意给定实数，且，易知，故.因在上是严格增函数，故.从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为.由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为2.【点睛】关键点点睛：求函数奇偶性时，需要考虑定义域的对称性；恒成立问题，需要将问题转化为求函数单调性即可.20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）对任意的实数x、x，且，求证：；（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）．【分析】（1），然后分、两种情况讨论即可；（2）首先判断出在R上是增函数，然后可证明；（3）令，则当时，，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解.【详解】（1）．当时，，有，即．当时，，有，即．综上，函数在R上是奇函数．（2）因为函数在上是增函数，函数在R上也是增函数，故函数在上是增函数．由（1）知，函数是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，函数在上也是增函数，从而函数在R上是增函数．由，得，所以，即．（3）由（1）知，函数是R上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，即因此，实数a的取值范围为．21．（2023·上海虹口·高一期末）对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；（2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.【详解】（1）当函数在区间上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是；于是，实数a，b所满足的条件为：．（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数；当且时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．因此，当时，函数在区间上具有性质P．【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质的情况，然后再进行验证即可.
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2023·上海市进才中学高一期末）已知是，的反函数，则函数的最小值为________.2．（2023·上海市进才中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.3．（2023·上海·高一专题练习）函数，的值域为__________．4．（2023·上海虹口·高一期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________．5．（2023·上海虹口·高一期末）已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围为________．8．（2023·上海市控江中学高一期末）函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.9．（2023·上海市控江中学高一期末）设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．10．（2023·上海市控江中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是______.11．（2023·上海·高一专题练习）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.12．（2023·上海市实验学校高一期末）已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2023·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是A． B． C． D．14．（2023·上海市进才中学高一期末）“”是“函数在区间上严格递减”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．（2023·上海市进才中学高一期末）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．16．（2023·上海虹口·高一期末）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2022·河南·郑州一中高三（理））已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.18．（2023·上海·高一专题练习）某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？19．（2023·上海·高一专题练习）设是正常数，函数满足.（1）求的值，并判断函数的奇偶性；（2）是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）对任意的实数x、x，且，求证：；（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．21．（2023·上海虹口·高一期末）对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围． 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2023·上海市进才中学高一期末）已知是，的反函数，则函数的最小值为________.【答案】3【分析】首先根据函数的单调性求出函数的值域，即可得到反函数的定义域，根据原函数的单调性得到反函数的单调性，即可得到的单调性，从而求出其最小值；【详解】解：因为在上单调递增，所以，，所以的值域为所以的定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在定义域上单调递增，因为，所以所以故答案为：2．（2023·上海市进才中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.【答案】【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为；故答案为：3．（2023·上海·高一专题练习）函数，的值域为__________．【答案】【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，所以，又，且，，所以，所以的值域为，故答案为：.4．（2023·上海虹口·高一期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________．【答案】【分析】分别代入，计算得和，所以可得方程在区间内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为.【详解】当时，，时，，所以方程在区间内有实根，所以下一个取的点是.故答案为：5．（2023·上海虹口·高一期末）已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值．【详解】解：的图象过点，函数的图象过点，又，，即．故答案为：．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】利用对称性和指数函数的单调性，判定函数在[a,+∞)上单调递增，再结合已知条件即可求出结果．【详解】因为函数的对称轴为，所以函数在上是增函数； 又函数在上是增函数，所以．故答案为：.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】先根据已知条件判断出的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】当时，，当时，，且，所以是定义在上的奇函数，因为的对称轴为，所以在上单调递增，由为奇函数可知在上单调递增，因为，所以，所以，所以或，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：（1）利用奇偶性将不等式变形为；、（2）根据单调性得到与的大小关系；（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.8．（2023·上海市控江中学高一期末）函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，所以二次函数对称轴，故答案为：9．（2023·上海市控江中学高一期末）设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.10．（2023·上海市控江中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是______.【答案】【分析】根据函数的对称性求出的解析式，代入求解即可.【详解】解：因为函数的图像与的图像关于直线对称，则，又函数的图像与的图像关于轴对称，则，，则.故答案为：【点睛】知识点点睛：（1）与图像关于直线对称，则；（2）与关于轴对称，则；（3）与关于轴对称，则；11．（2023·上海·高一专题练习）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /ex （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案为212．（2023·上海市实验学校高一期末）已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.【答案】10【分析】先分析出是偶函数且，然后即可求出所有的的值【详解】因为所以所以是偶函数若则或解得或2或4又因为所以当时也成立故满足条件的所有整数的和是故答案为：10【点睛】要善于从一个函数的解析式分析出其性质，比如单调性、奇偶性和一些特有的性质.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2023·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.14．（2023·上海市进才中学高一期末）“”是“函数在区间上严格递减”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求解出函数在区间上严格递减时的取值范围，然后根据与所求的范围之间的关系确定出属于何种条件.【详解】因为，所以若在上严格递减则有，所以，又因为，所以“”是“函数在区间上严格减”的充分不必要条件，故选：A.15．（2023·上海市进才中学高一期末）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由的解集可知的解集，设，即可知的解集，再利用指数函数的单调性解不等式.【详解】由不等式的解集为，得的解集为，设，，即的解集为，故，即，解得，故选：D.16．（2023·上海虹口·高一期末）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为是定义在R上的奇函数，且当时，，所以时，，所以在R上单调递增，且．对任意的，不等式恒成立，即恒成立．因为在R上单调递增，所以任意的，恒成立．即恒成立，当时，，所以只需，解得．故A正确．考点：奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值第Ⅱ卷三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2022·河南·郑州一中高三（理））已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）当时；（2）由等价于，解之得.试题解析： （1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为. （2）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于. ① 当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.考点：不等式选讲.18．（2023·上海·高一专题练习）某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142.（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）；（2），每吨最大利润为4万元.【分析】(1)求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1.(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.【详解】(1)由题意，除尘后，当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1.(2)由(1)，总利润，每吨产品的利润为，当且仅当，即x=8时取等号，除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.19．（2023·上海·高一专题练习）设是正常数，函数满足.（1）求的值，并判断函数的奇偶性；（2）是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1），奇函数；（2）存在，.【分析】（1）代入条件，求得参数a，写出函数解析式；利用奇偶性定义验证与间的关系即可判断函数奇偶性；（2）使得对于任意恒成立，等价于M大于在上的最大值，借助函数单调性求得最大值即可，再根据M为正整数，求得其最小值.【详解】解：（1）由，得，即，又，解得.于是.对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为.在中任取一个实数，都有，并且.故，因此是奇函数.（2）设、是区间上任意给定实数，且，易知，故.因在上是严格增函数，故.从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为.由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为2.【点睛】关键点点睛：求函数奇偶性时，需要考虑定义域的对称性；恒成立问题，需要将问题转化为求函数单调性即可.20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）对任意的实数x、x，且，求证：；（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）．【分析】（1），然后分、两种情况讨论即可；（2）首先判断出在R上是增函数，然后可证明；（3）令，则当时，，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解.【详解】（1）．当时，，有，即．当时，，有，即．综上，函数在R上是奇函数．（2）因为函数在上是增函数，函数在R上也是增函数，故函数在上是增函数．由（1）知，函数是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，函数在上也是增函数，从而函数在R上是增函数．由，得，所以，即．（3）由（1）知，函数是R上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，即因此，实数a的取值范围为．21．（2023·上海虹口·高一期末）对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；（2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.【详解】（1）当函数在区间上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是；于是，实数a，b所满足的条件为：．（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数；当且时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．因此，当时，函数在区间上具有性质P．【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质的情况，然后再进行验证即可.
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