（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题4.2 指数函数（重难点突破）原卷版+解析

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专题4.2 指数函数一、考情分析二、考点梳理考点一 指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质三、题型突破(一) 指数函数的概念例1、（1）、（2023·金寨县青山中学高三开学考试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）A． B． C．2 D．4（2）、（2023·上海·高一期中）指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为______．【变式训练1-1】．（2023·江苏·姜堰中学高一月考）函数（且）的图像恒过定点（ ）A． B． C． D．【变式训练1-2】．（2023·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A． B．C． D．(二) 指数函数的图像与性质例2．（1）、（2023·江苏·如皋市第一中学高一月考）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A． B．C． D．（2）．（2023·江苏·高二月考）我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（ ）A． B．C． D．【变式训练2-1】、若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的　　A． B． C． D．【变式训练2-2】．（2023·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．(三) 定点问题例3．（1）、（2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一月考）若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为________．（2）．（2023·玉溪第二中学高二月考（理））函数且的图像必经过点________【变式训练3-1】．（2023·江苏·赣榆智贤中学高一月考）已知函数(a>0，且a≠1)的图象经过点.（1）求a的值；（2）设不等式的解集为，求函数的值域.【变式训练3-2】．函数的图象恒过定点　　A． B． C． D．(四) 利用指数函数的单调性比较大小例4．（1）、（2023·上海·高一单元测试）已知，，，则（ ）A． B． C． D．（2）、已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．【变式训练4-1】（2018秋•泰山区校级期中）已知，，，则、、的大小关系是　　A． B． C． D．【变式训练4-2】、（2023·江苏启东·高一期中）若，，，则（ ）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c(五) 求指数型复合函数的定义域与值域例5．（1）、（2023·江苏南京·高一月考）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．（2）、函数f(x)＝的值域是(　　)A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)【变式训练5-1】．求函数的定义域与值域．【变式训练5-2】．（2023·上海市进才中学高三月考）函数的值域是________．(六) 求指数型复合函数的最值与单调区间例6、（1）、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为A． B．C． D．（2）．（2023·上海市松江二中高三期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是______.【变式训练6-1】．（2023·江苏·高一课时练习）求函数y＝单调区间与值域.【变式训练6-2】．（2023·全国高一课时练习）函数在的最大值为，那么________.【变式训练6-3】．若函数，且在区间，上的最大值为35，求的值．(七) 指数型复合函数的综合问题例7．（1）、（2022·全国高三专题练习（文））已知函数.（1）若，求的值；（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.（2）．（2022·全国（理））已知函数，（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）若实数a使得对，恒成立，求a的取值范围．【变式训练7-1】．（2023·上海·高一单元测试）已知函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）若在上的最大值为，求a的值．【变式训练7-2】．已知奇函数的定义域为，其中为指数函数且过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明．(八) 指数型实际的综合问题例8．（2023·全国高一课时练习）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.（1）写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；（2）过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？a>100时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，00且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质三、题型突破(一) 指数函数的概念例1、（1）、（2023·金寨县青山中学高三开学考试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值.【详解】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.（2）、（2023·上海·高一期中）指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为______．【答案】【分析】根据指数函数图象过点，代入解得的值．【详解】解：指数函数且的图象经过点，所以，解得，所以该指数函数的表达式为．故答案为：．【变式训练1-1】．（2023·江苏·姜堰中学高一月考）函数（且）的图像恒过定点（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题可根据指数函数的性质得出结果.【详解】当时，，则函数的图像恒过定点，故选：C.【变式训练1-2】．（2023·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A(二) 指数函数的图像与性质例2．（1）、（2023·江苏·如皋市第一中学高一月考）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，故选：A（2）．（2023·江苏·高二月考）我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再由指数函数与二次函数的增长关系判断函数图象的走势，即可判断函数图象；【详解】解：因为定义域为，，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除CD；当时，，但是比增长速度快得多，所以，故排除A；故选：B【变式训练2-1】、若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的　　A． B． C． D．【分析】根据指数函数的单调性和二次函数的开口方向进行判断是哪个选项．【答案】解：函数在上单调递增，可排除选项与是开口向下的二次函数，可排除选项，故选：．【变式训练2-2】．（2023·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，与的大小关系，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除B选项；当时，，则，排除D选项；，，则，所以，函数在上不是减函数，排除A选项.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.(三) 定点问题例3．（1）、（2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一月考）若函数的图像恒过定点，则该定点坐标为________．【答案】【分析】根据指数函数过定点，并结合函数图象平移变换即可得答案.【详解】解：因为函数函数的图像恒过定点，函数图像向上平移一个单位即可得到的图像，所以函数的图像恒过定点.故答案为：（2）．（2023·玉溪第二中学高二月考（理））函数且的图像必经过点________【答案】【分析】指数函数（且）的图像必经过点，由此计算即可.【详解】令，解得，当时，所以函数且的图像必经过点.故答案为：【变式训练3-1】．（2023·江苏·赣榆智贤中学高一月考）已知函数(a>0，且a≠1)的图象经过点.（1）求a的值；（2）设不等式的解集为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据函数的图象经过点，由a2-1=求解.（2）由f(x)=，利用指数函数的单调性求得，再利用指数函数的单调性求解.【详解】（1）因为函数图象过点，所以a2-1=，解得a=.（2）f(x)=，所以，解得，故，因为x≥0，所以x-1≥-1，所以0<=3.所以函数的值域为(0，3].【变式训练3-2】．函数的图象恒过定点　　A． B． C． D．【分析】运用指数函数的图象恒过定点，可令，即可得到所求定点．【答案】解：可令，解得，，可得函数的图象恒过定点．故选：．(四) 利用指数函数的单调性比较大小例4．（1）、（2023·上海·高一单元测试）已知，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数为上为单调递减函数，得到，根据幂函数在上为单调递增函数，得到，即可求解.【详解】由指数函数为上为单调递减函数，由，可得，即，又由幂函数在上为单调递增函数，由，可得，即，综上可得.故选：B.（2）、已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在R上为增函数，且，再根据，再计算得到答案.【详解】，，在R上为增函数，且，.在R上为增函数，且，..故选：A.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.【变式训练4-1】（2018秋•泰山区校级期中）已知，，，则、、的大小关系是　　A． B． C． D．【分析】根据指数函数的性质判断即可．【答案】解：是减函数，故，而，故，故选：．【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查函数值的大小比较，是一道基础题．【变式训练4-2】、（2023·江苏启东·高一期中）若，，，则（ ）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c【答案】C【分析】根据指数函数单调性比较大小，即可得结果.【详解】因为为单调减函数，所以因为为单调减函数，所以，即故选：C(五) 求指数型复合函数的定义域与值域例5．（1）、（2023·江苏南京·高一月考）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意只需解不等式即可得答案.【详解】解：要使函数有意义，则，即，所以所以函数的定义域为故选：D（2）、函数f(x)＝的值域是(　　)A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】∵3x＋1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练5-1】．求函数的定义域与值域．【分析】根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．【答案】解：，设，则，则函数等价为，则函数的定义域为，，，即函数的值域为．【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．【变式训练5-2】．（2023·上海市进才中学高三月考）函数的值域是________．【答案】【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解.【详解】，，，所以.故答案为：(六) 求指数型复合函数的最值与单调区间例6、（1）、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【分析】设,则在上递增，且，由在区间上单调递增，可得函数在上单调递增，利用二次函数的单调性可得，从而可得结果.【详解】设,则函数在上递增，且，因为在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，又因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，可得函数的递增区间为，由，可得，即实数的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数，需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.本题是利用方法①解答的.（2）．（2023·上海市松江二中高三期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】令，利用为一次函数结合恒成立可得实数满足的不等式，从而可的取值范围.【详解】令，因为，故在上为减函数，故，故，所以或，解得.故答案为：【点睛】方法点睛：（1）对含参数的不等式恒成立问题，注意构造题设条件构建合理的函数来处理；（2）解指数不等式，注意合理换元，将前者转化为一元二次不等式.【变式训练6-1】．（2023·江苏·高一课时练习）求函数y＝单调区间与值域.【答案】增区间为，减区间为，值域为.【分析】令t＝－x2＋2x，则y＝t，利用复合函数的单调性求解；利用换元法求函数的值域即可.【详解】令t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈时，t单调递增；当x∈时，t单调递减.而函数y＝t是减函数，由复合函数的单调性知函数y＝在上单调递减，在上单调递增.所以函数y＝的减区间为，增区间为.又因为t≤1，所以t≥1，从而函数y＝的值域为.【变式训练6-2】．（2023·全国高一课时练习）函数在的最大值为，那么________.【答案】【分析】令，则，将问题转化为二次函数在上的最大值为【详解】令，则，对称轴为，在单调递增，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查指数型函数的最值问题，考查学生的转化与化归的思想，数学计算能力，是一道中档题.【变式训练6-3】．若函数，且在区间，上的最大值为35，求的值．【分析】将看成一个整体，对解析式进平方后，化为关于的二次函数，再对分类讨论，由指数函数的性质分别求出的范围，再由二次函数的单调性求出函数的最大值，由条件列出方程求解．【答案】解：由题意得，，①若时，由，得，则当，即时，函数取到最大值，，解得或（舍去），②若时，由，得，则当，即时，函数取到最大值，，解得或（舍去），综上可知，的值为5或．【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的性质的应用，关键是将看成一个整体对解析式化简，考查了整体思想．(七) 指数型复合函数的综合问题例7．（1）、（2022·全国高三专题练习（文））已知函数.（1）若，求的值；（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，，舍去；当时，，即，．基础即可得出．（2）当，时，，即，即．化简解出即可得出．【详解】解：（1）当时，，舍去；当时，，即，．解得，（2）当，时，，即，即．因为，所以．由，所以．故的取值范围是．（2）．（2022·全国（理））已知函数，（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）若实数a使得对，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）【分析】（1）采用换元法可将函数化为，；由二次函数图象和性质可求得最大值和最小值；（2）若不等式恒成立则需，从而得到结果．【详解】（1）令 ，当时，；当时，即最大值为，最小值为；（2）由恒成立得：由（1）知， 的取值范围为．【点睛】思路点睛：本题考查与指数函数有关的二次函数型的最值的求解、恒成立问题的求解；解决此类问题常采用换元法的方式，将函数转化为二次函数，从而利用二次函数图象与性质来进行求解；易错点是忽略换元后，新变量的取值范围，造成求解错误．【变式训练7-1】．（2023·上海·高一单元测试）已知函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）若在上的最大值为，求a的值．【答案】（1）偶函数；证明见解析；（2）．【分析】（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分和两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求的值.【详解】解：（1）的定义域为，又，所以为偶函数；（2）因为为偶函数，当时，，若，，函数单调递减，，若，，函数单调递增，，当，，若，，函数单调递增，，若，，函数单调递减，，综上，．【点睛】关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.【变式训练7-2】．已知奇函数的定义域为，其中为指数函数且过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数的单调性，并用函数单调性定义证明．【分析】（Ⅰ）设，由的图象过点，求得，可得的解析式．再根据，求得的值，可得的解析式．（Ⅱ）根据，设，则，根据，从而根据函数的单调性的定义得出结论．【答案】解：（Ⅰ）设，由的图象过点，可得，，．故函数．再根据为奇函数，可得，，即．（Ⅱ），．设，则，由于，结合，可得，，即，故在上单调递减．【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．(八) 指数型实际的综合问题例8．（2023·全国高一课时练习）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.（1）写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；（2）过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？【答案】（1）；（2）当时，； 当时，，至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．【分析】（1）利用题设条件，求出过滤1次、2次、……n次后的杂质含量，即可求出函数解析式．（2）利用（1）所求函数解析式，求出当，时的函数值，与市场要求的的含量比较，求出符合条件的答案．【详解】（1）过滤1次后的杂质含量为，过滤2次后的杂质含量为，过滤3次后的杂质含量为，……过滤n次后的杂质含量为．故y与n的函数关系式为．（2）由（1）知，当时，， 当时，，因为，，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，其中关键是建立数学模型，属于中档题．a>100时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0