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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.4 反函数（课时训练）（原卷版+解析）
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这是一份（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 专题5.4 反函数（课时训练）（原卷版+解析），共19页。
专题5.4 反函数A组 基础巩固1．（2023·全国·高一课时练习）函数是（，且）的反函数，则（ ）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一课时练习）已知的反函数为，若，则的值为（ ）A． B． C．2 D．3．（2023·全国·高一课时练习）下列函数图像中，存在反函数的函数的图像只能是（ ）A．B．C． D．4．（2023·全国·高一课时练习）函数与函数的图象（ ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称5．（2022·全国·高三专题练习）若，则的定义域是（ ）A．R B． C． D．6．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．7．（2023·广东·深圳中学高一期中）函数的反函数的图象经过点（ ）A． B． C． D．8．（2023·陕西·咸阳市实验中学高一月考）已知函数的反函数为，则的值为（ ）A． B． C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）已知常数，若函数反函数的图象经过点，则________10．（2022·上海·高三专题练习）函数的反函数为_________11．（2023·上海·高一课时练习）已知函数的反函数为，那么函数的定义域为___________.12．（2023·上海·高一课时练习）设函数，则的定义域为___________.13．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是_________. B组 能力提升14．（2023·辽宁辽阳·高一期末）（多选题）已知函数在其定义域内单调递增，且，若的反函数为，则（ ）A． B．在定义域内单调递增C． D．在定义域内单调递减15．（2023·安徽·淮北市树人高级中学高一月考）（多选题）给出下列命题：①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；②函数与函数是相等函数；③若，则的取值范围是；④已知是方程的根，是方程的根，则．其中正确命题的序号是（ ）A．① B．② C．③ D．④16．（2023·全国·高三专题练习）设常数，函数．（1）若，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 17．（2022·全国·高三专题练习）设函数的反函数为．（1）解方程：；（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，其中常数.（1）求时，函数的反函数；（2）求证：函数的图像关于点成中心对称. 19．（2023·上海·高一专题练习）已知函数f（x）=2（＞0，且≠1）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式＞1．20．（2023·上海市建平中学高一期末）设函数是上的奇函数．（1）求的值，并求函数的反函数解析式；（2）若为正实数，解关于的不等式． 专题5.4 反函数A组 基础巩固1．（2023·全国·高一课时练习）函数是（，且）的反函数，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出反函数，再验证每一个选项即可.【详解】∵函数是（，且）的反函数，∴（，且），∴，故A不正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.2．（2023·全国·高一课时练习）已知的反函数为，若，则的值为（ ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】的反函数为，代入计算得到答案.【详解】∵的反函数为，又，∴，∴.故选：C.3．（2023·全国·高一课时练习）下列函数图像中，存在反函数的函数的图像只能是（ ）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据反函数的定义进行判定.【详解】根据反函数的定义，得：存在反函数的函数在其定义域上是单调函数，由图象得只有选项A中图象对应函数是单调函数，即存在反函数的函数的图象只能是选项A.故选：A.4．（2023·全国·高一课时练习）函数与函数的图象（ ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】D【分析】根据反函数的性质以及对数函数和指数函数互为反函数可求得的答案.【详解】解：与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）若，则的定义域是（ ）A．R B． C． D．【答案】C【分析】由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域【详解】解：因为，所以，所以的值域为，所以的定义域为，故选：C6．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先反解得，，再交换与，并写出原函数的值域即反函数的定义域．【详解】解：因为，所以由得，，交换与得，，故选：．7．（2023·广东·深圳中学高一期中）函数的反函数的图象经过点（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出函数的反函数，判断选项中的点是否满足即可.【详解】函数的反函数为，经过点故选：D8．（2023·陕西·咸阳市实验中学高一月考）已知函数的反函数为，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】由于函数的反函数为，则，因此，.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）已知常数，若函数反函数的图象经过点，则________【答案】0【分析】根据题中条件，得到的图象经过点，进而可求出结果.【详解】因为函数反函数的图象经过点，所以的图象经过点，则，所以.故答案为：.10．（2022·上海·高三专题练习）函数的反函数为_________【答案】【分析】根据求反函数的步骤：反解，交换即可得反函数，求出原函数的值域即为反函数的定义域.【详解】由，可得，因为，所以，即，交换可得，因为对称轴为，开口向上的抛物线，所以在单调递减，所以，所以反函数定义域为，所以函数的反函数为：.故答案为：.11．（2023·上海·高一课时练习）已知函数的反函数为，那么函数的定义域为___________.【答案】【分析】求出的值域即为的定义域.【详解】因为，，所以，即，又因为的值域为的定义域，所以的定义域.故答案为：.12．（2023·上海·高一课时练习）设函数，则的定义域为___________.【答案】【分析】求出函数的值域，即可得出函数的定义域.【详解】当时，，故函数的定义域为.故答案为：.13．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是_________.【答案】，【分析】根据反解出x关于y的解析式，并得到函数取值范围，再交换变量即得到反函数的解析式.【详解】函数，则，反解出，变量交换可得，，即，.故答案为：，.【点睛】易错点睛：求解反函数时，原函数的值域是反函数的定义域，故忘记研究反函数的定义域是本题的易错点. B组 能力提升14．（2023·辽宁辽阳·高一期末）（多选题）已知函数在其定义域内单调递增，且，若的反函数为，则（ ）A． B．在定义域内单调递增C． D．在定义域内单调递减【答案】AB【分析】根据反函数的定义及性质可判断.【详解】由反函数的性质可知，，且在定义域内单调递增．故选：AB.15．（2023·安徽·淮北市树人高级中学高一月考）（多选题）给出下列命题：①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；②函数与函数是相等函数；③若，则的取值范围是；④已知是方程的根，是方程的根，则．其中正确命题的序号是（ ）A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【分析】由函数的定义对①②判断，由指数函数的性质对③判断，利用数形结合思想对④判断．【详解】根据函数定义，对定义域内的任意一个值，只有唯一的值与之对应，∴函数，的图象与直线可能有一个或0个交点，因此①错；中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，②错；若，即，当时，则，此时，当时不成立，即的取值范围是，因此③正确;如图，分别是函数、的图象与直线的交点、的横坐标，由于与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此两点关于直线对称，直线与直线的交点为，∴．④正确．故选：CD．16．（2023·全国·高三专题练习）设常数，函数．（1）若，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）求反函数，就是把函数式作为关于的方程，解出，得，再把此式中的、互换，即得反函数的解析式，还要注意的是一般要求出原函数的值域，即为反函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性，我们可以根据奇偶性的定义求解，在，这两种情况下，由奇偶性的定义可知函数具有奇偶性，在且时，函数的定义域是，不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数．【详解】（1）由，解得，由，可得或，，所以，，；（2）且.①当时，，，所以，对任意的都有，此时，为偶函数；②当时，，，，此时，为奇函数；③当且时，函数定义域为，函数的定义域不关于原点对称，此时，为非奇非偶函数．17．（2022·全国·高三专题练习）设函数的反函数为．（1）解方程：；（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．【答案】（1）原方程的解集为；（2）．【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当时，，通过计算得出，即可得解.【详解】（1），则即，解得或．由可得，，所以，原方程的解集为；（2），其中，令，可得，即，所以当时，所以，，由于是定义在上且以为周期的奇函数，所以对于任意实数，均有，．，则，故，又因为，所以，故.因此，.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，其中常数.（1）求时，函数的反函数；（2）求证：函数的图像关于点成中心对称.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求函数的值域，再根据指对互化，反解，求函数的反函数；（2）利用对称性的定义证明.【详解】（1）时，.因为又，所以的反函数为，.（2）显然，的定义域为R，于是所以，函数的图像关于点成中心对称.19．（2023·上海·高一专题练习）已知函数f（x）=2（＞0，且≠1）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式＞1．【答案】（1）y=（－1＜x＜1）；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）化简f（x）=，利用反函数的定义即可求解.（2）判断与的关系，利用奇偶性定义即可判断.（3）讨论a＞1或0＜a＜1，利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）化简得f（x）=．设y=，则=．∴x=．∴所求反函数为y==（－1＜x＜1）．（2）函数的定义域关于原点对称，∵==（）－1==－，∴是奇函数．（3）＞1．当a＞1时，原不等式＞a＜0．∴＜x＜1．当0＜a＜1时，原不等式，解得－1＜x＜.综上，当＞1时，所求不等式的解集为（，1）；当0＜＜1时，所求不等式的解集为（－1，）20．（2023·上海市建平中学高一期末）设函数是上的奇函数．（1）求的值，并求函数的反函数解析式；（2）若为正实数，解关于的不等式．【答案】（1），，；（2）当，；当，．【分析】（1）根据函数的奇偶性，由求出，再验证即可确定的值，得到函数解析式，从而可得反函数的解析式；（2）由（1），结合所求不等式，得到，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以，则，此时，所以，则为奇函数，所以；令，则，即，当时，显然不成立，所以，则，所以，则，即函数的反函数解析式为；（2）由（1）可得，所以不等式可化为，因为对数函数是增函数，则，所以，所以当时，；当时，，综上，当，；当，．【点睛】思路点睛：求解含参数的对数型不等式问题时，一般需要先根据对数函数单调性，将原不等式化简，再讨论参数的取值范围，即可分别求解.
专题5.4 反函数A组 基础巩固1．（2023·全国·高一课时练习）函数是（，且）的反函数，则（ ）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一课时练习）已知的反函数为，若，则的值为（ ）A． B． C．2 D．3．（2023·全国·高一课时练习）下列函数图像中，存在反函数的函数的图像只能是（ ）A．B．C． D．4．（2023·全国·高一课时练习）函数与函数的图象（ ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称5．（2022·全国·高三专题练习）若，则的定义域是（ ）A．R B． C． D．6．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．7．（2023·广东·深圳中学高一期中）函数的反函数的图象经过点（ ）A． B． C． D．8．（2023·陕西·咸阳市实验中学高一月考）已知函数的反函数为，则的值为（ ）A． B． C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）已知常数，若函数反函数的图象经过点，则________10．（2022·上海·高三专题练习）函数的反函数为_________11．（2023·上海·高一课时练习）已知函数的反函数为，那么函数的定义域为___________.12．（2023·上海·高一课时练习）设函数，则的定义域为___________.13．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是_________. B组 能力提升14．（2023·辽宁辽阳·高一期末）（多选题）已知函数在其定义域内单调递增，且，若的反函数为，则（ ）A． B．在定义域内单调递增C． D．在定义域内单调递减15．（2023·安徽·淮北市树人高级中学高一月考）（多选题）给出下列命题：①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；②函数与函数是相等函数；③若，则的取值范围是；④已知是方程的根，是方程的根，则．其中正确命题的序号是（ ）A．① B．② C．③ D．④16．（2023·全国·高三专题练习）设常数，函数．（1）若，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 17．（2022·全国·高三专题练习）设函数的反函数为．（1）解方程：；（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，其中常数.（1）求时，函数的反函数；（2）求证：函数的图像关于点成中心对称. 19．（2023·上海·高一专题练习）已知函数f（x）=2（＞0，且≠1）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式＞1．20．（2023·上海市建平中学高一期末）设函数是上的奇函数．（1）求的值，并求函数的反函数解析式；（2）若为正实数，解关于的不等式． 专题5.4 反函数A组 基础巩固1．（2023·全国·高一课时练习）函数是（，且）的反函数，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出反函数，再验证每一个选项即可.【详解】∵函数是（，且）的反函数，∴（，且），∴，故A不正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.2．（2023·全国·高一课时练习）已知的反函数为，若，则的值为（ ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】的反函数为，代入计算得到答案.【详解】∵的反函数为，又，∴，∴.故选：C.3．（2023·全国·高一课时练习）下列函数图像中，存在反函数的函数的图像只能是（ ）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据反函数的定义进行判定.【详解】根据反函数的定义，得：存在反函数的函数在其定义域上是单调函数，由图象得只有选项A中图象对应函数是单调函数，即存在反函数的函数的图象只能是选项A.故选：A.4．（2023·全国·高一课时练习）函数与函数的图象（ ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】D【分析】根据反函数的性质以及对数函数和指数函数互为反函数可求得的答案.【详解】解：与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）若，则的定义域是（ ）A．R B． C． D．【答案】C【分析】由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域【详解】解：因为，所以，所以的值域为，所以的定义域为，故选：C6．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先反解得，，再交换与，并写出原函数的值域即反函数的定义域．【详解】解：因为，所以由得，，交换与得，，故选：．7．（2023·广东·深圳中学高一期中）函数的反函数的图象经过点（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出函数的反函数，判断选项中的点是否满足即可.【详解】函数的反函数为，经过点故选：D8．（2023·陕西·咸阳市实验中学高一月考）已知函数的反函数为，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】由于函数的反函数为，则，因此，.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）已知常数，若函数反函数的图象经过点，则________【答案】0【分析】根据题中条件，得到的图象经过点，进而可求出结果.【详解】因为函数反函数的图象经过点，所以的图象经过点，则，所以.故答案为：.10．（2022·上海·高三专题练习）函数的反函数为_________【答案】【分析】根据求反函数的步骤：反解，交换即可得反函数，求出原函数的值域即为反函数的定义域.【详解】由，可得，因为，所以，即，交换可得，因为对称轴为，开口向上的抛物线，所以在单调递减，所以，所以反函数定义域为，所以函数的反函数为：.故答案为：.11．（2023·上海·高一课时练习）已知函数的反函数为，那么函数的定义域为___________.【答案】【分析】求出的值域即为的定义域.【详解】因为，，所以，即，又因为的值域为的定义域，所以的定义域.故答案为：.12．（2023·上海·高一课时练习）设函数，则的定义域为___________.【答案】【分析】求出函数的值域，即可得出函数的定义域.【详解】当时，，故函数的定义域为.故答案为：.13．（2023·上海·高一专题练习）函数的反函数是_________.【答案】，【分析】根据反解出x关于y的解析式，并得到函数取值范围，再交换变量即得到反函数的解析式.【详解】函数，则，反解出，变量交换可得，，即，.故答案为：，.【点睛】易错点睛：求解反函数时，原函数的值域是反函数的定义域，故忘记研究反函数的定义域是本题的易错点. B组 能力提升14．（2023·辽宁辽阳·高一期末）（多选题）已知函数在其定义域内单调递增，且，若的反函数为，则（ ）A． B．在定义域内单调递增C． D．在定义域内单调递减【答案】AB【分析】根据反函数的定义及性质可判断.【详解】由反函数的性质可知，，且在定义域内单调递增．故选：AB.15．（2023·安徽·淮北市树人高级中学高一月考）（多选题）给出下列命题：①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；②函数与函数是相等函数；③若，则的取值范围是；④已知是方程的根，是方程的根，则．其中正确命题的序号是（ ）A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【分析】由函数的定义对①②判断，由指数函数的性质对③判断，利用数形结合思想对④判断．【详解】根据函数定义，对定义域内的任意一个值，只有唯一的值与之对应，∴函数，的图象与直线可能有一个或0个交点，因此①错；中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，②错；若，即，当时，则，此时，当时不成立，即的取值范围是，因此③正确;如图，分别是函数、的图象与直线的交点、的横坐标，由于与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此两点关于直线对称，直线与直线的交点为，∴．④正确．故选：CD．16．（2023·全国·高三专题练习）设常数，函数．（1）若，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）求反函数，就是把函数式作为关于的方程，解出，得，再把此式中的、互换，即得反函数的解析式，还要注意的是一般要求出原函数的值域，即为反函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性，我们可以根据奇偶性的定义求解，在，这两种情况下，由奇偶性的定义可知函数具有奇偶性，在且时，函数的定义域是，不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数．【详解】（1）由，解得，由，可得或，，所以，，；（2）且.①当时，，，所以，对任意的都有，此时，为偶函数；②当时，，，，此时，为奇函数；③当且时，函数定义域为，函数的定义域不关于原点对称，此时，为非奇非偶函数．17．（2022·全国·高三专题练习）设函数的反函数为．（1）解方程：；（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．【答案】（1）原方程的解集为；（2）．【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当时，，通过计算得出，即可得解.【详解】（1），则即，解得或．由可得，，所以，原方程的解集为；（2），其中，令，可得，即，所以当时，所以，，由于是定义在上且以为周期的奇函数，所以对于任意实数，均有，．，则，故，又因为，所以，故.因此，.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，其中常数.（1）求时，函数的反函数；（2）求证：函数的图像关于点成中心对称.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求函数的值域，再根据指对互化，反解，求函数的反函数；（2）利用对称性的定义证明.【详解】（1）时，.因为又，所以的反函数为，.（2）显然，的定义域为R，于是所以，函数的图像关于点成中心对称.19．（2023·上海·高一专题练习）已知函数f（x）=2（＞0，且≠1）．（1）求函数y=f（x）的反函数y=；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式＞1．【答案】（1）y=（－1＜x＜1）；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）化简f（x）=，利用反函数的定义即可求解.（2）判断与的关系，利用奇偶性定义即可判断.（3）讨论a＞1或0＜a＜1，利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）化简得f（x）=．设y=，则=．∴x=．∴所求反函数为y==（－1＜x＜1）．（2）函数的定义域关于原点对称，∵==（）－1==－，∴是奇函数．（3）＞1．当a＞1时，原不等式＞a＜0．∴＜x＜1．当0＜a＜1时，原不等式，解得－1＜x＜.综上，当＞1时，所求不等式的解集为（，1）；当0＜＜1时，所求不等式的解集为（－1，）20．（2023·上海市建平中学高一期末）设函数是上的奇函数．（1）求的值，并求函数的反函数解析式；（2）若为正实数，解关于的不等式．【答案】（1），，；（2）当，；当，．【分析】（1）根据函数的奇偶性，由求出，再验证即可确定的值，得到函数解析式，从而可得反函数的解析式；（2）由（1），结合所求不等式，得到，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以，则，此时，所以，则为奇函数，所以；令，则，即，当时，显然不成立，所以，则，所以，则，即函数的反函数解析式为；（2）由（1）可得，所以不等式可化为，因为对数函数是增函数，则，所以，所以当时，；当时，，综上，当，；当，．【点睛】思路点睛：求解含参数的对数型不等式问题时，一般需要先根据对数函数单调性，将原不等式化简，再讨论参数的取值范围，即可分别求解.
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