2022-2023学年江苏省淮安市盱眙县八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市盱眙县八年级下学期期末数学试题及答案，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
B.C.D.
下列事件是必然事件的是()
抛出的篮球会下落B.抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C.打开电视机，正在播广告D.买一张电影票，座位号是奇数号
若式子? −2在实数范围内有意义，则?的取值范围是()
A.? <2B.? >2C.? ≤ 2D.? ≥ 2
?−?
如果把分式3??中的?和?都扩大为原来的2倍，那么分式的值()
不变B.缩小为原来的12
C.扩大2倍D.扩大4倍
下列四个命题是假命题的是()
平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
有一组邻边相等的矩形是正方形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
?
已知点?(?1,?1)、?(?2,?2)在反比例函数? = 2的图象上，当?>0时，若?1的大小关系是()
A.?1?2C.?1 = ?2D.无法确定
如图，曲线表示温度?(℃)与时间?(ℎ)之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度? ≤ 2℃时，时间?应()
A.≥ 2ℎB.≤ 2ℎC.≥ 3ℎD.≤ 3ℎ
3322
如图，在▱????中，?? = 6??，?? = 10??，点?在??边上以每秒1??的速度从点?向点?运动.点?在??边上以每秒4??的速度从点
?出发，在??之间往返运动.两个点同时出发，当点?到达点?时停止
(同时点?也停止运动)，设运动时间为?秒.当5?为顶点的四边形是平行四边形()
A.20
3
B.8C.4或20
3
D.20或83
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
3
计算
+12的结果是．
若式子3在实数范围内有意义，则?的取值范围是．
?−1
为了解某市50000名八年级学生的身高情况，有关部门从全体八年级学生中抽取3000名测量身高，在本次调查中，样本容量是．
如图，在▱????中，∠???的平分线交??于点?，?? = 3，
?? = 1，则?? = ．
如图，在菱形????中，点?在对角线??上，??⊥??，垂足为?，?? = 5，则点?到??的距离是．
如图，在矩形????中，对角线??的垂直平分线??分别交??、??于点?、?，若?? =
3，?? = 5，则??的长为．
如图，平行于?轴的直线?与反比例函数? = 1(? > 0)和?
?
= ?(?>0)的图象交于?、?两点，点?是?轴上任意一点，且
?
△???的面积为3，则?的值为．
如图，在矩形????中，?? = 2.5，?? = 14，点?在??上且?? = 2.点?为??的中点，点
?为??边上的一个动点，?为??的中点，则?? + ??的最小值为．
三、计算题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）
计算：(8−2)×1．
2
1?2−4?+4
先化简再求值：(1−) ÷，其中? = 5．
?−1?2−?
四、解答题（本大题共 9 小题，共 86.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.0分)
解分式方程：
(1)3=2；
??+1
(2)1=1−?−3．
?−22−?
(本小题10.0分)
按下列要求画▱????，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
在图①中画▱????，使它的周长是整数；
在图②中画▱????，使它的周长不是整数.(请标出必要的字母与线段长度)
(本小题10.0分)
为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某区积极响应党的号召，鼓励老师们踊跃捐款．为了了解该区老师们的捐款情况，抽取了部分老师的捐款金额进行统计，数据整理成尚不完整的统计表和统计图．
某区教师捐款金额抽样统计表
一共抽取了名老师；
补全条形统计图，并算出扇形统计图中?组对应扇形的圆心角度数为°； (3)该社区共有1000名老师，请估计捐款金额超过300元的老师有多少名？
组别
捐款金额(元)
人数
?
?≤ 100
2
?
100< ?≤ 200
10
?
200< ?≤ 300
?
300< ?≤ 400
14
?
?>400
4
(本小题8.0分)
如图，将矩形????绕点?旋转得到矩形????，点?在??上，延长??交??于点?.连接??、?
?．
四边形????是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
若??长为2，则??的长为时，四边形????为菱形．
(本小题8.0分)
已知：如图，在正方形????中，点?、?在对角线??上，且?? = ??．
(1)求证：??//??；
(2)若四边形????的面积为8，?? =2，则正方形边长为．
(本小题10.0分)
某地新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需要多长时间？
(本小题10.0分)
如图，点?、?是反比例函数? = 8的图象上的两个动点，过?、?分别作?? ⊥ ?轴、?? ⊥ ?轴，
?
2
分别交反比例函数? = −
?
的图象于点?、?，四边形????是平行四边形．
若点?的横坐标为−4．
①求出线段??的长度；
②求出点?的坐标；
当点?、?不断运动时，下列关于▱????的结论：
①▱????可能是矩形；
②▱????可能是菱形；
③▱????可能是正方形；
④▱????的周长始终不变；
⑤▱????的面积始终不变．
其中所有正确结论的序号是．
(本小题10.0分)
我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
如图①，我们在探究三角形中位线??和第三边??的关系时，所作的辅助线为“延长??到
点?，使?? = ??，连接??”，此时??与??在同一直线上且?? = 1??，又可证图中的四边形
2
为平行四边形，可得??与??的关系是，于是推导出了“??//??，??=1??”．
2
寻找图形，完成证明
如图②，四边形????和四边形????都是正方形，△ ???是等腰直角三角形，∠??? = 90°，连接??、??.求证?? =2??．
构造图形，解决问题
(3)如图③，四边形????和四边形????都是菱形，∠??? = ∠??? = 120°，连接??、??.直接写出??与??的数量关系．
(本小题10.0分)
如图1，在▱????中，?? = ?? = 4，?? ⊥ ??，点?为对角线??上一动点，连接??，将??绕点?逆时针旋转90°得到??，连接??．
(1)求证?? = ??；
若??所在的直线交??于点?，求??的长度；
如图2，当点?落在△ ???的外部，构成四边形????时，求四边形????的面积．
答案和解析
【答案】?
【解析】解：?、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：?．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
【答案】?
【解析】解：?、抛出的篮球会下落，是必然事件，故此选项符合题意；
B、抛掷一个均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意； C、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不合题意；
D、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不合题意；故选：?．
直接利用随机事件、必然事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件、必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【答案】?
【解析】解：根据题意得：?−2 ≥ 0，解得：? ≥ 2．故选：?．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【答案】?
【解析】解： ∵ ?，?都扩大为原来2倍，
∴ 分子3??扩大4倍，分母?−?扩大2倍，
∴ 分式的值扩大2倍．故选：?．
根据?，?都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据?、?的变化找出分子分母的变化．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．
【答案】?
【解析】解：平行四边形是中心对称图形不一定是轴对称图形，故 A不正确，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故 B 正确，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故 C 正确，不符合题意；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故 D正确，不符合题意；故选：?．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．
【答案】?
【解析】解：对于反比例函数? = 2，
?
当? > 0时，函数的图象在第一象限内，且?随?的增大而减小，
∴ 当?1< ?2，则?1>?2．故选：?．
首先根据反比例函数的解析式? = 2，及?>0时得函数的图象在第一象限内，且?随?的增大而减小，
?
然后再根据?1此题主要考查了反比例函数的图象及性质，理解对反比例函数? = ?(? ≠ 0)，①当? > 0时，图象
?
的两个分支在第一、三象限内，在每一个象限内，?随?的增大而减小；②当?<0时，图象的两个
分支在第二、四象限内，在每一个象限内，?随?的增大而增大．
【答案】?
【解析】解：设函数解析式为? = ?(? ≠ 0)，
?
∵ 经过点(1,3)，
∴ ? = 1 × 3 = 3，
∴ 函数解析式为? = 3．
?
当? ≤ 2℃时，? ≥ 3ℎ.
2
故选：?
首先确定函数解析式，然后根据温度的取值范围确定时间的取值范围即可．
考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象确定反比例函数的解析式，难度不大．
【答案】?
【解析】解： ∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ??//??．
若要以?、?、?、?四点组成的四边形为平行四边形，则?? = ??．
当5 < ? ≤ 15时，?? = ???，?? = (10−?)??，?? = (4?−20)??，?? = (30−4?)??，
2
∴10−? = 30−4?，
解得：? = 20；
3
当152
∴ 10−? = 4?−30，解得：? = 8．
综上所述：当运动时间为20秒或8秒时，以?、?、?、?四点组成的四边形为平行四边形．
3
故选：?．
根据?的速度为每秒1??，可得?? = ???，从而得到?? = (10−?)??，由四边形????为平行四边形可得出??//??，结合平行四边形的判定定理可得出当?? = ??时以?、?、?、?四点组成的四边形为平行四边形，当5 < ? < 10时，分两种情况考虑，在每种情况中由?? = ??即可列出关于?的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清?在??上往返运动情况是解决此题的关键．
3
【答案】3
3
3
【解析】解：原式=+ 2
= 33．
故答案为：33．
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
【答案】? ≠ 1
【解析】解：要使式3在实数范围内有意义，
?−1
必须?−1 ≠ 0，解得：? ≠ 1．
故答案为：? ≠ 1．
根据分式有意义的条件得出?−1 ≠ 0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出?−1 ≠ 0是解此题的关键．
【答案】3000
【解析】解：本次调查的样本是被随机抽取的3000名学生的身高，所以样本容量是3000．故答案为：3000．
根据样本容量是样本中包含的个体的数目，可得答案．
此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位．
【答案】4
【解析】解： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，?? = ?? = 3，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 3，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = 1 + 3 = 4；故答案为：4．
证出∠??? = ∠???，得出?? = ?? = 3，进而得出答案．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【答案】5
【解析】解： ∵ 四边形????是菱形，
∴ ??平分∠???，
∵ ?? ⊥ ??，?? = 5，
∴ 点?到??的距离等于5，故答案为：5．
利用菱形的性质，得??平分∠???，利用角平分线的性质，得结果即可．
本题主要考查了菱形的性质和角平分线的性质，运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
【答案】4
【解析】解：连接??，如图：
∵ ??是??的垂直平分线，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠? = 90°，??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
{??=??，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ?? = 5，
∴ ?? = ?? = 5，?? = ?? + ?? = 3 + 5 = 8，
??22−??2
在?? △ ???中，?? =
=
= 4．
52−32
连接??，由??是??的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的定义，得到?? = ??，?? = ??，由四边形????是矩形，得出∠? = 90° ?，??//??，继而得到∠???′ = ∠???，证明△ ???≌ △ ??
?，得出?? = ?? = 5，?? = ?? + ?? = 3 + 5 = 8，在?? △ ???中，根据勾股定理求出??．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识．
【答案】7
【解析】解：如图，连接??，??，
∵ 直线?与?轴平行，
∴?△???=?△???=?△???−?△???=3，
∵?△???=1，?△???=1|?|，
22
∴ 1|?|−1= 3，又?>0，
22
∴ ? = 7，
故答案为：7．
根据反比例函数?的几何意义，得出?△ ??? = ?△ ??? = ?△ ???
−?△ ??? = 3，进而得出1|?|−1= 3，求解即可．
22
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，?的几何意义，理解反比例函数?的几何意义是解决问题的关键．
【答案】13
【解析】解：作?点关于??的对称点?′，连接?′?，交，??于点?，连接??，
∵?? = 14，?? = 2，
∴ ?? = 12，
∵ ?是??的中点，
∴ ?? = 6，
∵ ?是??的中点，
∴ ?? = 2??，
∴??+??=1??+1??=1(??+??)=1(?′?+??)=1?′?，
22222
此时，?? + ??取得最小值，
∵ ?? = 2.5，
∴ ??′ = 5，
在?? △ ??′?中，?? =
??′2+??2
=
= 13，
52+122
∴ ?? + ??的最小值为13．故答案为：13．
作?点关于??的对称点?′，连接?′?，交??于点?，连接??，此时?? + ??的值最小，根据已知条
件可得?? = 2??，进而可得?? + ?? = 1?′?，在?? △ ??′?中，由勾股定理可求?′?的长，即可得
2
出答案．
本题考查轴对称求最短距离、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键．
2 ×1
2
17.【答案】解：原式=8×1−
2
= 2−1
= 1．
【解析】利用二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：原式 = ?−2⋅ ?(?−1)
?−1(?−2)2
?
=?−2，
当? = 5时，原式= 5= 5．
5−23
【解析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)方程两边都乘以?(? + 1)得：3(? + 1) = 2?，解得：3? + 3 = 2?
? = −3，
检验： ∵ 把? = −3代入?(? + 1) ≠ 0，
∴ ? = −3是原方程的解．
(2)方程两边都乘以?−2得：1 = −(1−?)−3(?−2)
解这个方程得：1 = −1 + ?−3? + 6， 2? = 4，
? = 2，
检验： ∵ 把? = 2代入?−2 = 0，
∴ ? = 2是原方程的增根，即原方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘以?(? + 1)得出3(? + 1) = 2?，求出方程的解，最后进行检验即可； (2)方程两边都乘以?−2得出1 = −(1−?)−3(?−2)，求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了解分式方程，关键是能把分式方程转化成整式方程，注意解分式方程一定要进行检验．
【答案】解：(1)如图①中，平行四边形????即为所求(答案不唯一)．
(2)如图②中，平行四边形????即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)如图①中，作出邻边分别为3，5的平行四边形即可(答案不唯一)．
(2)如图②中，作出邻边分别为 5， 13的平行四边形即可(答案不唯一)．
本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【答案】5072
【解析】解：(1)14 ÷ 28% = 50(名)，故答案为：50；
(2)?组人数：50−2−10−14−4 = 20(名)，
条形图如图所示：
?组对应扇形的圆心角度数为360° × 10= 72°，
50
故答案为：72；
(3)估计捐款金额超过300元的党员有：1000 × 14 + 4= 360 (名)，
50
答：估计捐款金额超过300元的老师有360名．
(1)根据?组人数及百分比求出总人数即可．
(2)求出?组人数，根据?组人数画出条形图，再根据圆心角= 360° × 百分比计算即可． (3)利用样本估计总体的思想思考问题即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3
【答案】
【解析】解：(1)四边形????是平行四边形．证明： ∵ 四边形????是矩形，
∴ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = ∠? = 90°，?? = ??，在△ ???和△ ???中，
{
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ?，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∵ 矩形????由矩形????旋转得到，
∴ ?? = ?? = ??，??//??，
∴ 四边形????为平行四边形；
(2)当?? =3时，四边形????是菱形，连接??．
∵ 四边形????为菱形，
∴ ?? = ??．
由旋转的性质可知?? = ??．
∴ ?? = ?? = ??．
∴ △ ???为等边三角形．
∴∠??? = 60°．
∴∠??? = 30°．
∴ ??：?? =3：2．又∵ ?? = ?? = 2，
∴ ?? =3．
故答案为： 3．
(1)依据题意可得到?? = ?? = ??，∠? = ∠??? = 90°，??//??，利用平行线的性质可证明∠???
= ∠???，然后依据???证明△ ???≌ △ ???，由全等三角形的性质可知?? = ??，由旋转的性质可得到?? = ??，从而可证明?? = ??，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；
(2)连接??.可证明 △ ???为等边三角形，则∠??? = 30°，利用特殊锐角三角函数值可得到答案．本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键．
【答案】4
【解析】解：(1)连接??，交??于点?，
在正方形????中，?? = ??，?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ??−?? = ??−??，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??；
(2) ∵ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? +2，
∵ 四边形????是平行四边形，?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是菱形，
∵ 四边形????的面积为8，
∴1??⋅??=8，
2
即1× 2?? ⋅ 2?? = 8，
2
∴ ?? ⋅ ?? = 4，
∵ ?? = ?? +2，
∴ ?? =2，?? = 22，
∴ ?? =2?? = 4，故答案为：4．
(1)连接??，交??于点?，证明?? = ??，得四边形????是平行四边形，便可得??//??；
(2)由正方形的性质得?? = ??，进而得??与??的关系，由菱形的面积公式得??与??的关系式，进而求得??，??，再由等腰直角三角形的性质求得正方形的边长．
本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，菱形的面积公式，
关键证明四边形????是平行四边形或菱形．
【答案】解：设原来规定?个月修好这条路，则甲工程队单独施工需?个月修好这条路，乙工程队单独施工需(? + 6)个月修好这条路，
根据题意得：4(1+
1)+
?−4
= 1，
??+6?+6
整理得：2?−24 = 0，解得：? = 12，
经检验，? = 12是原分式方程的解．答：原来规定修好这条路需要12个月．
【解析】设原来规定?个月修好这条路，则甲工程队单独施工需?个月修好这条路，乙工程队单独施工需(? + 6)个月修好这条路，根据甲、乙两队合作完成的部分 + 乙队单独完成的部分= 整个工程(单位1)，即可得出关于?的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【答案】②⑤
【解析】解：(1)①把? = −4代入? = 8中，得? = −2，
?
∴ ?(−4,−2)，
把? = −4代入
2中，得? = 1，
∴ ?(−4,1)，
2
?=−?2
∴ ??=1+2=5；
22
② ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ?? = 5，
2
设?
点坐标为(?,
8
?
)，则?点坐标为2)，
(?,−
?
则
825
?−(−?)=2，
解得，? = 4，
∴ ?(4,2)；
(2)
设?(?,8，?(?, )，则?(?,−2，?(?,− )，
)8
)2
????
∵ ?? = ??，
10
∴−?=
10，
?
∴ ? = −?，
∴??=−2=2≠??=8，
???
∴ ??与??不可能垂直，故①、③错误；
∵ 随着|?|不断变小，??起来越大，??起来越小，
∴ ??有可能与??相等，故②正确；
当? = −1时，▱????的周长= 2(?? + ??) = 2(10 + 210) = 20 + 410，当? = −2时，▱????的周长= 2(?? + ??) = 2(5 + 5) = 20，
∵ 两个▱????的周长不相等，
∴ ④错误；
∵ ?? = 10，??、??之间的距离为?−? = ?−(−?) = 2?，
?
?
∴ ?平行四边形????= 10⋅ 2? = 20，
故⑤正确，
综上，本题的正确答案是②⑤．故答案为：②⑤．
(1)①根据?点的横坐标分别求得?、?两点的坐标，进而得??；
②设?点坐标为
(?, )，则?点坐标为
8
?
(?,−)，根据?? = ??列出?的方程求出?，便可求得?点坐标；
2
?
(2)
设?(?,8，?(?, )，则?(?,−2，?(?,−
)，由平行四边形的性质?? = ??列出方程求得?、?的关
)8
)2
????
系，进而得?、?的坐标，根据坐标可以判断??不与?轴平行，从而判断??与??垂直，进而判断
①、③错误；根据随着|?|不断变小，??起来越大，??起来越小，可以判断??有可能与??相等，进而判断②的正误；根据?的两个特殊值，计算出▱????的两个周长不相等，从而判断④的正误；计算出??与??间的距离，再根据平行四边形的面积公式计算出面积，便可判断⑤的正误．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形、正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，点的坐标特征，第二题的关键是由平行四边形的对边相等，
得出?、?的关系．
【答案】????平行且相等
【解析】解：(1) ∵ ?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠?，
∴ ??//??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，??//??，
故答案为：????，平行且相等；
(2)证明： ∵ 四边形????是正方形
∴ ?? = ??，∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = 2?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°
∴ ∠??? = ∠???，
{
? ?= ? ?
在△ ???和△ ???中， ∠ ??? = ∠ ???，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = ∠???−45= ∠???−45，
∵ 四边形????是正方形，
∴?? = ??，∠??? = 90°，
∴?? = ??，∠??? = 360°−∠???−∠???−∠??? = 225°−∠???，
∴∠??? + ∠??? =∠???−45° + 225°−∠??? = 180°，
∴ ??//??且 ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ?? =2??；
(3)?? =3??，
如图，过点?作??，使∠??? = 120°，且?? = ??，连接??、??，则∠??? = ∠??? = 30°，
∵∠??? = ∠??? = 120°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ?? = ??，∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???−∠??? = ∠???−30°，
∠???= 360°−∠???−∠???−∠??? = 210°−∠???，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ??//??且?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，
过?作?? ⊥ ??于?，
在△ ???中，∠??? = 120°，?? = ??，
∴∠??? = 30°，?? = 2??，
∴ ?? =3??，
2
∴ ?? =3??，
∴ ?? = ?? =3??．
(1)根据全等三角形的性质得到?? = ??，∠??? = ∠?，根据平行四边形的性质即可得到结论； (2)根据正方形的性质得到?? = ??，∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°根据全等三角形的性质得到?? = ??，∠??? = ∠???，推出四边形????是平行四边形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(3)如图，过点?作??，使∠??? = 120°，且?? = ??，连接??、??，根据全等三角形的性质得到?? = ?? = ??，∠??? = ∠???，推出四边形????是平行四边形，得到?? = ??，过?作?? ⊥ ??于?，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，正确是作出辅助线是解题的关键．
【答案】(1)证明： ∵ ??绕点?逆时针旋转90°得到??，
∴?? = ??，∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??；
解：过?作?? ⊥ ??于?，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?? = ?? = 2，
∵△???≌△???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，?? = ??，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 4，?? = 2，∠??? = 90°，
??2+??2
∴ ?? =
=
= 25，
42+22
∵?△???=1??×??=1×??×??，
22
∴??=45，
5
??2−??2
∴ ?? =
∴ ??=??=25；
5
=
=25， 5
4−16
5
解：如图，将△ ???绕点?逆时针旋转90°得到△ ???，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴ 点?，点?，点?三点共线，
∵ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，又∵ ?? = ??，
∴ 四边形????为正方形，
∴ ?四边形????= ?四边形????= (45)2= 16．
55
【解析】(1)由“???”可证△ ???≌ △ ???，可得?? = ??；
过?作?? ⊥ ??于?，由“???”可证△ ???≌ △ ???，可得?? = ??，由勾股定理可求??的长，由面积法可求??的长，由勾股定理可求解；
将△ ???绕点?逆时针旋转90°得到△ ???，通过证明四边形????为正方形，即可求解．本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．