2022-2023学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(4,2)，b=(x,3)，且a//b，则x等于( )
A. 9B. 6C. 5D. 3
2.如果直线a和b没有公共点，那么a与b( )
A. 共面B. 平行
C. 可能平行，也可能是异面直线D. 是异面直线
3.已知z1=a+i，z2=1+i，a∈R，若z1z2是纯虚数，则z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2023=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
4.福建省第七次人口普查统计数据显示，漳州市11个县(市、区)常住人口数据如下表所示，则这11个县(市、区)人口数据的第80百分位数是( )
A. 638060B. 560969C. 455042D. 411558
5.已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分条件是( )
A. α⊥γ，β⊥γB. m⊥n，α∩β=m，n⊂β
C. m//α，m//βD. m//α，m⊥β
6.利用公式cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ可得csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α−β)].则cs10∘cs50∘+sin20∘cs70∘=( )
A. 1B. 34C. 12D. 14
7.已知向量a与b垂直，若a=(6,−8),|b|=5，且b与向量(1,0)的夹角是锐角，则b=( )
A. (4,3)B. (−4,−3)C. (3,4)D. (−3,−4)
8.《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，AB=AD=2，点E，F分别在棱AB，BC上，则空间四边形PEFD的周长的最小值为( )
A. 3+ 5B. 4+ 5C. 5+ 5D. 6+ 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在以下调查中，适合用抽样调查的有( )
A. 调查某品牌的冰箱的使用寿命
B. 调查某个班级10名学生每周的体育锻炼时间
C. 调查一批炮弹的杀伤半径
D. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，则( )
A. 直线BA1与CC1所成的角等于30∘B. 直线BA1与AC所成的角等于60∘
C. 直线AO1与CC1是异面直线D. 直线AO1与BD所成的角等于90∘
11.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，则P(A∪B)=16
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB−)=19
D. 若P(A−)=13,P(B−)=12，且P(A−B)=14，则A，B是独立事件
12.已知△ABC的重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，则下列说法正确的是( )
A. 若M是BC中点，则AG：GM=2：1
B. 若|AB|=1，则AB⋅AO=12
C. AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC不共线
D. 若|AB|=1,|AC|=2,∠BAC=23π,AI=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+μ=9−3 72
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：
5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
则其射击成绩的方差s2=______ .
14.△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a=4，A=30∘，试写出一个b值，使该三角形有两解，则满足题意的b的值可以是__________.
15.龙文塔位于漳州市龙文区步文镇鹤鸣山，是漳州古城的标志性建筑，某研究性学习小组想利用正弦定理测量龙文塔的高度，他们在塔底B点的正西处的C点测得塔顶A点的仰角为30∘，然后沿着东偏南67∘的方向行进了64m后到达D点(B,C,D三点位于同一水平面内)，且B点在D点北偏东37∘方向上，由此可得龙文塔的高度为______ m.(参考数据：取sin53∘=0.8)
16.已知正四棱锥S−ABCD的底面边长为 2，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为______ ；该正四棱锥的外接球的体积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点，设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示CD,AE；
(2)如果|a|=3|b|,CD,AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
18.(本小题12分)
某调研机构从某校2023届高三年级学生中随机抽取60名学生，将其某次质检的化学科赋分后的成绩分成七段：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并制作了相应的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该校高三年级学生在这次质检考试中化学科赋分后成绩的众数、平均数、中位数(小数点后保留一位有效数字)；
(2)用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则[70,80)分数段抽取的人数是多少？
19.(本小题12分)
下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>32.
20.(本小题12分)
如图，由X到Y的电路中有4个元件，分别为A，B，C，D，每个元件可能正常(用1表示元件的“正常”状态)，也可能失效(用0表示元件的“失效”状态).分别用x1，x2，x3和x4表示元件A，B，C和D的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3,x4)表示.
(1)记M=“恰有两个元件正常”，用集合表示M；
(2)若A，B，C，D能正常工作的概率都是12，记N=“X到Y的电路是通路”，求P(N).
21.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b= 3，且a= 3csC+ 33csinB.
(1)求B；
(2)求2a+c的最大值.
22.(本小题12分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，点M，N分别为棱AD，DD1上的点(不与端点重合)，且AM=DN.
(1)求证：A1M⊥平面ABN；
(2)求三棱锥B−MDN的体积的最大值；
(3)点P在平面ABCD内运动(含边界)，当A1P⊥BD时，求直线A1P与直线BD1所成角的余弦值的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵a//b，∴2x−12=0，解得x=6.
故选B.
利用向量共线定理即可得出．
熟练掌握向量共线定理是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵直线a和b没有公共点，∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选C.
根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断．
本题主要考查空间直线的位置关系，空间直线平行和异面都没有公共点．
3.【答案】B
【解析】解：z1=a+i，z2=1+i，
则z1z2=(a+i)(1−i)(1+i)(1−i)=a+12+1−a2i，
∵z1z2是纯虚数，
∴a+12=01−a2≠0，解得a=−1，
∴z1z2=i，
∵i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0，
∴z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2023=i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2023=505×0+i+i2+i3=−1.
故选：B.
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：将11个数从小到大排列可得：134276，219511，228235，301883，30525，411558，455042，560969，638060，847535，952000，
由11×80%=8.8，
根据百分位数的定义可知，第80百分位数是第9个数：638060.
故选：A.
将11个数从小到大排列后，根据百分位数的定义，计算即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了四个条件的应用，涉及到空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理，考查了学生的理解能力，属于中档题.
根据空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理对各个选项逐个判断即可求解.
【解答】
解：选项A：由已知可得α//β或者α⊥β，故A错误，
选项B：由m⊥n，α∩β=m，n⊂β可得：α，β相交，故B错误，
选项C：由m//α，m//β可得：α//β或者α，β相交，故C错误，
选项D：由m//α，m⊥β可得：α⊥β，故D正确.
故选D.
6.【答案】B
【解析】解：由于cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ可得csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α−β)].
故cs10∘cs50∘=12[cs60∘+cs40∘]，sin20∘cs70∘=cs70∘cs70∘=12[cs140∘+1]=12(−cs40∘+1)，
故cs10∘cs50∘+sin20∘cs70∘=12cs60∘+12cs40∘−12cs40∘+12=34.
故选：B.
直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设b=(x,y)，∵a⊥b，则：a⋅b=6x−8y=0，
∴y=34x，且|b|=5，
∴x2+y2=x2+916x2=2516x2=25，
∵b与向量(1,0)的夹角是锐角，
∴x>0，
∴x=4，y=3，
∴b=(4,3).
故选：A.
可设b=(x,y)，根据a⊥b可得出y=34x，根据b与向量(1,0)的夹角是锐角得出x>0，而根据|b|=5即可求出x，y的值，从而得出向量b的坐标．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，在棱锥P−ABCD中，PD= 4+1= 5为定值，
若空间四边形PEFD的周长取得最小值，只需PE+EF+FD取得最小值，
如图，将AP、PB展开，使得△PAB与矩形ABCD在同一个平面内，
延长DC到M，使得CM=DC，则有FD=FM，
当四点P、E、F、M在同一条直线上时，PE+EF+FD取得最小值，且其最小值为PM，
在展开图中：PD=2+1=3，DM=2+2=4，则PM= 16+9=5，即PE+EF+FD的最小值为5，
故空间四边形PEFD的周长的最小值5+ 5.
故选：C.
根据题意，分析可得PD为定值，由此将AP、PB展开，使得△PAB与矩形ABCD在同一个平面内，再延长DC到M，使得CM=DC，利用平面图形分析PE+EF+FD的最小值，将其最小值和PD的值相加即可得答案．
本题考查棱锥的结构特征，涉及几何体表面距离最值的计算，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于B，样本数量较小，适宜全面调查，故B错误；
对于ACD，由于调查的范围较广，经济成本会较高，不适宜全面调查，适宜抽样调查．
故选：ACD.
根据已知条件，结合抽样调查、全面调查的定义，即可求解．
本题主要考查抽样调查、全面调查的定义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：如图，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1.

对于选项A.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有CC1//BB1，
所以∠A1BB1(或其补角)为直线BA1与CC1所成的角，
在Rt△A1BB1中，A1B1=BB1，A1B1⊥BB1，所以∠A1BB1=45∘，选项A错．
对于选项B.连接BC1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有AC//A1C1，
所以∠BA1C1(或其补角)为直线BA1与AC所成的角，
又BC1=A1C1=A1B= 2，即△BA1C1为正三角形，∠BA1C1=60∘，
选项B对．
对于选项C.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设AC∩BD=O，连接O1O，
则O1O//C1C//A1A，即ACC1O1A1共面，
又AC//A1C1，所以直线AO1与CC1是相交直线，选项C错．
对于选项D.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD⊥AC，AA1⊥BD，
所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥AO1，选项D对．
故选：BD.
以正方体为模型，考查平面内直线与直线所成的角，需要把直线平移到同一个三角形中解决，直线与直线垂直可以运用线面垂直的性质定理求解．
本题以正方体为模型，考查平面内直线与直线所成的角，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A：若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=13+12=56，故A错误；
对于C：若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则A，B−也是独立事件P(B−)=13，则P(AB−)=P(A)P(B−)=13×13=19，故C正确；
对于B：若A，B是对立事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故B正确；
对于D：若P(A−)=13,P(B−)=12，则P(A−B)=14≠13×12=P(A−)P(B)，则A−，B不是独立事件，故A，B也不是独立事件，故D错误．
故选：BC.
利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可．
本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，连接CG交AB于D点，则点D是AB的中点，M是BC中点，连接DM，
∴DM//AC，∴DM=12AC，∴AG：GM=AC：DM=2：1，故A正确；
对于B，取AB中点N，连接AO，NO，
∵O为△ABC的外心，∴NO⊥AB，
∴|AO|cs∠NAO=|AN|，∵|AB|=1，∴|AN|=12，
∴AB⋅AO=|AB|⋅|AO|cs∠NAO=|AB|⋅|AN|=12，故B正确；
对于C，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，
∵BC⋅(AB|AB|csB+AC|AC|csC)=BC⋅AB|AB|csB+BC⋅AC|AC|csC
=|BC|⋅|AB|cs(π−B)|AB|csB+|BC|⋅|AC|csC|AC|csC=−|BC|+|BC|=0，
∴BC⊥(AB|AB|csB+AC|AC|csC)，∵AH⊥BC，∴AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC共线，故C错误；
对于D，分别作IF⊥AB，IE⊥AC，交AB，AC于F，E点，
连接AI，并延长交BC于P点，可得∠BAP=∠CAP=π3，
设内切圆半径为r，则|IF|=|IE|=r，∴|AI|sin∠BAP=|IF|=r，
AB⋅AI=AB(λAB+μAC)=λAB⋅AB+μAB⋅AC，
∴|AB|⋅|AI|csπ3=|AC|⋅rsinπ3⋅csπ3=r 3=λ×12+μ×2×−12=λ−μ，
∴r 3=λ−μ，①，
AC⋅AI=AC⋅(λAB+μAC)=λAC⋅AB+μAC⋅AC，
∴|AC|⋅|AI|csπ3=|AC|⋅rsinπ3csπ3=2r 3=λ×2×−12+μ×22=−λ+4μ，
∴2r 3=−λ+4μ，②，
由①②可得λ=2r 3，μ=r 3，
在△ABC中，由余弦定理可得：
|BC|= |AB|2+|AC|2−2|AB|×|AC|cs2π3= 1+4+2×1×2×12= 7，
∵S△ABC=12|AB|×|AC|sin2π3=12(|AB|+|AC|+|BC|)r，
解得r= 33+ 7，∴λ+μ=2r 3+r 3= 3r= 3⋅ 33+ 7=9−3 72，故D正确．
故选：ABD.
连接CG交AB于D，得DM//AC，DM=12AC，根据三角形相似可判断A；取AB的中点N得NO⊥AB，从而|AO|cs∠NAO=|AN|，再由AB⋅AO=|AB|⋅|AO|cs∠NAO可判断B；点H为垂心得AH⊥BC，利用BC⋅(AB|AB|csB+AC|AC|csC)=0，得BC⊥(AB|AB|csB+AC|AC|csC)，可得AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC共线可判断C；分别做IF⊥AB，IE⊥AB，交AB，AC于F，E点，设内切圆半径为r，得|AI|sin∠BAP=|IF|=r，利用AB⋅AI=λAB⋅AB+μAB⋅AC，得r 3=λ−μ，AC⋅AI=λAC⋅AB+μAC⋅AC，得2r 3=−λ+4μ，从而求出λ=2r 3，μ=r 3，再由余弦定理可得|BC|= 7，再利用S△ABC=12|AB|×|AC|sin2π3=12(|AB|+|AC|+|BC|)r，求出r可判断D.
本题考查三角形五心、平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
13.【答案】1.2
【解析】解：命中环数的平均数为：x−=110×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7，
其射击成绩的方差s2=110[(5−7)2+2×(6−7)2+4×(7−7)2+2×(8−7)2+(9−7)2]=1.2.
故答案为：1.2.
根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
14.【答案】5(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查正弦定理和三角形的解的个数问题，属于基础题．
利用正弦定理求出sinB，然后根据三角形有两解得到b>a，sinB<1即可求得．
【解答】
解：由正弦定理有：asinA=bsinB，
∴sinB=bsinAa=b8，
∵△ABC有两解，∴B>A，
∴b>asinB<1，即b>4b8<1，
∴4∴满足题意的b的取值范围为：(4,8).
故答案为：5(答案不唯一).
15.【答案】40
【解析】解：设龙文塔的高度为h m，
在直角△ABC中，∠ACB=30∘，所以BC= 3h，
在△BCD中，∠BCD=67∘∠CBD=90∘−37∘=53∘，
所以∠CDB=180∘−67∘−53∘=60∘，
由正弦定理BCsin∠CDB=CDsin∠CBD，
即 3hsin60∘=64sin53∘，解得h=40m.
故答案为：40.
设龙文塔的高度为hm，根据题意分别求得BC= 3h,∠CBD=53∘,∠CDB=60∘，在△BCD中，利用正弦定理，即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解决实际问题中的应用，属于基础题．
16.【答案】−17 32 3π27
【解析】解：如图所示，连接AC，BD，相交于点O，连接OS.
∵四棱锥S−ABCD是正四棱锥，
∴OS⊥底面ABCD.作BE⊥SC，同理DE⊥SC，连接DE，
∴∠BED是相邻两个侧面所成二面角的平面角，
BD=2，12BC⋅SP=12SC⋅BE，可得BE= 2× 4−122= 72，sin12∠BED=2 7，
cs∠BED=1−2×47=−17.
SO= SC2−OC2= 4−1= 3，设外接球的半径为R，
可得 R2−( 3−R)2=1，解得R=2 33，
正四棱锥的外接球的体积为：4π3×(2 33)3=32 3π27.
故答案为：−17；32 3π27.
作出二面角的平面角，通过求解三角形．推出结果；求解外接球的半径，然后求解体积即可．
本题考查了正四棱锥的性质，二面角的求法，几何体的外接球的体积的求法．考查了推理能力与计算能力．
17.【答案】解：(1)由题意，CD=AD−AC=13AB−AC=13a−b，
因为点E是CD的中点，
所以AE=12(AD+AC)=16AB+12AC=16a+12b；
(2)由(1)可得：
CD⋅AE=(13a−b)⋅(16a+12b)=118a2−12b2，
又|a|=3|b|，所以CD⋅AE=0，
即CD⊥AE.
【解析】(1)由题设条件，根据向量的线性运算即得；
(2)根据条件可证CD⋅AE=0，即CD⊥AE.
本题考查向量的线性运算和数量积运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)由图可知众数为70+802=75，
因为0.05+0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.05=1，解得a=0.030，
平均数为35×0.05+45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
因为0.05+0.05+0.1+0.2=0.4<0.5，0.05+0.05+0.1+0.2+0.3=0.7>0.5，
所以中位数居第5组，设中位数为x，则0.05+0.05+0.1+0.2+0.03(x−70)=0.5，
解得x≈73.3，所以中位数约为73.3；
(2)因为总人数为60人，抽取20人，所以抽取比例为2060=13，
因为60人中[70,80)分数段人数为60×0.03×10=18人，
所以[70,80)分数段应抽取人数为18×14=6.
【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出a的值，再根据众数、平均数及中位数计算规则计算可得；
(2)求出抽样比与[70,80)中的人数，即可得解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数和中位数的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由图可知，A=3，
周期T=4×(4.5−1.5)=12，
则ω=2π12=π6，
f(x)图象过点(1.5,3)，
故3sin(π6×1.5+φ)=3，即π4+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π4+2kπ,k∈Z，
∵0<φ<π，
∴φ=π4，
故f(x)=3sin(π6x+π4)；
(2)f(x)>32，
则3sin(π6x+π4)>32，即sin(π6x+π4)>12，
∴π6+2kπ<π6x+π4<5π6+2kπ，k∈Z，解得−12+12k∴原不等式的解集为(−12+12k,72+12k)，k∈Z.
【解析】(1)根据已知条件，结合图象，依次求出A，ω，φ，即可求解；
(2)结合(1)的结论，令f(x)>32，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)“恰有两个元件正常”等价于(x1,x2,x3,x4)∈Ω，且x1，x2，x3，x4中恰有两个为1，
所以M={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}；
(2)设N1=“D正常工作”，N2=“D没有正常工作，A正常工作，且B，C中至少有一个正常工作”，
由于“X到Y的电路是通路”等价于“D正常工作”或“D没有正常工作，A正常工作，且B，C中至少有一个正常工作”，
即N=N1UN2，
又因为P(N1)=12，P(N2)=(1−12)×12×(1−12×12)=316，且事件N1，N2互斥，
所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(N)=P(N1∪N2)=12+316=1116.
【解析】(1)根据题意，利用列举法，即可求解；
(2)由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解．
本题主要考查了相互独立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为b= 3，所以a= 3csC+ 33csinB=bcsC+ 33csinB，
由正弦定理可得sinA=sinBcsC+ 33sinCsinB，
而sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以csBsinC= 33sinCsinB，又因为sinC≠0，
所以tanB= 3，B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)由正弦定理可得asinA=csinC=bsinB= 3 32=2，
所以a=2sinA，c=2sinC，
所以2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin(π3+A)=5sinA+ 3csA=2 7sin(A+φ)，且tanφ= 35，
则sinφ= 2114< 32，即φ<π3，
因为A∈(0,23π)，
所以sin(A+φ)≤1，
所以2a+c的最大值为：2 7.
【解析】(1)由题意可得a=bcsC+ 33csinB，再由正弦定理及三角形中角之间的关系整理可得tanB的值，进而求出B角的大小；
(2)由(1)和正弦定理可得2a+c的表达式，再由A角的范围，可得2a+c的最大值．
本题考查正弦定理的应用及辅助角公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：∵正方体ABCD−A1B1C1D1，∴AA1=AD，∠A1AM=∠ADN=90∘，
∵AM=DN，∴△A1AM≌△ADN，∴∠A1AM=∠NAD，
∴∠A1AN+∠AA1M=∠A1AN+∠NAD=∠A1AD=90∘，∴A1M⊥AN，
∵AB⊥平面ADD1A1，且A1M⊂平面ADD1A1，∴AB⊥A1M，
∵AB∩AN=A，∴A1M⊥平面ABN；
(2)设AM=DN=x，其中0∴S△MDN=12x(1−x)≤12⋅(x+1−x2)2=18，当且仅当x=12，取等号，
∵三棱锥B−MDN的高AB=1，
∴三棱锥B−MDN的体积的最大值为13×18×1=124；
(3)∵A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∵A1A⊥AC=A，∴BD⊥平面A1AC，
∵BD⊥A1P，A1P⊂平面A1AC，点P在平面ABCD内运动(含边界)，
且平面A1AC∩平面ABCD=AC，∴点P∈AC，∴点P的轨迹为线段AC，
把原正方体扩展为长方体CC1D1D−EE1F1F，连结A1E，PE，AE，
依题意A1E//BD1，则∠EA1P为直线A1P与直线BD1所成角，
设AP=t，0≤t≤ 2，则A1P= t2+1，A1E= 3，PE= AE2+AP2= 2+t2，
∴cs∠EA1P=A1E2+A1P2−PE22A1E⋅A1P=3+(t2+1)−(2+t2)2 3× t2+1=1 3× t2+1，
∵∠EA1P∈(0,π2],且cs∠EA1P在(0,π2]上为减函数，
∴当t=0时，即P与A重合时，
直线A1P与直线BD1所成角的余弦值的最大值为 33.
【解析】(1)由正方体的性质结合已知可得△A1AM≌△ADN，则可得A1M⊥AN，而AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1M，再利用线面垂直的判定定理可证明结论；
(2)设AM=DN=x，则S△MDN=12x(1−x)，利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出三棱锥B−MDN的体积的最大值；
(3)根据题意可得点P的轨迹为线段AC，把原正方体扩展成长方体CC1D1D−EE1F1F，连结A1E，PE，AE，可得∠EA1P这直线A1P与直线BD1所成角，设AP=t，0≤t≤ 2，然后在△EA1P中利用余弦定理可求得结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的定义及求法、三棱锥体积的最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．地区
芗城区
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地区
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常住人口
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219511
305259
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