2022-2023学年安徽省芜湖市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a，b满足a=(3,−2)，b=(x,1)，且a⊥b，则实数x的值为( )
A. 23B. −23C. −32D. 32
2.已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，则csα的值为( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
3.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为166.2cm，小华调查的样本量为100，平均数为164.7cm.则下列说法正确的是( )
A. 小明抽样的样本容量更大，所以166.2cm更接近总体平均数
B. 小华使用的抽样方法更好，所以164.7cm更接近总体平均数
C. 将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数
D. 样本平均数具有随机性，以上说法均不对
4.已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA−bsinB=0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
5.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，如图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是( )
A. 众数为30B. 中位数为31.5C. 平均数小于中位数D. 极差为109
6.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为32π3，这两个圆锥的体积之和为4π，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为( )
A. 32B. 33C. 12D. 13
7.点A，B分别是函数y=cs(π2x−π6)图象上y轴右侧第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，则OA⋅OB=( )
A. −79B. 79C. 29D. −29
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面周长为( )
A. 4( 5+ 2)B. 2 5+8 2C. 6 2D. 8+2 5
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足z(1+i)=2，以下说法正确的有( )
A. z=1−2i
B. z−在复平面内对应的点在第一象限
C. |z|= 2
D. 若z是方程x2−px+2=0的一个根(p∈R)，则p=2
10.下列说法正确的为( )
A. 数据2，2，3，5，6，7，7，8，10，11的下四分位数为8
B. 数据x1，x2，…，xn的标准差为sx，则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的标准差为|a|sx
C. 如果三个事件A，B，C两两互斥，那么P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立
D. 对任意两个事件A与B，若P(AB)=P(A)P(B)成立，则事件A与事件B相互独立
11.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥P−BCED，则( )
A. 对任意的点P，始终有BC//平面PDE
B. 对任意的点P，始终有BC⊥AP
C. 翻折过程中，四棱锥P−BCED的体积有最大值9
D. 存在某个点P的位置，满足平面PDE⊥平面PBC
12.已知g(x)=2sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)(ω>0)，下面结论正确的是( )
A. g(0)= 32
B. 若g(x)在[−π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围是(0,23]
C. 若g(x1)=1，g(x2)=−1，且|x1−x2|的最小值为π，则ω=2
D. 存在ω∈(1,3)，使得g(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.向量a=(0,1)，b=(−2,−8)，则b在a上的投影向量为______ .
14.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器ABCD−A1B1C1D1，AB=2，容器内装有高度为h的水，现将容器绕着棱A1B1所在直线顺时针旋转45∘，容器中水恰好未溢出，则h=______ .
15.在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为______ .
16.设样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}含有等可能的样本点，且事件A={1,2,3,4}，事件B={1,2,3,5}，事件C={1,m,n,8}，使得p(ABC)=p(A)p(B)p(C)，且满足A，B，C两两不独立，则m+n=______ .
四、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠DAB=π3，点E是AB的中点，连接DE，AC，AB=4记它们的交点为点G，设AB=a，AD=b.
(1)用a，b表示AG；
(2)求⟨AG,AB⟩的余弦值.
18.(本小题8分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，D，E分别为A1B1和CC1的中点.(1)求证：C1D//平面AB1E；
(2)若AC=AA1=BC=6，求点D到平面AB1E的距离.
19.(本小题8分)
无为板鸭是安徽省芜湖市无为市的一道传统特色美食，属于徽菜系，始创于清朝年间.不但本地人喜欢，也深受外来游客的赞赏.老马从事板鸭加工销售多年，为了进一步提高自家板鸭的销售量，老马随机的抽取了200位年龄处于[10,60]岁的顾客进行板鸭口感度调查，记录给予口感好评的人数，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
(1)求x，y的值；
(2)根据频率分布直方图，估计小马调查的这200位顾客年龄的平均值；
(3)从年龄段在[40,60]的给好评人群中采取分层抽样的方法抽取6位顾客进行详细口感度调查，并从中选出两人各赠送一只板鸭，求选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在[50,60]中的概率.
20.(本小题10分)
如图所示，某小区内有A，B，C，D四栋楼，在C栋楼处测得AC=a米，∠BAC=30∘，∠BAD=90∘，∠BCD=45∘，∠DCA=30∘.
(1)求BD两栋楼间的距离；
(2)若小区决定沿BD方向取E，F两点与A建设一个三角形花园，且始终满足∠EAF=45∘，求△AEF面积的最小值.
21.(本小题10分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，∠ACB=90∘，BF⊥AD，BC=2，BE=EF=FC=1.
(1)求证：平面BCFE⊥平面ABC；
(2)若直线AE与平面BCFE所成角为π3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a，b满足a=(3,−2)，b=(x,1)，且a⊥b，
则3x+(−2)×1=0，解得x=23.
故选：A.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，
∴x=−35，y=45，r=1，
∴csα=−35.
故选：B.
根据已知角α的终边与单位圆交于点P(−35,45)，结合三角函数的定义即可得到csα的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，本题是基础题，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识．
3.【答案】D
【解析】解：对于选项A：因为样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数，
但是小明与小华的抽样方法不同，无法确定，故选项A错误；
对于选项B：当总体的构成分为几层时，可采用分层抽样，
但是方法好与坏，都与总体平均数无关，故选项B错误；
对于选项C：两人采用的抽样方法不同，无法确定，故选项C错误；
对于选项D：因为样本平均数具有随机性，故选项D正确．
故选：D.
由题意，根据简单随机抽样法和分层抽样法的定义以及平均数的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查抽样方法以及平均数，考查了逻辑推理能力．
4.【答案】A
【解析】解：∵asinA−bsinB=0，根据正弦定理，
∴a²=b²，∴a=b，则△ABC为等腰三角形．
故选：A.
根据正弦定理，可判断三角形形状．
本题考查正弦定理，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：A项，由题图可知30出现的次数最多，所以众数为30.故A项正确．
B项，将日均值从小到大排列，所以中位数为31+322=31.5.故B项正确．
C项，平均数为38+25+17+30+34+126+42+31+32+3010=40.5.因为40.5>31.5，
所以平均数大于中位数．故C项错误．
D项，极差为126−17=109，正确．
故选：C.
根据折线图，读出10个数据，按照众数，中位数，平均数，极差的定义计算即可．
本题考查数据的特征，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，
设圆锥S1O1与圆锥S2O1公共底面圆心为O1，两圆锥公共底面圆周上一点A，底面半径r=O1A，
设球心为O，球的半径R=OA，
由题意知，4πR33=32π3，解得R=2，
又因为13πr2⋅2R=4π，解得r= 3，
所以在Rt△OO1A中，OO1= OA2−O1A2= 22−( 3)2=1，
因为底面积相同的圆锥，高较大者体积较大，
所以体积较小圆锥的高为S1O1=S1O−OO1=2−1=1，
体积较大圆锥的高为S2O1=S2O+OO1=2+1=3，
所以体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13.
故选：D.
画出图形，根据面积比例关系确定底面半径和球的半径之间的关系，再求出底面与球心之间的距离，以此求出两个圆锥的高．
本题考查了球与圆锥的体积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵点A，B分别是函数y=cs(π2x−π6)图象上y轴右侧第一个最高点和第一个最低点，
∴令π2x−π6=kπ，k∈Z，∴x=13+2k，k∈Z，
∴A(13,1)，B(73,−1)，
∴OA⋅OB=13×73+1×(−1)=−29.
故选：D.
由题和三角函数的图象与性质得A，B的坐标，再由平面向量的数量积运算即可求得．
本题考查三角函数的图象和性质，平面向量的数量积运算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，设CC1的中点为P，
连接NP，DP，D1M，AM，AD1，
则根据正方体的性质易知NP⊥平面DCC1D1，
∴DN在平面DCC1D1内的射影为DP，
又M为棱DC的中点，CC1的中点为P，
∴易得D1M⊥DP，
∴根据三垂线定理可得D1M⊥DN，
同理可得AM⊥DN，又D1M∩AM=M，
∴DN⊥平面AMD1，
∴平面α截正方体AC1所得的截面即为△AMD1，
又易知AM=D1M=2 5，AD1=4 2，
∴所求截面周长为4 5+4 2.
故选：A.
设CC1的中点为P，连接NP，DP，D1M，AM，AD1，则根据三垂线定理可得D1M⊥DN，同理可得AM⊥DN，从而可得DN⊥平面AMD1，即得平面α截正方体AC1所得的截面为△AMD1，再计算周长即可得解．
本题考查正方体的截面问题，三垂线定理的应用，线面垂直的判定定理，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：z(1+i)=2，
则z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，故A错误；
z−=1+i，
则z−在复平面内对应的点(1,1)在第一象限，故B正确；
|z|= 12+(−1)2= 2，故C正确；
z是方程x2−px+2=0的一个根(p∈R)，
则z−也是方程x2−px+2=0的一个根，
故1−i+1+i=p，解得p=2，故D正确．
故选：BCD.
根据已知条件，先求出z，结合共轭复数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，下四分位数位置为(10+1)×0.25≈3，即下四分位数为3，A错误；
对于B，设数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，
则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为(ax1+b,ax2+b，…，axn+b)×1n=ax−+b，
标准差为 1n[(ax1−ax−)2+(ax2−ax−)2+⋯+(axn−ax−)2]=|a| 1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]=|a|sx，B正确；
对于C，由于三个事件A，B，C两两互斥，所以P(ABC)=0，
所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)，C正确；
对于D，独立事件的定义，D正确．
故选：BCD.
按照统计学原理进行分析计算即可．
本题主要考查概率与统计的相关性质与定义，属中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，因为△ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，所以BC//DE，BC⊄平面PDE，所以对任意的点P，始终有BC//平面PDE，所以A正确；
对于B，取BC的中点F，连接AF交DE于O，连接PF，易知AO⊥DE，OF⊥DE，可得DE⊥平面POF，所以CB⊥平面POF，所以BC⊥平面APF，所以BC⊥AP，所以B正确；
对于C，翻折过程中，PO⊥底面BCED时，四棱锥P−BCED的体积有最大值：13×34× 34×42× 32×2=3≠9，所以C不正确；
对于D，如果存在某个点P的位置，满足平面PDE⊥平面PBC，必有PO⊥PF，因为OP=OF，所以不存在等腰三角形的底角为90∘，所以D不正确；
故选：AB.
利用直线与平面判断的判断定理判断A的正误；通过直线与平面垂直判断B；求解几何体的体积的最大值判断C；利用直线与平面垂直判断D即可．
本题考查几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，是中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：g(x)=2sin(ωx+π12)⋅cs(ωx+π12)=sin(2ωx+π6)，
对于A，g(0)=sinπ6=12，故A错误；
对于B，令−π2+2kπ≤2ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得：∴−π3ω+kπω≤x≤π6ω+kπω，k∈Z，
∵g(x)在[−π6,π4]上单调递增，∴−π6≥−π3ωπ4≤π6ωω>0，∴0<ω≤23，故B正确；
对于C，∵g(x1)=1，g(x2)=−1，且|x1−x2|的最小值为π，∴T=2π，∴2ω=2πT，∴ω=12，故C错误；
对于D，∵g(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象为y=sin[2ω(x−π6)+π6]=sin(2ωx+π6−π3ω)，
其关于y轴对称，∴π6−π3ω=π2+kπ，k∈Z，∴ω=−1+3k，k∈Z，当k=1时，ω=2∈(1,3)，故D正确．
故选：BD.
由条件，根据二倍角公式化简g(x)，再由y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，逐一判断各选项即可．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+⌀)的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】(0,−8)
【解析】解：a=(0,1)，b=(−2,−8)，
故a⋅b=−8，|a|=1，
则b在a上的投影向量为：b⋅a|a|×a|a|=−8a=(0,−8).
故答案为：(0,−8).
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为容器是正方体，所以绕着棱A1B1所在直线顺时针旋转45∘，
可以得到AD1，此线是水平线，即此时水占了该正方体体积的一半，
则有22×h=12×23，h=1.
故答案为：1.
容器中水恰好未溢出，则此时水占了该正方体体积的一半，由此可得．
本题考查几何体的体积问题，属于中档题．
15.【答案】46.8
【解析】解：根据题意，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，
则总体的平均数x−=174×20+164×3050=168，
则总体的方差S2=2050[12+(174−168)2]+3050[30+(164−168)2]=46.8.
故答案为：46.8.
根据题意，先求出总体的平均数，进而由总体的方差公式计算可得答案．
本题考查总体的方差的计算，注意总体方差的计算公式，属于基础题．
16.【答案】13
【解析】解：由题意可知P(A)=P(B)=P(C)=12，所以P(ABC)=18，
可见1是A，B，C共同的唯一的交集，
又A，B，C两两不独立，即P(AB)≠14，P(AC)≠14，P(BC)=≠14，
可见m，n不可以为4或5，
所以m，n为6或7，
即m+n=13.
故答案为：13.
由题意可知P(A)=P(B)=P(C)=12，所以P(ABC)=18，由此即可推测出m，n的值．
本题主要考查概率与统计，属中档题．
17.【答案】解(1)根据题意，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
易得AEDC=AGGC=12，则有AG=12GC，
故有AG=13AC，
又由AC=a+b，则AG=13AC=13(a+b)；
(2)∵|AC|2=(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=4+16+8=28，∴|AC|=2 7
又AC⋅AB=a2+a⋅b=20
∴cs⟨AG,AB⟩=cs⟨AC,AB⟩=AC⋅AB|AC|⋅|AB|=(a+b)⋅a2 7×4=5 714
【解析】(1)根据题意，由平行线的性质可得AEDC=AGGC=12，则有AG=12GC，又由AC=a+b，由此分析可得答案；
(2)根据题意，求出|AC|和AC⋅AB，由数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的运算和性质的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：取AB1的中点M，连结DM，ME，如图所示：
由DM//A1A//C1E，且DM=C1E，可得四边形DMEC1为平行四边形，
∴C1D//ME，
又C1D⊄面AB1E，ME⊂面AB1E，
∴C1D//平面AB1E；
(2)解：在△AB1E中，AC=AA1=BC=6，E为CC1的中点，∠ACB=90∘，
AB1=6 3，AE=B1E=3 5，EM=3 2，
S△AB1E=12×6 3×3 2=9 6，
由VD−AB1E=VE−ADB1，即13×9 6×h=13×12×3×6×6，
得点D到平面AB1E的距离h= 6.
【解析】(1)取AB1的中点M，连结DM，ME，再结合线面平行的判定定理，以及中位线定理，即可求证；
(2)根据已知条件，结合棱锥的等体积法，即可求解．
本题主要考查线面平行的判定，以及棱锥的等体积法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意得：y=25200×0.02×10=0.625，x=200×0.015×10×0.2=6；
(2)平均值为：15×0.3+25×0.2+35×0.2+45×0.15+55×0.15=31.5；
(3)从年龄段在[40,60]的给好评人中采取分层抽样的方法抽取6人进行调查，
从[40,50)中选：6×0.20.2+0.1=4人，分别记为A，B，C，D，
从[50,60]中选：6×0.10.2+0.1=2人，分别记为a，b，
在这6人中选取2人，基本事件有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)，共15种，
设事件A表示“选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在[50,60]中”，
则事件A包含的基本事件有：(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)，共9种
所以P(A)=915=35.
【解析】(1)根据频率分布表求解即可；
(2)根据频率分布直方图，结合平均数的定义求解；
(3)先根据分层抽样求出[40,50)和[50,60]抽取的人数，再结合古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵∠BCA=∠BCD+∠DCA=75∘，∠BAC=30∘，
∴∠ABC=75∘，
∴AC=AB=a，
又∠ADC=180∘−∠DCA−∠BAD−∠BAC=30∘，
∴AD=AC=a，
∴在△BAD中，BD= AB2+AD2= 2a.
(2)记∠DAF=θ，
则∠BAE=45∘−θ，
由题可知AFsin∠ADB=ADsin∠AFD，
解得AF= 22asin(45∘+θ)，
同理可得AE= 22acsθ，
∴S△AEF=12AE⋅AF⋅sin∠EAF=12× 22acsθ× 22asin(45∘+θ)×sin45∘= 28a2csθsin(45∘+θ)=a22 2sin(2θ+45∘)+2,(θ∈[0∘A5∘])，
当2θ=45∘时，S△AEF的最小值( 2−1)a22.
【解析】(1)由题意可求AC=AB=a，AD=AC=a，在△BAD中，利用勾股定理即可求解BD的值．
(2)记∠DAF=θ，则∠BAE=45∘−θ，利用正弦定理可求得AF= 22asin(45∘+θ)，AE= 22acsθ，进而利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质即可求解．
本题考查了勾股定理，正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：∵BE=EF=FC=1，BC=2，如图：
作EG⊥BC，FH⊥BC，则BH=32，HC=12，FC=1，
则FH= 32，则BF= ( 32)2+(32)2= 3，
由勾股定理BF2+FC2=BC2，可得BF⊥FC，又∵BF⊥AD，
∴BF⊥平面ADFC，∴BF⊥AC，又∵∠ACB=90∘，即BC⊥AC，
∴AC⊥平面BCFE，∴平面BCFE⊥平面ABC；
(2)由(1)知直线AE与平面BCFE所成角为∠AEC，∴ACEC= 3，∴AC=3，
设平面DEC和平面ABC的交线为l，易知l//AB，
过点E作EG⊥BC于G，∴EG⊥平面ABC，EG= 32，
再过点G作GK⊥l于K，连结EK，∴∠EKG即为所求角，
GK=32sin∠BCK=32sin∠B=32×3 13=92 13，
∴tan∠EKG= 32×2 139= 399.

【解析】(1)证明BF⊥平面ADFC，AC⊥平面BCFE即可；(2)EG⊥平面ABC，∠EKG即为所求角，再求边的长度即可．
本题考查线面垂直，面面垂直，考查二面角，属于中档题．组数
分组
给好评的人数
占本组的频率
第一组
[10,20)
45
0.75
第二组
[20,30)
25
y
第三组
[30,40)
20
0.5
第四组
[40,50)
x
0.2
第五组
[50,60]
3
0.1