2022-2023学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足方程z2+1=0(i是虚数单位)，则z=( )
A. 1B. iC. ±iD. −i
2.今年全国两会上，“大兴调查研究之风”写入政府工作报告.某地为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参与环保调查研究.已知甲村、乙村、丙村人数之比是5：2：3，被抽到的参与环保调查研究的村民中，甲村的人数为40人，则参加调查研究的总人数是( )
A. 80B. 800C. 100D. 60
3.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,2)B. e1=(2,−3)，e2=(12,−34)
C. e1=(3,4)，e2=(−6,−8)D. e1=(−2,1)，e2=(1,2)
4.随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍.已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为( )
A. 0.9B. 0.85C. 0.95D. 0.8
5.在△ABC中，边长c= 6，A=105∘，B=45∘，则△ABC的外接圆的面积是( )
A. 6πB. 24πC. 2 6πD. 4 6π
6.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B互斥B. P(B−)=13
C. P(AB)>P(AB−)D. 事件A与事件B相互独立
7.若sinθ=2cs10∘⋅cs(20∘−θ)，0∘<θ<180∘，则θ=( )
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘
8.在正四棱锥P−ABCD中，若PE=23PB，PF=13PC，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥P−AEFG与四棱锥P−ABCD的体积比为( )
A. 746B. 845C. 745D. 445
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论中正确的有( )
A. 为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
B. 若数据k1，k2，⋯，k8的平均数为2，方差为3，则数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3的平均数为7，方差为6
C. 在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的19，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16
D. 已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5
10.在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠DAB=60∘，E为AB中点，F为CE中点，延长DF交BC于点M，则( )
A. DF=34AB−14ADB. AC//(EB+32BM)
C. (2DF−12AB)⊥MCD. AF⋅AM=4712
11.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1D1，A1B1，CC1的中点.则下列说法正确的有( )
A. CD1⊥平面AB1D
B. A1D与AC1所成的角为60∘
C. 平面EFG截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面形状是五边形
D. 点P在平面BB1C1C内运动，且CP//平面BEF，则BP的最小值为 2
12.在△ABC中，D，E为线段BC上的两点，且BD=EC，下列结论正确的是( )
A. AB⋅AC≥AD⋅AE
B. 若AB2+AD2=AE2+AC2，则|AB|=|AC|
C. 若|BD|=|DE|=12|AD|，∠BAC=π3，则∠ACB=π6
D. 若|BD|=|DE|=1，∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是3 34
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知淮安最近10天每天的最高气温(单位： ∘C)分别为31，26，28，25，24，28，26，30，27，30，则这10天平均气温的上四分位数为______ ∘C.
14.复数−2+i与复数1−3i在复平面内对应的点分别为A、B，若O为坐标原点，则钝角∠AOB的大小为______ .
15.在古代数学中，把正四棱台叫做“方亭”，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了“方亭”的体积公式V=13(a2+ab+b2)h，a为方亭的下底面边长，b为上底面边长，h为高.某市为改善城市形象，决定开挖一条笔直的景观河道，该河道横截面为等腰梯形，上底为80米，下底为40米，开挖深度10米，河道长度10.98千米.同时在沿岸修葺30座亭台、楼阁，它们的地基都设计为同样大小的“方亭”结构，为了便于施工，决定使用开挖河道产生土方的1%修筑地基.已知设计“方亭”地基的下底面边长为30米，上底面边长为24米，则“方亭”地基的高为______ 米.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，AB⋅AC=−2BA⋅BC，则tanAtanB=______ ，若△ABC的面积为a24，则B=______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设复数z1=2+ai(a∈R)，z2=1−i，i为虚数单位.
(1)若z1⋅z2为纯虚数，求a的值；
(2)若z1+2z2为实数，求|z1z2|.
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)平面α//BC，平面α交平面PBC于EF，交底面ABCD于GH.求证：EF//GH.
19.(本小题12分)
已知sinα=513，sin(α+β)=45，0<β<π2<α<π.
(1)求cs(α−π4)；
(2)求cs(β+π4).
20.(本小题12分)
为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量(单位：公斤)绘制如图频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.
(1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；
(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在(40,50]的概率.
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=2，CD=3，∠ADC=∠BAD=90∘，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：PB⊥BC；
(2)求CD与平面PBC所成角的正弦值.
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且有5csinC−5asinA=sinB(6c−5b).
(1)求csA；
(2)若△ABC是锐角三角形，求a2+b22S的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为z2+1=0，即z2=−1，所以z=± −1=±i.
故选：C.
根据题意结合虚数单位的概念运算求解．
本题考查复数方程，考查虚数单位的概念运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得，甲村人数占总体比例为55+2+3=12，
故调查的总人数为：4012=80.
故选：A.
根据分层抽样的相关知识直接计算．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：只要两个向量不共线，即可作为基底向量，
对于A，因为e1=(0,0)，e2=(1,2)，
所以0×2−0×1=0，
则e1,e2共线，
故A不可以作为基底；
对于B，因为e1=(2,−3)，e2=(12,−34)，
所以2×(−34)−(−3)×12=0，
则e1,e2共线，
故B不可以作为基底；
对于C，因为e1=(3,4)，e2=(−6,−8)，
所以e2=−2e1，
则e1,e2共线，
故C不可以作为基底；
对于D，因为e1=(−2,1)，e2=(1,2)，
所以−2×2−1×1=−5≠0，
则e1,e2不共线，
故D可以作为基底．
故选：D.
由平面向量基本定理：若两个向量不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可．
本题考查了平面向量基本定理，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由对立事件的概率公式可知，不用现金支付的概率为1−0.05−0.1=0.85.
故选：B.
利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率．
本题考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，A=105∘，B=45∘，所以C=30∘，
设△ABC的外接圆的半径为r，
由正弦定理得csinC=2r，所以r=12×csinC=12× 612= 6，
所以△ABC的外接圆的面积是πr2=6π.
故选：A.
先求出角C，由正弦定理可得△ABC的外接圆的半径，进而可求面积．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得Venn图如下：
由图知：A∩B≠⌀,A∩B−≠⌀，
P(A)=612=12,P(B)=412=13，P(AB)=212=16,P(AB−)=412=13，
所以事件A与事件B不互斥，P(B−)=812=23，P(AB)P(AB)=P(A)⋅P(B)，
故选：D.
根据题意，画出Venn图求解．
本题考查互斥事件、对立事件、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为sinθ=2cs10∘⋅cs(20∘−θ)=cs[10∘−(20∘−θ)]+cs[10∘+(20∘−θ)]
=cs(θ−10∘)+cs(30∘−θ)=cs(θ−10∘)+ 32csθ+12sinθ，
则cs(θ−10∘)=− 32csθ+12sinθ=cs(θ−150∘)，
又因为0∘<θ<180∘，则−10∘<θ−10∘<170∘，−150∘<θ−150∘<30∘，
显然θ−10∘=θ−150∘不成立，所以θ−10∘=−(θ−150∘)，解得θ=80∘.
故选：D.
根据题意利用三角恒等变换整理得cs(θ−10∘)=cs(θ−150∘)，结合角的范围运算求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，
设PG=λPD，由A、E、F、G四点共面，
设AF=xAE+yAG，则AP+PF=x(AP+PE)+y(AP+PG)，
即AP+13(AB+AD−AP)=xAP+2x3(AB−AP)+yAP+y(λAD−λAP)，
得(23−y−x3+λy)AP+(13−2x3)AB+(13−λy)AD=0，
又AP,AB,AD不共面，则23−y−x3+λy=013−2x3=013−λy=0，解得：λ=25，即PG=25PD，
设h1，h2分别是点F到平面PAE和点C到平面PAB的距离，则h1h2=PFPC，
所以VP−AEFVP−ABC=VF−PAEVC−PAB=S△PAE⋅h1S△PAB⋅h2=S△PAES△PAB⋅PFPC=PA⋅PEPA⋅PB⋅PFPC=PEPB⋅PFPC=29，
VP−ABC=12VP−ABCD,VP−AEFVP−ABCD=19，
同理，VP−AGFVP−ADC=VF−PAGVC−PAD=PA⋅PGPA⋅PD⋅PFPC=PGPD⋅PFPC=215,VP−ADC=12VP−ABCD′VP−AGFVP−ABCD=115，
VP−AEFGVP−ABCD=VP−AGF+VP−AEFVP−ABCD=19+115=845，
则四棱锥P−AEFG与四棱锥P−ABCD的体积比为845.
故选：B.
利用A、E、F、G四点共面，PG=25PD，由锥体体积公式，求出VP−AEFVP−ABCD和VP−AGFVP−ABCD的值，即可得VP−AEFGVP−ABCD的值．
本题考查了四棱锥的体积计算，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为共有1001件产品，所以所编的号码的位数最少是4位，故A正确；
对于B，一组数据k1，k2，⋯，k8，这8个数据的平均数为2，方差为3，
则18(k1+k2+k3+⋯+k8)=2，18[(k1−2)2+(k2−2)2+⋯⋯+(k8−2)2]=3，
对于数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3，
其平均数x−=18(2k1+3+2k2+3+2k3+3⋯+2k8+3)=2×2+3=7，
方差s2=18[(2k1+3−7)2+(2k2+3−7)2+⋯⋯+(2k8+3−7)2]=3×4=12，故B不正确；
对于C，设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积之和为y，
则有x=19yx+y=1，解得：x=0.1，所以中间一组的频数=160×0.1=16，故C正确；
对于D，一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，
所以它的众数3，6，8，中位数为4+62=5，故D正确．
故选：ACD.
由随机数表法的性质可判断A；根据平均数、方差的计算公式分析新数据的方差、平均数即可得判断B；由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数即可判断C；分别求出这组数据的众数、中位数，由此判断D.
本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：如图，由题设可知：
选项A，DF=12(DE+DC)=12(AE−AD)+12DC
=14AB−12AD+12AB=34AB−12AD，故A错误；
选项D，如图，延长DM，与AB交于点N.
因为点F为CE的中点，EN//CD，所以△DCF≌△NEF，
所以DC=EN，DF=FN，则BN=12CD，
又易得△CDM∽△BNM，所以BM=12MC，则BM=13BC.
又EF=12EC=12(EB+BC)=14AB+12AD，
所以AF⋅AM=(AE+EF)⋅(AB+BM)
=(12AB+14AB+12AD)⋅(AB+13AD)=(34AB+12AD)⋅(AB+13AD)
=34AB2+34AB⋅AD+16AD2
=34×22+34×2×1×cs60∘+16×12=4712，D正确；
选项B，因为点E为AB的中点，由BM=13BC，可得32BM=12BC，
设BC中点为G，∴EB+32BM=EB+12BC=EG，
又E为AB中点，∴EG//AC，显然，AC//EG，故B正确；
如图，连接BD，则2DF−12AB=DN+NB=DB，
由AB=2BC=2，∠DAB=60∘，易知BD⊥AD，
则BD⊥BC，所以(2DF−12AB)⊥MC，故C正确．
故选：BCD.
选项A根据向量的线性运算即可推断，选项B，C，D的判断需借助图形，延长DM，与AB交于点N这个关键步骤，利用相似三角形知识，推出M为BC的一个三等分点，在此基础上，可对后面几个选项进行判定．
本题考查平面向量基本定理，数量积的运算、向量平行于垂直的判定，属中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，如下图，连接A1B，易得AD⊥A1B，AB1⊥A1B，
又AD∩AB1=A，∴A1B⊥平面AB1D，又CD1//A1B，
∴CD1⊥平面AB1D，故A正确；
对于B，如下图，取B1C1、CC1、AC的中点N、M、O，连接ON，OM，MN，
则OM//AC1，MN//B1C，又B1C//A1D，∴MN//A1D，
则∠NMO或其补角为A1D与AC1所成的角．
又正方体棱长为2，易求得MN= 2,OM= 3,ON= 5，
ON2=MN2+OM2，则，∠NMO=π2，故B错误；
对于C，如下图，增补两个正方体，取II1，HH1的中点Z、Y，连接ZY，则G为ZY的中点，
连接FY交BB1于M，连接EZ交DD1于N，连接NG，MG，则得到截面为五边EFMGN.
对于D，如下图，连接BD、ED，取B1C1得中点T，连接CT，过B作BH⊥CT，
∵CT//DE，CT⊄平面BEF，∴CT//平面BEF，
则点P在线段CT上，BP最小值即为BH.
又△CC1P∼△BCH，∴BHHC=CC1C1P=2，
又BC=2，∴BH=4 55.故D错误．
故选：AC.
对于A，利用CD1//A1B，再证A1B⊥平面AB1D即可；
对于B，首先要利用平行线做出异面所成得角，再进行求解即可；
对于C，通过增补两个正方体，根据面面平行的性质，可以做出截面图；
对于D，首先利用CT//平面BEF，确定P点位置再线段CT上，再做出垂线CH，根据相似三角形定理即可求得．
本题考查线面垂直的判定定理，异面直线所成角问题，正方体的截面问题，属中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：对于A，AD=AB+BD，AE=AC+CE=AC−EC，
因为D，E为线段BC上的两点，且BD=EC，所以AE=AC−BD，且|BD|≤|BC|，
则AD⋅AE=(AB+BD)⋅(AC−BD)=AB⋅AC+BD⋅(AC−AB)−BD2
=AB⋅AC+BD⋅BC−BD2=AB⋅AC+|BD|⋅|BC|−|BD|2≥AB⋅AC，故A错误；
对于B，当点D，C重合，点E，B重合时，满足BD=EC=BC，
此时AD=AC，AE=AB，则等式AB2+AD2=AE2+AC2，
即为AB2+AC2=AB2+AC2，此为恒等式，不一定有|AB|=|AC|，故B错误；
对于C，当|BD|=|DE|=12|AD|时，点D，E分别是线段BC的三等分点，
设|BD|=|DE|=t，则AD=DC=2t，BC=3t，
设∠ACB=θ(0<θ<π2)，则∠ADC=π−2θ，∠ABC=2π3−θ，
在△ADC中，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，
即2tsinθ=ACsin(π−2θ)，
所以AC=2tsin(π−2θ)sinθ=2tsin2θsinθ=4tcsθ，
在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，
即4tcsθsin(2π3−θ)=3tsinπ3，化简得tanθ= 33，
因为0<θ<π2，所以θ=π6，即∠ACB=π6，故C正确；
对于D，由|BD|=|DE|=1，BD=EC，可得点D，E分别是线段BC的三等分点，
则BD=DE=EC=1，设AB=c，AC=b，
依题意有∠ADB=π−(B+π6)，∠AEC=π−(C+π6)，
∠ADE=π−∠ADB，∠AED=π−∠AEC，
所以sin∠ADE=sin∠ADB=sin(B+π6)，sin∠AED=sin∠AEC=sin(C+π6)，
在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD=ADsinB，
即csin(B+π6)=1sinπ6=2=ADsinB，所以c=2sin(B+π6)，AD=2sinB，
同理在△ACE中，由正弦定理可得b=2sin(C+π6)，AE=2sinC，
在△ABE中，由正弦定理得ABsin∠AEB=AEsinB，
即2sin(B+π6)sin(C+π6)=2sinCsinB，
整理得sinBsin(B+π6)=sinCsin(C+π6)，
即sin(2B−π3)=sin(2C−π3)，因为B，C∈(0,π)，
所以2B−π3=2C−π3或2B−π3+2C−π3=π，即B=C或B+C=5π6，
当B+C=5π6时，∠BAC=π6，不合题意舍去，
故可得B=C，此时b=c=2sin(B+π6)，AD=AE=2sinB，∠DAE=2π3−2B，
sin∠DAE=sin(2π3−2B)=sin(2B+π3)，
在△ADE中，由正弦定理得DEsin∠DAE=ADsin∠AED，
即1sin(2B+π3)=2sinBsin(B+π6)，而sin(2B+π3)=2sin(B+π6)cs(B+π6)，
所以可得4sinBcs(B+π6)=1，整理可得sin(2B+π6)=1，
因为B∈(0,π2)，所以2B+π6=π2，解得B=π6，
则此时b=c=2sin(B+π6)= 3，∠BAC=π−2B=2π3，
所以△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=12× 3× 3× 32=3 34，故D正确．
故选：CD.
由AD⋅AE=AB⋅AC+|BD|⋅|BC|−|BD|2即可判断A；
取特殊情况可判断B；
分别在△ADC和△ABC中用正弦定理可判断C；
D选项先证明得B=C，再在△ADE中用正弦定理建立方程可得角B，进而可求△ABC的面积．
本题考查平面向量的应用与解三角形的综合，属于难题．
13.【答案】30
【解析】解：将样本数据由小到大排列依次为：24，25，26，26，27，28，28，30，30，31，
因为10×34=7.5，所以这组数据的上四分位数为第8个数30.
故答案为：30.
将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数．
本题主要考查百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】3π4
【解析】解：依题意，A(−2,1)，B(1,−3)，O(0,0)，
则AO= (−2)2+12= 5，BO= 12+(−3)2= 10，AB= (−2−1)2+(1+3)2=5，
在△AOB中，由余弦定理得cs∠AOB=AO2+BO2−AB22AO⋅BO=5+10−252 5⋅ 10=− 22，
又∠AOB∈(π2,π)，所以∠AOB=3π4.
故答案为：3π4.
先得到A、B的坐标，则可求出AO，BO，AB，再由余弦定理可得cs∠AOB，进而可求∠AOB.
本题考查复数的几何意义，考查余弦定理的运用，正确理解复数的几何意义是关键．
15.【答案】3
【解析】解：设“方亭”地基的高为h米，
根据题意可得12(40+80)×10×10980×0.01=30×13(242+24×30+302)×h，
解得h=3，则“方亭”地基的高为3米．
故答案为：3.
设“方亭”地基的高为h米，计算出河道的体积再乘以0.01就对于30“方亭”的体积可得答案．
本题主要考查棱台体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】−12 3π4
【解析】解：第一个空：由AB⋅AC=−2BA⋅BC得|AB|⋅|AC|⋅csA=−2|BA|⋅|BC|⋅csB，
即c⋅b⋅csA=−2c⋅a⋅csB，即b⋅csA=−2a⋅csB，
所以csA，csB异号且都不为0，
由正弦定理得sinB⋅csA=−2sinA⋅csB，
因为csA，csB都不为0，
所以sinBcsB=−2⋅sinAcsA，
即tanB=−2tanA，
所以tanAtanB=−12.
第二个空：由sinB⋅csA=−2sinA⋅csB得：sinB⋅csA+sinA⋅csB=−2sinA⋅csB+sinA⋅csB，
即sin(A+B)=−sinA⋅csB，即sinC=−sinA⋅csB，
由正弦定理得c=−acsB，
所以△ABC的面积为：
12acsinB=12a⋅(−acsB)sinB=−12a2⋅sinBcsB=−14a2⋅sin(2B)=a24，
所以sin(2B)=−1，
因为B∈(0,π)，
所以2B∈(0,2π)，
所以解得2B=3π2，即B=3π4.
故答案为：−12；3π4.
第一个空由AB⋅AC=−2BA⋅BC化简得到b⋅csA=−2a⋅csB，再由正弦定理得sinB⋅csA=−2sinA⋅csB，即可求出tanAtanB；
第二个空由sinB⋅csA=−2sinA⋅csB化简得sinC=−sinA⋅csB，再由正弦定理得c=−acsB，代入三角形的面积公式化简即可求出sin(2B)，从而求出B.
本题主要考查平面向量的数量积和解三角形，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为z1⋅z2=(2+ai)(1−i)=(2+a)+(a−2)i，
若z1⋅z2为纯虚数，则2+a=0a−2≠0，解得a=−2.
(2)因为z1+2z2=2+ai+2−2i=4+(a−2)i，
若z1+2z2为实数，则a−2=0，
解得a=2，即z1=2+2i，
解法一：因为z1z2=2+2i1−i=2(1+i)2(1−i)(1+i)=2i，则|z1z2|=2；
解法二：可得|z1z2|=|z1||z2|=2 2 2=2.
【解析】(1)根据复数的乘法运算结合纯虚数的概念运算求解；
(2)根据复数的运算结合复数的概念解得a=2，解法一：先求z1z2，再求模长；解法二：利用|z1z2|=|z1||z2|，直接运算求解．
本题考查复数的运算及复数的概念，考查学生的计算能力，正确运用复数的运算、理解复数的概念是关键．
18.【答案】证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD.
又在正方形ABCD中，BD⊥AC，
PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
(2)∵BC//平面α，BC⊂平面PBC，平面α∩平面PBC=EF，
∴BC//EF.
同理有BC//GH，
∴EF//GH.
【解析】(1)由线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC；
(2)由线面平行的性质定理可得BC//EF，BC//GH，再由线线平行的传递性可得EF//GH.
本题考查线面垂直的判定定理，线面平行的性质定理，线线平行的传递性，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为π2<α<π，则csα=− 1−sin2α=−1213，
所以cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4=−1213× 22+513× 22=−7 226；
(2)由(1)可得：sin(α−π4)=sinαcsπ4−csαsinπ4=513× 22−(−1213)× 22=17 226，
因为0<β<π2<α<π，则α+β∈(π2,3π2)，
可得cs(α+β)=− 1−sin2(α+β)=−35，
所以cs(β+π4)=cs[(α+β)−(α−π4)]=cs(α+β)⋅cs(α−π4)+sin(α+β)⋅sin(α−π4)
=−35×(−7 226)+45×17 226=89 2130.
【解析】(1)由已知函数值以及角的范围可得csα=−1213，结合两角差的余弦公式即可求值；
(2)根据β+π4=(α+β)−(α−π4)，结合两角差的正余弦公式即可求值．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据频率直方图可得：每组的频率依次为0.2，0.2，0.3，0.2，0.1，
估计平均数x−为：x−=5×0.2+15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.1=23，
因为0.2+0.2=0.4<0.5，0.2+0.2+0.3=0.7>0.5，
可知中位数位于[20,30)内，设为m，
则0.4+0.03(m−20)=0.5，解得m=703，
所以可估计中位数为703；
(2)由(1)可知：未存活龙虾苗重量在(30,40]的养殖户有20×0.2=4个，记为A，B，C，D，
未存活龙虾苗重量在(40,50]的养殖户有20×0.1=2个，记为a，b，
从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况，
其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在(40,50]的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种情况，
所以恰有一户未存活龙虾苗重量在(40,50]的概率P=815.
【解析】(1)根据题意结合平均数、中位数的概念运算求解；
(2)先求每组的人数，再结合古典概型运算求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)取AD中点为O，连接BO，CO，PO.由侧面PAD为正三角形知PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，
∴PO⊥BC.
在底面ABCD中，OD=12AD=1，CD=3，
∴OC= 10，同理有OB= 5，
BC= (3−2)2+22= 5，由勾股定理知OB2+BC2=OC2，即BC⊥OB，
又∵PO⊥BC，PO⊂平面POB，OB⊂平面POB，PO∩OB=O，
∴BC⊥平面POB，
∵PB⊂平面POB，
∴BC⊥PB.
(2)在Rt△POB中，PO= 3，OB= 5，
∴PB= PO2+OB2=2 2，BC= 5，
S△PBC=12⋅PB⋅BC=12⋅ 5⋅2 2= 10，
S△BCD=12⋅CD⋅AD=12⋅2⋅3=3，
VP−BCD=13⋅PO⋅S△BCD=13⋅ 3⋅3= 3，
设D到平面PBC距离为d，
VP−BCD=VD−PBC=13⋅d⋅S△PBC，
∴d=3 3010.
设CD与平面PBC所成角为α，
则sinα=dCD= 3010.
【解析】(1)取AD中点为O，通过证明BC⊥平面POB，从而可证得PB⊥BC；
(2)用等体积法求出点D到平面PBC距离，进而可得CD与平面PBC所成角的正弦值．
本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为5csinC−5asinA=sinB(6c−5b)，
由正弦定理可得5c2−5a2=6bc−5b2，即b2+c2−a2=65bc，
由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccsA=65bc，
所以csA=35；
(2)因为csA=35，所以sinA= 1−cs2A=45，
在锐角△ABC中，有0π2−A，
∴tanC>tan(π2−A)=sin(π2−A)cs(π2−A)=csAsinA=34，
∵bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcsC+csAsinCsinC=sinAtanC+csA=45tanC+35<53，
∵tanC>0，∴bc>35，∴0∵a2+b22S=2b2+c2−2bccsAbcsinA=54⋅2b2+c2bc−32=54(2bc+cb)−32，
设bc=x，则x∈(35,53)，则2b2+c2bc=2bc+cb=2x+1x，
令f(x)=2x+1x，x∈(35,53)，
f(x)在(35, 22)上单调递减，在( 22,53)上单调递增．
∴f(x)min=f( 22)=2 2，f(x)max=max{f(35),f(53)}，
又f(35)=4315，f(53)=5915，∴f(x)∈[2 2,5915),
即2bc+cb∈[2 2,5915),所以54(2bc+cb)−32∈[5 2−32,4112),
故a2+b22S∈[5 2−32,4112).
【解析】(1)利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；
(2)首先求出sinA，根据三角形为锐角三角形求出tanC的取值范围，从而求出bc的取值范围，由余弦定理及面积公式得到a2+b22S=54(2bc+cb)−32，设bc=x，结合对勾函数的性质求出a2+b22S的取值范围．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理以及函数的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．