2022-2023学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2022-2023学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果aA. a2>abB. a22.欧拉公式eiθ=csθ+isinθ(其中e是自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当θ=π时，恒等式eiπ+1=0更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断e−i2023π3表示的复数在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=13AE.若AB=mDF+nAE，则m+n=( )
A. 12B. 34C. 56D. 43
4.在△ABC中，AB⋅AC=9,sinB=csAsinC,S△ABC=6，P为线段AB上的动点，且CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|，则1x+1y最小值为( )
A. 76+ 33B. 712+ 33C. 76D. 712
二、填空题：本题共12小题，共53分。
5.在复数范围内，−4的所有平方根为______ .
6.若幂函数f(x)=(m2−5m+1)xm+1为奇函数，则该函数的表达式f(x)=______ .
7.无论a为何值，函数y=ax−3+1(a>0,a≠1)的图像恒经过一个定点，该定点坐标为______ .
8.若lg32=m，则lg296=______ (用含m的式子表示).
9.若向量a、b满足⟨a,b⟩=60∘，|a|=|b|=3，则|a−2b|=______ .
10.已知集合A={x|1+x1−x>0}，集合B={x||x−a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______ .
11.在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则tanθ=______ .
12.已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2−2k+3=0有两个虚根x1、x2，且x12+x22=10，则实数k的值为______
13.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(5π4)=______ .
14.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB=5km，AD=7km，∠ABD=60∘，∠CBD=23∘，∠BCD=117∘，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为______ km(精确到0.1km).
15.已知A(0,2)，点P(sin(2t−π3),cs(2t−π3))是平面上一个动点，则当t由0连续变到π3时，线段AP扫过的面积是______ .
16.已知函数f(x)= 3|sinx|−|csx|，有以下命题：
①函数y=f(x)的最小正周期为π；
②函数y=f(x)在[−π2,π2]上为增函数；
③直线x=π2是函数y=f(x)图像的一条对称轴；
④函数y=f(x)−1在[0,π]上有三个零点；
⑤函数y=f(x)的最小值为−1.
请写出正确命题的全部序号______ .
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,1).
(1)求⟨a,b⟩；
(2)若向量c=(1,λ)，则当λ为何实数时，c//(2a+b)？平行时它们是同向还是反向？
18.(本小题12分)
流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y(单位：mm2)与经过时间x(单位：min)的关系现有三个函数模型：①y=kax(k>0,a>1)，②y=lgbx(b>1)，③y=p x+q(p>0)可供选择.(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？(结果保留到整数)
19.(本小题12分)
已知复平面上有点A、B，向量OA与向量AB对应的复数分别为1+2i和4−i.
(1)求点B的坐标；
(2)设点A对应的复数为z1，复数z2满足|z2|=2 5，Imz2>0，且z1z2为纯虚数，求复数z2.
20.(本小题12分)
已知向量m=(sinx,3csx)，n=(sinx+2 3csx,csx)，令函数f(x)=m⋅n.
(1)求函数y=f(x)的表达式及其单调增区间；
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到函数y=g(x)的图像，且满足g(−x)=g(x)，当t最小时，存在实数x1、x2使得f(x1)−g(x2)=4，求|x1−x2|的最小值.
21.(本小题12分)
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：sinh(x)=ex−e−x2，双曲余弦函数：csh(x)=ex+e−x2.(e是自然对数的底数，e=2.71828⋯).
(1)计算csh(2)−2csh2(1)的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：csh(x+y)=_____，并加以证明；
(3)若对任意t∈[0,ln2]，关于x的方程sinh(t)+csh(x)=a有解，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：对于A，∵aab，故A正确；
对于B，∵a∴a2−b2=(a+b)(a−b)>0，即a2>b2，故B错误；
对于C，∵a1，故C错误；
对于D，∵a0，b−a>0，
∴1a−1b=b−aab>0，即1a>1b，故D错误．
故选：A.
利用不等式的性质可判断AC，利用作差法可判断BD.
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：欧拉公式eiθ=csθ+isinθ，
e−i2023π3=1cs20233π+isin20233π=cs20233π−isin20233π=cs(674π+π3)−isin(674π+π3)
=csπ3−isinπ3=12− 32i.复数对应的点为(12,− 32)在第四象限．
故选：D.
利用复数的指数运算法则，化简求解即可．
本题考查复数的指数的运算法则的应用，复数对应点的坐标的判断，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可得AB=AE+EB=AE+12DA=AE+12(DF+FA)=AE+12(DF−13AE)=12DF+56AE，
所以m=12，n=56，
所以m+n=43，
故选：D.
利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出m，n即可．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，
∵sinB=csAsinC，即sin(A+C)=csAsinC，
即sinAcsC+csAsinC=csAsinC，∴sinAcsC=0，
∵00，∴csC=0，∵0∵AB⋅AC=9，即cbcsA=9，又S△ABC=12bcsinA=6，∴tanA=bcsinAbccsA=43=ab，
∵S△ABC=12ab=6，则ab=12，所以，ab=43ab=12，
解得a=4b=3，∴c= a2+b2=5.
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则C(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得AP=λAB=λ(−3,4)=(−3λ,4λ)(0≤λ≤1)，
∴CP=CA+λAB=(3−3λ,4λ)，
设e1=CA|CA|，e1=CB|CB|，则|e1|=|e2|=1，
∴e1=(1,0)，e2=(0,1)，
∵CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|=xe1+ye2=(x,y)，
∴x=3−3λy=4λ，消去λ得4x+3y=12，∴x3+y4=1，
所以，1x+1y=(1x+1y)(x3+y4)=x3y+y4x+712≥2 x3y⋅y4x+712=712+ 33，
当且仅当x= 32y时，等号成立，
因此，1x+1y的最小值为712+ 33.
故选：B.
在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求csC=0，可得C=π2，再由已知条件求得a=4，b=3，c=5，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12，然后利用基本不等式可求得1x+1y的最小值．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题．
5.【答案】±2i
【解析】解：−4=4i2，
则−4的所有平方根为±2i.
故答案为：±2i.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
6.【答案】x
【解析】解：由幂函数的定义可得，m2−5m+1=1，
解得m=0或5，
当m=0时，f(x)=x，为奇函数，符合题意，
当m=5时，f(x)=x6为偶函数，不符合题意，
所以f(x)=x.
故答案为：x.
由幂函数的定义可得m2−5m+1=1，求出m的值，再利用f(x)为奇函数进行排除即可．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
7.【答案】(3,2)
【解析】解：函数y=ax−3+1(a>0,a≠1)，
令x−3=0，得x=3，此时y=a0+1=2，
∴函数y=ax−3+1(a>0,a≠1)的图像恒经过定点(3,2).
故答案为：(3,2).
令x−3=0，结合a0=1即可求出结果．
本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】5+1m
【解析】解：由lg32=a，则lg296=lg2(32×3)=lg232+lg23=5+lg32=5+1m.
故答案为：5+1m.
直接根据对数的运算性质求解即可．
本题考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】3 3
【解析】解：已知向量a、b满足⟨a,b⟩=60∘，|a|=|b|=3，
则a⋅b=|a||b|cs=3×3×12=92，
则|a−2b|= a2−4a⋅b+4b2= 9−4×92+4×9=3 3.
故答案为：3 3.
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
10.【答案】[−1,1]
【解析】解：由1+x1−x>0可得(x+1)(x−1)<0，解得−1由|x−a|<2可得−2若A⊆B，则有a−2≤−1a+2≥1，即−1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[−1,1].
故答案为：[−1,1].
用分式不等式的解法解出集合A，绝对值不等式的解法解出集合B，再根据集合的包含关系的定义，找到端点关系，从而解出参数a.
本题考查了分式不等式，绝对值不等式的解法以及集合的包含关系的应用，属简单题．
11.【答案】23
【解析】解：由已知有tan(θ+π4)=tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=51，
即tanθ+11−tanθ=5，解得tanθ=23.
故答案为：23.
根据三角函数定义可得tan(θ+π4)=5，由此可得tanθ.
本题考查三角函数定义，两角和差公式，属于基础题．
12.【答案】−4
【解析】解：因为于x的一元二次方程x2+2kx+k2−2k+3=0有两个虚根x1、x2，
所以Δ=(2k)2−4(k2−2k+3)=4(2k−3)<0，解得k<32，
由韦达定理可得x1+x2=−2k，x1x2=k2−2k+3，
所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4k2−2(k2−2k+3)=2(k2+2k−3)=10，
所以k2+2k−3=5，k2+2k−8=0，解得k=−4或k=2，
又因为k<32，所以k=−4.
故答案为：−4.
根据Δ<0可得k<32，再结合韦达定理求解即可．
本题考查了一元二次方程的求解、韦达定理，属于中档题．
13.【答案】 32
【解析】解：由已知，T=(π3−π12)×4=π
又T=2πω，∴ω=2，则f(x)=sin(2x+φ)，
图象过点(π3,1)，对应五点法中的第二点，
则有2×π3+φ=π2，∴φ=−π6，
则f(x)=sin(2x−π6)，∴f(5π4)=sin(5π2−π6)=sin(π2−π6)=csπ6= 32.
故答案为： 32.
根据图象上的点确定解析式，再求函数值即可．
本题考查三角函数的图象，属于基础题．
14.【答案】5.8
【解析】解：由题意得在△ABD中，AB=5km，AD=7km，∠ABD=60∘，
由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cs60∘，
即49=25+BD2−2×5×BD×12，
解得BD=8或BD=−3(不合题意，舍去)，
在△BCD中，∠CBD=23∘，∠BCD=117∘，
∴∠CDB=40∘，
利用正弦定理BDsin117∘=BCsin40∘，即BC=BD⋅sin40∘sin117∘≈5.8.
故答案为：5.8.
首先利用余弦定理的应用求出BD的长，进一步利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角函数的值，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
15.【答案】 3−π3
【解析】解：由sin2(2t−π3)+cs2(2t−π3)=1可知，
点P在圆心在原点，半径为1的单位圆上．
如图，当t=0时，P(− 32,12)，此时，∠POA=60∘，
又OP=1，OA=2，∴PA⊥OP.
t=π3时，点P运动到Q( 32,12)，同理可得AQ⊥OQ，
故当点P运动到点Q时，线段AP扫过的面积S=SAPOQ−S扇形POQ，
又SAPOQ=2×12×1× 3= 3，
由∠POQ=120∘可得S扇形POQ=13×π×12=π3，
故线段AP扫过的面积为 3−π3.
故答案为： 3−π3.
首先找出点P的轨迹，然后利用图形找到线段AP扫过的图形，解答时注意切线位置是关键．
本题在几何背景下考查了三角函数的定义，求值，扇形面积等知识，属简单题．
16.【答案】①③⑤
【解析】解：当x∈[2kπ,2kπ+π2),k∈Z时，f(x)= 3|sinx|−|csx|= 3sinx−csx=2sin(x−π6)；
当x∈[2kπ+π2,2kπ+π),k∈Z时，f(x)= 3|sinx|−|csx|= 3sinx+csx=2sin(x+π6)；
当x∈[2kπ+π,2kπ+32π),k∈Z时，f(x)= 3|sinx|−|csx|=− 3sinx+csx=−2sin(x−π6)；
当x∈[2kπ+32π,2kπ+2π),k∈Z时，f(x)= 3|sinx|−|csx|=− 3sinx−csx=−2sin(x+π6)；
所以f(x)=2sin(x−π6),x∈[2kπ,2kπ+π2)2sin(x+π6),x∈[2kπ+π2,2kπ+π)−2sin(x−π6),x∈[2kπ+π,2kπ+3π2)−2sin(x+π6),x∈[2kπ+3π2,2kπ+2π),k∈Z,
作出f(x)的图象，如图所示：
由此可得y=f(x)的最小正周期为π，故①正确；
y=f(x)在[−π2,π2]上不为增函数，故②错误；
直线x=π2是函数y=f(x)图像的一条对称轴，故③正确；
y=f(x)与y=1在[0,π]上有2个交点，即函数y=f(x)−1在[0,π]上有2个零点，故④错误；
函数y=f(x)的最小值为−1，故⑤正确．
所以说法正确的有：①③⑤．
故答案为：①③⑤．
讨论x的范围，去绝对值可得f(x)的解析式，作出f(x)的图象，结合图象逐一判断即可．
本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)a=(1,2)，b=(3,1)，
则a⋅b=3+2=5，|a|= 5,|b|= 10，
故cs=a⋅b|a||b|=5 5× 10= 22，
∵⟨a,b⟩∈[0,π]，
∴⟨a,b⟩=π4；
(2)2a+b=(2,4)+(3,1)=(5,5)，
c=(1,λ)，c//(2a+b)，
则5λ=5，解得λ=1，
它们为同向共线．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量的夹角公式，以及向量共线的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快，
y=lgbx(b>1)和y=p x+q(p>0)的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型y=kax(k>0,a>1).
由题意得ka2=48ka3=64，解得a=43k=27，
所以该函数模型为y=27×(43)x(x≥0)；
(2)由题意得27×(43)x>300，即(43)x>1009，
所以x>lg431009，
又lg431009=1g10091g43=2−21g321g2−lg3≈2−2×0.4772×0.301−0.477≈8.368，
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2.
【解析】(1)根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择y=kax，并求出解析式；
(2)根据题意，27×(43)x>300，求出x的取值范围，进而得出结果．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)OA=(1,2)，AB=(4,−1)，
OB=AB−AO=(4,−1)+(1,2)=(5,1)，
故点B的坐标为(5,1)；
(2)z1=1+2i，z2=a+bi(b>0)，
则z1z2=(1+2i)(a+bi)=a−2b+(a+2b)i为纯虚数，即a−2b=0a+2b≠0，即a=2b，
∵|z2|=2 5，
∴a2+b2=20，即b=2，a=4，
故z2=4+2i.
【解析】(1)根据已知条件，结合向量的坐标运算，即可求解；
(2)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=sinx(sinx+2 3csx)+3cs2x=sin2x+2 3sinxcsx+3cs2x=1−cs2x2+ 3sin2x+3(1+cs2x)2= 3sin2x+cs2x+2=2+2sin(2x+π6)，
由由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−2π3≤2x≤2kπ+π3，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到函数y=g(x)的图像，
g(x)=2+2sin[2(x−t)+π6]=2+2sin(2x−2t+π6)，
∵满足g(−x)=g(x)，∴g(x)是偶函数，则−2t+π6=kπ+π2，k∈Z，
即t=−kπ2−π6，
∵t>0，∴当k=−1时，t最小，此时t=π2−π6=π3，此时g(x)=2+2sin(2x−π2)=2−2sin(π2−2x)=2−2cs2x，
由f(x1)−g(x2)=4得2+2sin(2x1+π6)−2+2cs2x2=4，
即sin(2x1+π6)+cs2x2=2有解，
则只有sin(2x1+π6)=1，cs2x2=1时方程有解，
即2x1+π6=2k1π+π2，k1∈Z，2x2=2k2π，k2∈Z，
得2x1=2k1π+π3，k1∈Z，2x2=2k2π，k2∈Z，
两式作差得2(x1−x2)=2(k1−k2)π+π3，
即x1−x2=(k1−k2)π+π6，k1−k2∈Z，
则|x1−x2|=|(k1−k2)π+π6|，k1−k2∈Z，
则当k1−k2=0时，|x1−x2|最小，最小值为π6.
【解析】(1)利用向量数量积的坐标关系，利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．
(2)根据图象变换以及g(x)是偶函数，求出g(x)的解析式，然后根据等式关系进行去求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的图象变换求出函数的解析式，利用函数的有界性进行求解是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，csh(x)=ex+e−x2.
则csh(2)−2csh2(1)=e2+e−22−2(e+e−12)2=e2+e−22−e2+e−2+22=−1.
(2)证明：csh(x)csh(y)+sinh(x)sinh(y)
=(ex+e−x)(ey+e−y)+(ex−e−x)(ey−e−y)4
=ex+y+ex−y+ey−x+e−x−y+ex+y−ex−y−ey−x+e−x−y4
=ex+y+e−x−y2
=csh(x+y).
所以csh(x+y)=csh(x)csh(y)+sinh(x)sinh(y)；
(3)∵t∈[0,ln2]，∴1≤et≤2，
则a=sinh(t)+csh(x)=et−e−t2+ex+e−x2，
所以a−et−e−t2=ex+e−x2≥ ex⋅e−x=1，
当且仅当x=0时，等号成立，
则a≥et−e−t2+1恒成立，
因为函数y=et，y=−e−t均是[0,ln2]上的增函数，
故函数g(t)=et−e−t2+1在[0,ln2]上为增函数，
所以，a≥g(t)max=g(ln2)=74.
故实数a的取值范围为[74,+∞).
【解析】(1)根据双曲函数的定义代值，计算即可；
(2)根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解；
(3)根据题意得1≤et≤2，则a−et−e−t2=ex+ex2，利用基本不等式计算可得a≥et−e−t2+1，结合指数函数的单调性即可求解．
本题考查函数恒成立问题，是新定义题型，属于中档题．

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