2022-2023学年上海市浦东新区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年上海市浦东新区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的( )
A. 充分不必要条件．B. 必要不充分条件．
C. 充要条件．D. 既不充分也不必要条件．
2.下列命题中正确的是( )
A. 终边重合的两个角相等B. 锐角是第一象限的角
C. 第二象限的角是钝角D. 小于90∘的角都是锐角
3.下列说法正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B. 若|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b
C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D. 若a//b，则a与b方向相同或相反
4.已知i为虚数单位，下列说法中错误的是( )
A. 复数z1对应的向量为OZ1，复数z2对应的向量为OZ2，若|z1+z2|=|z1−z2|，则OZ1⊥OZ2
B. 互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z−|2=|z|2=z⋅z−
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D. 若复数z满足|z−i|= 5，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心， 5为半径的圆上
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.角2023∘是第象限角______.
6.平面上两点A(2,1)、B(−3,2)，则|AB|=______ .
7.已知复数z=1i，i是虚数单位，则z的虚部为______.
8.已知sinα=45，且α∈(π2,π)，则tan2α的值是______ .
9.若1−i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，则p⋅q=______ .
10.已知向量a=(1,2),b=(2,−2)，则=______ .
11.化简sin(2π−x)tan(π+x)ct(−π−x)cs(π−x)tan(3π−x)=______ .
12.设向量a、b满足|a|=2,|b|=3，⟨a,b⟩=π3，则|3a−2b|=______ .
13.若θ为锐角，则lgsinθ(1+ct2θ)=______ .
14.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 5−12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为______.
15.已知a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λb夹角为锐角，则λ的取值范围为______ .
16.在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(1,2)两点绕定点P顺时针方向旋转θ角后，分别到A′(4,4)，B′(5,2)两点，则csθ的值为______ .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知sinθ=45，csϕ=−513，且θ∈(π2,π)，ϕ∈(π2,π)，求sin(θ−ϕ)的值.
18.(本小题10分)
已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3.
(1)求|a+b|；
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)？
19.(本小题10分)
某实验室一天的温度(单位： ℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10− 3csπ12t−sinπ12t，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
20.(本小题10分)
已知△ABC的周长为4( 2+1)，且sinB+sinC= 2sinA.
(1)求边长a的值；
(2)若S△ABC=3sinA，求角A的大小(结果用反三角函数值表示).
21.(本小题12分)
已知a=(2csx,csx− 3sinx),b=(sin(x+π3),sinx)，且函数f(x)=a⋅b.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期；
(2)求函数y=f(x)的单调减区间；
(3)若函数y=f(x+φ)(其中φ∈[0,π])是R上的偶函数，求φ的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据正切函数的定义，分别判断当x=2kπ+π4(k∈Z)时，tanx=1是否成立及tanx=1时，x=2kπ+π4(k∈Z)是否成立，进而根据充要条件的定义可得答案
本题考查的知识点是正切函数的定义及充要条件的定义，属于基础题．
【解答】
解：当x=2kπ+π4(k∈Z)时，tanx=1成立，
当tanx=1时，x=2kπ+π4或x=2kπ+5π4(k∈Z)，
故x=2kπ+π4(k∈Z)是tanx=1成立的充分不必要条件，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】解：对于A，终边相同的角可表示为β=α+2kπ(k∈Z)，故A错误；
对于B，锐角的取值范围为(0,π2)，故B正确；
对于C，第二象限角的取值范围为(π2+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)，故C错误；
对于D，锐角的取值范围为(0,π2)，其π2=90∘，则0∘<90∘，但0∘不是锐角，故D错误．
故选：B.
根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案．
本题主要考查了象限角的定义以及终边相同的角，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，当|a|=|b|时，a与b的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，选项A错误；
对于B，当|a|=|b|，且a与b的方向相同时，a=b，选项B正确；
对于C，平面上所有单位向量，如果起点相同，那么其终点在同一个圆上，所以选项C错误；
对于D，当a//b时，若a=0，则a的方向是任意的，a与b的方向不是相同或相反，选项D错误．
故选：B.
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析，判断真假性即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，设复数z1+z2对应的点为P，由|z1+z2|=|z1−z2|，根据平行四边形法则可得：平行四边形OZ1Z2P为矩形，因此OZ1⊥OZ2，正确；
对于B，设z=a+bi，(a,b∈R)，则z−=a−bi，根据复数运算性质及模的定义，有|z−|2=|z|2=z⋅z−=a2+b2，正确；
对于C，直接根据复数的模的定义可知，正确；
对于D，若复数z满足|z−i|= 5，则复数z=a+bi对应的点(a,b)满足a2+(b−1)2=5，即点(a,b)在以(0,1)为圆心， 5为半径的圆上，错误；
故选：D.
选项主要是对复数的模及复数的几何意义进行辨析，直接根据相关定义进行判断即可．
本题考查复数的相关定义及复数的几何意义，属基础题．
5.【答案】三
【解析】解：因为α=2023∘=360∘×5+223∘，
而180∘<223∘<270∘，
所以α的终边在第三象限．
故答案为：三．
由α=2023∘=360∘×5+223∘，即可得到α的终边所在象限．
本题主要考查了象限角的表示，属于基础题．
6.【答案】 26
【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，求解即可．
本题考查了平面向量的坐标表示与模长公式应用问题，是基础题．
【解答】
解：因为A(2,1)、B(−3,2)，
所以AB=(−5,1)，
所以|AB|= 25+1= 26.
故答案为： 26.
7.【答案】−1
【解析】解：z=1i=−i2i=−i，
所以z的虚部为−1.
故答案为：−1.
先化简复数z，即可求得z的虚部．
本题考查复数的运算及其概念，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】247
【解析】解：∵sinα=45，且α∈(π2,π)，
∴csα=− 1−sin2α=−35，
∴tanα=−43，
∴tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−43)1−169=247.
故答案为：247.
利用同角三角函数间的基本关系可求得tanα，再利用二倍角公式可求得答案．
本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角公式的应用，属于基础题．
9.【答案】−4
【解析】解：∵1−i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，
由实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得方程另一根为1+i，
∴1+i+1−i=−p(1+i)(1−i)=q，解得p=−2，q=2.
∴p⋅q=−4.
故答案为：−4.
由已知结合实系数一元二次方程的虚根成对原理得到方程的另一根，然后由根与系数关系求得p，q的值，则答案可求．
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了根与系数的关系，是基础题．
10.【答案】π−arccs 1010
【解析】解：∵cs=a⋅b|a||b|=−2 5× 8=− 1010，
∴=arccs(− 1010)=π−arccs 1010.
直接由夹角公式即可求得，由于不是特殊角，结果用反三角函数表示．
本题考查向量的夹角公式，属基础题．
11.【答案】1
【解析】解：sin(2π−x)tan(π+x)ct(−π−x)cs(π−x)tan(3π−x)
=−sinxtanx(−ct(π+x))−csxtan(π−x)
=−sinxtanx(−ctx)csxtanx=tanx⋅ctx=1.
故答案为：1.
根据诱导公式计算即可．
本题考查诱导公式，属于基础题．
12.【答案】6
【解析】解：∵|a|=2,|b|=3,=π3，
∴a⋅b=2×3×12=3，
∴|3a−2b|= 9a2+4b2−12a⋅b= 36+36−36=6.
故答案为：6.
根据条件求出a⋅b=3，然后根据|3a−2b|= (3a−2b)2进行数量积的运算即可求出答案．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】−2
【解析】解：因为lgsinθ(1+ct2θ)=lgsinθ(1+cs2θsin2θ)=lgsinθ1sin2θ=lgsinθ(sinθ)−2=−2.
故答案为：−2.
利用同角公式化简真数为：(sinθ)−2，再用对数运算性质可得．
本题考查了同角三角函数的基本关系式以及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】(3− 5)π
【解析】解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，
则αβ= 5−12，
又α+β=2π，
解得α=(3− 5)π.
故答案为：(3− 5)π.
由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．
本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了古典文化与数学应用问题，是基础题．
15.【答案】λ>−53且λ≠0
【解析】解：由题意可得，a⋅(a+λb)>0，且a与 a+λb 不共线，
即a2+λa⋅b>0，12≠1+λ2+λ
∴5+3λ>0，且λ≠0
解得λ>−53,且λ≠0
故答案为 λ>−53,且λ≠0.
若a与a+λb的夹角为锐角，则a⋅(a+λb)>0，进而构造一个关于λ的不等式，解不等式并讨论a与a+λb同向时，λ的取值，即可得到答案．
本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据，则a⋅(a+λb)>0，进而构造一个关于λ的不等式，是解答本题的关键，但本题易忽略λ=0时，a与a+λbb同向的情况，而错解为λ>−53.
16.【答案】−35
【解析】解：由题意，画出图形，如图所示；
∵AA′的中点坐标为(2,2)，
∴它的中垂线方程：y−2=−(x−2)，
即x+y−4=0；
同理BB′的中垂线方程为x=3；
由x+y−4=0x=3，
解得x=3y=1；
∴点P(3,1)为固定点．
又kPB=2−11−3=−12，kPB′=2−15−3=12，
∴tanα=−12−121+(−12)×12=−43；
∴csα=−35.
求出AA′和BB′的中垂线方程，联立得出点P的坐标，然后求出PB与PB′的斜率，利用两条直线所成的角公式求出tanα，即可求出csα的值．
本题考查了直线方程的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，是中档题．
17.【答案】解：∵sinθ=45且θ∈(π2,π)，∴csθ=− 1−sin2θ=−35.
∵csϕ=−513且ϕ∈(π2,π)，∴sinϕ= 1−cs2ϕ=1213.
则sin(θ−ϕ)=sinθcsϕ−csθsinϕ
=45×(−513)−(−35)×1213=1665.
【解析】根据角的范围和平方关系分别求出csθ、sinφ，再由两角差的正弦公式求出sin(θ−ϕ)的值．
本题考查了平方关系和两角差的正弦公式应用，注意角的范围和三角函数值的符号，这是易错点，考查了学生的计算能力．
18.【答案】解：(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cs=32cs2π3=−16，
∴|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=16−32+64=48，
∴|a+b|=4 3.
(2)(a+2b)⊥(ka−b)，
则(a+2b)⋅(ka−b)=k|a|2+(2k−1)a⋅b−2|b|2=16k−16(2k−1)−128=0，解得k=−7.
【解析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|a+b|2，进而得到|a+b|；
(2)由向量垂直可得(a+2b)⋅(ka−b)=0，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵f(t)=10− 3csπ12t−sinπ12t=10−2sin(π12t+π3)，t∈[0,24),
∴π3≤π12t+π3<7π3，故当π12t+π3=3π2时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，
当π12t+π3=π2时，即t=2时，函数取得最小值为10−2=8，
故实验室这一天的最大温差为12−8=4℃.
(2)由题意可得，当f(t)>11时，需要降温，由(Ⅰ)可得f(t)=10−2sin(π12t+π3)，
由10−2sin(π12t+π3)>11，求得sin(π12t+π3)<−12，即 7π6<π12t+π3<11π6，
解得10【解析】(1)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10−2sin(π12t+π3)，t∈[0,24),利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．
(2)由题意可得，当f(t)>11时，需要降温，由f(t)>11，求得sin(π12t+π3)<−12，即7π6<π12t+π3<11π6，解得t的范围，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的应用，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵sinB+sinC= 2sinA，
∴由正弦定理得，b+c= 2a，(*)
∵a+b+c=4( 2+1)，
∴解得a=4；
(2)由S△ABC=12bcsinA=3sinA，得bc=6，
两边平方(*)式，求得b2+c2=20，
由余弦定理，csA=b2+c2−a22bc=20−162×6=412=13，
故A=arccs13.
【解析】(1)利用正弦定理，将角转化为边之间的关系，利用周长即可求出a的值．
(2)利用三角形的面积公式，求出b，c的关系，利用余弦定理即可求出A的大小．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理．
21.【答案】解：(1)已知a=(2csx,csx− 3sinx),b=(sin(x+π3),sinx)，且函数f(x)=a⋅b，
则f(x)=2csxsin(x+π3)+(csx− 3sinx)sinx=csx(sinx+ 3csx)+(csx− 3sinx)sinx=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
由T=2π2=π，
则函数y=f(x)的最小正周期为π；
(2)令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
则kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
即函数y=f(x)的单调减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z；
(3)由已知可得y=f(x+φ)=2sin[2(x+φ)+π3]=2sin(2x+2φ+π3)，
又函数y=f(x+φ)(其中φ∈[0,π])是R上的偶函数，
则2φ+π3=kπ+π2，k∈Z，
即φ=kπ2+π12，k∈Z，
又φ∈[0,π]，
则φ=π12或φ=7π12.
【解析】(1)由三角恒等变换，结合平面向量数量积的运算求解即可；
(2)由三角函数的单调区间的求法求解即可；
(3)结合三角函数的奇偶性求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了平面向量数量积的运算及三角函数的性质，属中档题．