2022-2023学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与2023∘终边相同的角是( )
A. −137∘B. 227∘C. −227∘D. 137∘
2.下列函数中，以π为最小正周期且在[π2,π]上是严格减函数的是( )
A. y=−tanxB. y=|sinx|C. y=cs2xD. y=−sinx
3.已知复数z1=1+3i，z2=1−i，且复数z满足z−=z1z2，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知a、b和c均为非零向量，
①若a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c，则a//c；②若a⋅c=b⋅c，则a=b；③若|(a⋅b)⋅c|=|a||b||c|，则a//b.
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.将弧度化为角度：112π弧度=______ ∘.
6.已知角α的终边经过点P(1,−3)，则角α的正弦值是______ .
7.已知csα=15，则cs(π+α)=______ .
8.在复数范围内分解因式：x2−6x+10=______ .
9.函数y=cs(x−π4)(x∈(0,π))的零点是______ .
10.已知a=(1,2)，b=(t,1)，若a与b垂直，则t=______ .
11.已知平面上A、B两点的坐标分别是A(2,3)、B(5,0)，P是直线AB上一点，且AP=13AB，则点P的坐标是______ .
12.已知sinα=35，α∈(π2,π)，csβ=513，β∈(32π,2π)，则cs(α+β)=______ .
13.已知复数(1−i)(1+mi)4+3i的模为 105，则实数m=______ .
14.已知a和b，且a=(0,2)，a⋅b=−3，则b在a方向上的投影是______ .
15.已知关于x的不等式cs2x−4csx+a≥1在[0,π2]内恒成立，则实数a的取值范围是______ .
16.已知角α的终边与单位圆交于点P，将角α的终边顺时针旋转π4得到角β，若tanβ=34，则点P的坐标是______ .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知锐角α、β满足tanα=2，tanβ=3，求α+β的值.
18.(本小题8分)
在①S△ABC=a2+c2−b24；②acsB=bsinA；③sinB+csB= 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A=π3，b= 2，______，求a和△ABC的外接圆半径R.
19.(本小题10分)
已知a=(−1,2)、b=(2,3).
(1)求⟨a,b⟩；
(2)若ka+b与a−2b平行，求实数k值.
20.(本小题14分)
在复平面上有点A(1,2)和点B，AB所对的复数是−3+i.已知小明在点B处休憩，有只小狗沿着OA所在的直线来回跑动.
(1)求△OAB的面积；
(2)问：小狗在什么位置时，离小明最近？
21.(本小题14分)
已知函数f(x)= 3sinωxcsωx+sin2ωx−12(其中常数ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)的表达式；
(2)作出函数y=f(x)，x∈[0,π]的大致图像，并指出其单调递减区间；
(3)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度得到函数y=g(x)的图像，若实数x1，x2满足f(x1)g(x2)=−1，且|x1−x2|的最小值是π6，求φ的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为2023∘=−137∘+6×360∘，
故−137∘与2023∘的终边相同．
故选：A.
由已知结合终边相同角的表示即可求解．
本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A，y=−tanx在x=π2处无定义，故A错误；
对于B，y=|sinx|的最小正周期是π，且在[π2,π]上是严格减函数，故B正确；
对于C，y=cs2x在[π2,π]上是严格增函数，故C错误；
对于D，y=−sinx的最小正周期是2π，故D错误．
故选：B.
根据正切函数的定义判断A，根据正弦，余弦函数的性质判断B，C，D即可．
本题考查了三角函数的定义和性质，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵z1z2=1+3i1−i=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i+i+3i21−i2=−2+4i2=−1+2i，
∴z−=−1+2i，∴z=−1−2i，
∴z在复平面内对应的点为(−1,−2)，在第三象限．
故选：C.
由复数的四则运算法则求出z−，从而求出z即可．
本题考查复数的四则运算及其几何意义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：①当b⊥c，a⊥b，c⊥a时，a⋅(b⋅c)=a⋅0=0，(a⋅b)⋅c=0⋅c=0，
满足a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c，故①错误；
②若a⋅c=b⋅c，则c⋅(a−b)=0，
则a=b或a≠b，向量c与a−b的夹角为90∘，故②错误；
③若|(a⋅b)⋅c|=|a||b||c|，则||a||b|cs⋅c|=|a||b||c|，
所以|a||b||cs||c|=|a||b||c|，
所以|cs||c|=|c|，
所以|cs|=1，
所以cs=0∘或180∘，
所以a//b，故③正确，
故选：B.
由向量的数量积的运算，逐个判断，即可得出答案．
本题考查向量的运算，解题中需要理清思路，属于中档题．
5.【答案】15
【解析】解：∵π=180∘，
∴112π=112×180∘=15∘.
故答案为：15.
把π=180∘代入，即可化为角度制．
本题考查角度制与弧度制的互化，关键是熟记π=180∘，是基础题．
6.【答案】−3 1010
【解析】解：∵角α的终边经过点P(1,−3)，
∴x=1，y=−3，r= 12+(−3)2= 10，
∴角α的正弦值sinα=yr=−3 10=−3 1010.
故答案为：−3 1010.
直接利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7.【答案】−15
【解析】解：因为csα=15，
则cs(π+α)=−csα=−15.
故答案为：−15.
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】(x−3+i)(x−3−i)
【解析】解：x2−6x+10=x²−6x+9+1
=(x−3)²−i²
=(x−3+i)(x−3−i).
根据复数范围内的分解因式方法即可求出．
本题考查复数的分解因式，属于基础题．
9.【答案】3π4
【解析】解：∵x∈(0,π)，
∴x−π4∈(−π4,3π4)，
当x−π4=π2时，即x=3π4时，y=cs(x−π4)=0，
即函数的零点是3π4.
故答案为：3π4.
求出角的范围，利用函数零点的定义进行求解即可．
本题主要考查三角函数零点的求解，求出角的范围，利用三角函数的性质进行求解是解决本题的关键，是基础题．
10.【答案】−2
【解析】解：a=(1,2)，b=(t,1)，a与b垂直，
则t+2=0，解得t=−2.
故答案为：−2.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
11.【答案】(3,2)
【解析】解：设点P的坐标是(x,y)，则由AP=13AB，
有(x−2,y−3)=13(3,−3)，即x−2=1y−3=−1，
解得x=3，y=2，故点P的坐标为(3,2).
故答案为：(3,2).
根据向量的坐标表示，得到等量关系，列方程组求解即可．
本题考查向量的坐标表示，属基础题．
12.【答案】1665
【解析】解：因为sinα=35，α∈(π2,π)，
所以csα=− 1−sin2α=−45，
又csβ=513，β∈(32π,2π)，
所以sinβ=− 1−cs2β=−1213，
所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=(−45)×513−35×(−1213)=1665.
故答案为：1665.
先利用同角三角函数的平方关系，求得csα和sinβ的值，再由两角和的余弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】±2
【解析】解：复数(1−i)(1+mi)4+3i的模为 105，
则|1−i||1+mi||4+3i|= 2× 1+m25= 105，解得m=±2.
故答案为：±2.
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
14.【答案】−32
【解析】解：由投影定义可知，b在a方向上的投影为：
|b|cs=|b|⋅a⋅b|a||b|=a⋅b|a|=−32=−32.
故答案为：−32.
由投影定义，直接代入已知条件求解即可．
本题考查平面向量投影的求法，属基础题．
15.【答案】[4,+∞)
【解析】解：令t=csx，
由于x∈[0,π2]，则t∈[0,1]，
依题意，t2−4t+a≥1在t∈[0,1]上恒成立，
即a≥−t2+4t+1在t∈[0,1]上恒成立，
设f(t)=−t2+4t+1，t∈[0,1]，
易知函数f(t)在[0,1]上单调递增，
则a≥f(t)max=f(1)=4.
故答案为：[4,+∞).
令t=csx，易知t∈[0,1]，则问题可转化为a≥−t2+4t+1在t∈[0,1]上恒成立，设f(t)=−t2+4t+1，t∈[0,1]，求出f(t)的最大值即可得解．
本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】( 210,7 210)或(− 210,−7 210)
【解析】解：因为tanβ=34=sinβcsβ，
又sin2β+cs2β=1，
所以sinβ=35csβ=45或sinβ=−35csβ=−45，
所以sinα=sin(β+π4)= 22(sinβ+csβ)=7 210或7 210，
csα=cs(β+π4)= 22(csβ−sinβ)= 210或− 210，
所以点P的坐标是( 210,7 210)或(− 210,−7 210).
故答案为：( 210,7 210)或(− 210,−7 210).
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，csβ的值，进而利用两角和的正弦公式、余弦公式可求sinα，csα的值，即可得解P的坐标．
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式、余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
17.【答案】解：因为tanα=2，tanβ=3，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2+31−2×3=−1，
又锐角α、β，
所以α+β∈(0,π)，
所以α+β=3π4.
【解析】利用两角和的正切公式，即可得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：若选择①：
∵csB=a2+c2−b22ac，∴a2+c2−b2=2accsB，
又S△ABC=a2+c2−b24，
∴12bcsinA=2accsB4，
∴acsB= 62，
又asinA=bsinB，∴asinB= 62，
∴csB=sinB，
∵0∴B=π4，则a= 3，
∵asinA=2R，∴R=1；
若选择②：acsB=bsinA，则sinAcsB=sinBsinA，
因为sinA≠0，所以sinB=csB，
因为B∈(0,π)，所以B=π4；
由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB= 2⋅sinπ3 22= 3，
∵asinA=2R，∴R=1；
若选择③：sinB+csB= 2，则 2sin(B+π4)= 2，
所以sin(B+π4)=1，
因为B∈(0,π)，所以B+π4∈(π4,5π4)，
所以B+π4=π2，所以B=π4；
由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB= 2⋅sinπ3 22= 3，
∵asinA=2R，∴R=1.
【解析】若选择①：由余弦定理和三角形的面积公式得到12bcsinA=2accsB4，利用正弦定理即可求解；
若选择②：由正弦定理边化角得到sinAcsB=sinBsinA，进而sinB=csB，求得B，由正弦定理得a和R；
若选择③：由sinB+csB= 2，得sin(B+π4)=1，求得B，由正弦定理得a和R.
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵cs=a⋅b|a||b|=4 5× 13=4 6565，
∴=arccs4 6565；
(2)∵ka+b=(2−k,2k+3)，a−2b=(−5,−4)，
若ka+b与a−2b平行，则有−4×(2−k)=−5×(2k+3)，解得k=−12.
【解析】(1)根据向量夹角的坐标公式直接求解；
(2)由向量平行的坐标表示列方程，求解即得．
本题考查向量的夹角公式和向量平行的坐标表示，属基础题．
20.【答案】解：(1)由题意B为(−2,3)，所以△OAB面积为(2+3)×3÷2−(2×3+1×2)÷2=72；
(2)由题意，lOA：y=2x，
设狗的位置为D，当BD垂直于OA时，lBD：y−3=−12(x+2)，
联立二式，解得x=45，y=85，
即狗在(45,85)坐标离小明最近．
【解析】(1)求出B坐标，而后根据几何关系求出△OAB面积；
(2)设狗的位置为D，当BD垂直于OA时B与D最近．
本题主要考查直线方程相关知识，属中档题．
21.【答案】解：(1)∵函数f(x)= 3sinωxcsωx+sin2ωx−12= 32sin2ωx+1−2cs2ωx2−12
=sin(2ωx−π6)(其中常数ω>0)的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1.
函数y=f(x)=sin(2x−π6).
(2)作出函数y=f(x)，x∈[0,π]的大致图像：
作图：
作图：
结合图像，可得其单调递减区间为[π3,5π6].
(3)将y=f(x)=sin(2x−π6)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度，
得到函数y=g(x)=sin(2x+2φ−π6)的图像，
若实数x1，x2满足f(x1)g(x2)=−1，则f(x1)与g(x2)一个等于1，另一个等于−1，
且|x1−x2|的最小值为|T2−φ|=π6，即|12⋅2π2−φ|=π6，求得φ=π3.
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求出ω，可得函数的解析式．
(2)由题意，用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图像，数形结合可得函数的减区间．
(3)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，正弦函数的性质，求出φ值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的性质，用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，属于中档题． 2x−π6
−π6
0
π2
π
3π2
11π6
x
0
π12
π3
7π12
5π6
π
f(x)
−12
0
1
0
−1
−12