2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.1+2i1−3i=( )
A. 12+12iB. −12+12iC. 12−12iD. −12−12i
2.若一组数据为1，3，4，6，7，10，13，则这组数据的第70百分位数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.在三棱雉A−BCD中，△ABC，△BCD均为等边三角形，BC=2，∠ACD=90∘，M为AD的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为( )
A. 0B. 22C. 32D. 1
4.A队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为15，乙答出的概率为16，则此题A队回答正确的概率是( )
A. 215B. 16C. 13D. 12
5.某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间.高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为( )
A. 7.2小时B. 7.3小时C. 7.5小时D. 7.6小时
6.在平行四边形ABCD中，∠A=60∘，AB=1，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则B到平面ACD的距离为( )
A. 33B. 22C. 53D. 32
7.已知△ABC的外接圆为圆O，圆O的直径AB=10，且AB⋅AC=64，则CO⋅CA=( )
A. 80B. 64C. 48D. 32
8.A，B，C，D这4个电器元件出故障的概率分别为12，13，p1，p2，按下图的两种连接方式，图一连通的概率为5572，图二连通的概率为1724，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有关，则p1+p2=( )
A. 512B. 12C. 712D. 23
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数z=m2−2m−3+ m+1i(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若z为实数，则m=−1B. 若z为纯虚数，则m=3或−1
C. z在复平面内对应的点不可能在第二象限D. z在复平面内对应的点不可能在第三象限
10.甲投篮5次，事件A=“恰命中2次”，事件B=“第3次未命中”，则与事件A∪B互斥的事件是( )
A. 仅第3次命中B. 第3次命中且总命中次数为2
C. 第1，3，5次命中D. 第2，4，5次命中
11.若x02−4x0+5=0(x0为复数)，则下列各选项正确的是( )
A. x0=2±iB. x0+5x0=4C. x02+25x02=8D. x04−24x0=−55
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别为C1D1，CC1，BC的中点，则( )
A. A1E，BF为异面直线B. 平面EFG截正方体所得截面的面积为3 3
C. EG//平面A1C1BD. A1F⊥DE
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知|a|=1,|b|=2，a⋅b=32，则(a−b)⋅(a+2b)=______ .
14.若一组10个数据a1，a2，⋅⋅⋅，a10的平均值为3，方差为11，则a12+a22+⋅⋅⋅+a102=______ .
15.在平行四边形ABCD中，CD的中点为E，AE交BD于F，CF=xCB+yCE，则x+y=______ .
16.已知某圆台的体积为(18+6 2)π，其上底面和下底面的面积分别为3π，6π，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z满足|z+2i|=5，z−=a+(3−a)i(a>0).
(1)求a；
(2)若复数z1满足z1(z1−+2)=a+2i，求z1.
18.(本小题12分)
甲袋中有3个球，2个红球1个白球，乙袋中有3个球，1个红球2个白球，从甲、乙两袋中随机各取1个球.
(1)求这2个球为1个红球1个白球的概率；
(2)从甲、乙两袋中取出的2个球都放入甲袋，再从甲袋中随机取1个球，求该球为红球的概率.
19.(本小题12分)
某商品50天日销量(单位：件)的频率分布直方图如图所示.
(1)求m；
(2)估计该商品50天日销量的中位数(结果保留一位小数)；
(3)估计该商品50天日销量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表).
20.(本小题12分)
已知A(4,0)，B(1,m)(m>0)，|AB|=5.
(1)求m；
(2)若点C，M满足BC=(−1,−1)，OM=xOA+(2−x)OC(O为坐标原点)，求|OM|的最小值.
21.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD的体积为1，底面ABCD为平行四边形，E，F分别是PB，PC上的点，PE=EB，PF=2FC，平面AEF交CD于点G.
(1)求DGGC；
(2)求多面体ABCGFE的体积.
22.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，AB=BC=4，A1B1=2，BB1=2 2.
(1)证明：BC1⊥A1C；
(2)求A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1+2i1−3i=(1+2i)(1+3i)10=−12+12i.
故选：B.
根据复数四则运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为7×70%=4.9，
所以这组数据的第70百分位数是第5个数据，为7.
故选：D.
将数据数量值乘以百分比即可得出答案．
本题考查百分位数，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：如图，取BD的中点N，连接CN，MN，则MN//AB，
异面直线AB与CM所成角即为异面直线AB与CM所成角，
而异面直线AB与CM所成角的余弦值为|cs∠NMC|，
因为△ABC，△BCD均为等边三角形，BC=2，
所以AB=AC=BC=BD=CD=2，
在△NMC中，MN=12AB=1，CN= BC2−BN2= 3，
因为∠ACD=90∘，所以AD= AC2+CD2=2 2，所以AM=12AD= 2，
CM= 2，所以cs∠NMC=NM2+MC2−CN22NM⋅MC=1+2−32×1× 2=0.
故选：A.
取BD的中点N，连接MN，CN，由题意可知异面直线AB与CM所成角的余弦值为|cs∠NMC|，求出NM，MC，NC，由余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，A队中，甲答出的概率为15，乙答出的概率为16，
则甲、乙答不出的概率分别为45，56，
故A队答出的概率为1−45×56=13.
故选：C.
根据题意，求出甲、乙不能回答问题的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案．
本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得抽样比为301200+1000+800=1100，
则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1200×1100=12，1000×1100=10，800×1100=8，
设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时，由8x+10×7.8+12×8.5=30×8，得x=7.5小时．
故选：C.
先求出抽样比，根据抽样比求出高三年级抽取的学生的平均睡眠时间，再根据三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时列式可求出结果．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由∠A=60∘，AB=1，AD=2，得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cs60∘=1+4−2×1×2×12=3，BD= 3，
则AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又四边形ABCD为平行四边形，∴BD⊥CD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，
在平面ABD内，作BH⊥AD于点H，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD=AD，
∴BH⊥平面ACD，则BH即为所求点B到平面ACD的距离，
在直角三角形ABD中，AB⊥BD，又BH⊥AD，
∴12AD⋅BH=12AB⋅BD⇒BH=AB⋅BDAD= 32.
∴B到平面ACD的距离为 32.
故选：D.
计算可得BD⊥CD，结合平面ABD⊥平面BCD，得CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面ABD，在平面ABD内，作BH⊥AD于点H，则BH即为所求点B到平面ACD的距离，计算可得结果．
本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵圆O的直径AB=10，∴AC⊥BC，
∴AB⋅AC=(AC+CB)⋅AC=AC2=64，
得|AC|=8.取AC的中点M，则OM⊥AC，
∴CO⋅CA=(CM+MO)⋅CA=CM⋅CA=|CM|⋅|CA|=32.
故选：D.
由题意知AC⊥BC，从而可得AB⋅AC=AC2=64，即|AC|=8，取AC的中点M，可得CO⋅CA=(CM+MO)⋅CA，由数量积的定义求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由图一得(1−12×13)(1−p1p2)=5572，
由图二得(1−p2)(1−12×13×p1)=1724，
解得p1=13p2=14，故p1+p2=712.
故选：C.
根据独立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案．
本题考查了独立事件的概率乘法公式，是基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：z=m2−2m−3+ m+1i(m∈R)，
对于A，若z为实数，
则 m+1=0⇒m=−1，故A正确；
对于B，若z为纯虚数，
则m2−2m−3=0 m+1≠0，解得m=3，故B错误；
对于C，因为 m+1≥0，
所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，C错误，D正确．
故选：AD.
根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A∪B的对立事件为A−∩B−，
与A∪B互斥的事件应为A−∩B−的子事件，
即“总命中次数不是2次且第3次命中”，
故只有AC符合．
故选：AC.
根据互斥事件的定义逐一分析即可．
本题考查了互斥事件的定义，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为x02−4x0+5=0，所以x0−2=±i，所以x0=2±i，故A正确；
因为x02−4x0+5=0，且x0=2±i≠0，所以x0+5x0=4，故B正确；
因为x0+5x0=4，所以(x0+5x0)2=16，所以x02+25x02+10=16，所以x02+25x02=6，故C错误；
因为x02−4x0+5=0，所以x02=4x0−5，则x04−24x0=(4x0−5)2−24x0=16x02−64x0+25
=16(x02−4x0)+25=16×(−5)+25=−55，D正确．
故选：ABD.
根据已知，利用复数概念、性质计算求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：如图所示，
易得EF//A1B，即A1E，BF在同一平面，A错误；
平面EFG截正方体所得的截面是边长为 2的正六边形，
该正六边形的面积为3 3，B正确；
易证EF//平面A1BC1，FG//平面A1BC1，又EF∩FG=F，
则平面EGF//平面A1BC1，
因为EG⊂平面EFG，
所以EG//平面A1BC1，C正确；
易证D1F⊥DE，又DE⊥A1D1，A1D1∩D1F=D1，
则DE⊥平面A1D1F，
则DE⊥A1F，D正确．
故选：BCD.
根据图形易得EF//A1B，即A1E，BF在同一平面，A错误；平面EFG截正方体所得的截面是边长为 2的正六边形，B正确；平面EGF//平面A1BC1，C正确；DE⊥平面A1D1F，D正确．
本题主要考查直线与平面平行，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，属中档题．
13.【答案】−112
【解析】解：因为|a|=1,|b|=2，a⋅b=32，
所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=4，
所以(a−b)⋅(a+2b)=a2+a⋅b−2b2=1+32−8=−112.
故答案为：−112.
利用数量积的运算法则将(a−b)⋅(a+2b)展开，结合a2=|a|2=1,b2=|b|2=4求解即可．
本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题．
14.【答案】200
【解析】解：若一组10个数据a1，a2，⋅⋅⋅，a10的平均值为3，
所以a1+a2+...+a1010=3，
即a1+a2+...+a10=30，
不妨设这组数据的方差为s2，
此时10s2=(a1−3)2+(a2−3)2+⋅⋅⋅+(a10−3)2，
即10×11=(a12+a22+⋅⋅⋅+a102)−6(a1+a2+⋅⋅⋅+a10)+90，
则a12+a22+⋅⋅⋅+a102=110+6×30−90=200.
故答案为：200.
由题意，根据平均数和方差的计算公式，进行求解即可．
本题考查平均数和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
15.【答案】53
【解析】解：连接CF，因为ABCD是平行四边形，所以DC//AB，
所以△DEF∽△BAF，所以DFFB=DEAB=12，
得CF=CB+BF=CB+23BD=CB+23(CD−CB)=13CB+43CE，
所以x=13，y=43，得x+y=53.
故答案为：53.
根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定、平面向量基本定理进行求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
16.【答案】217π4
【解析】解：设该圆台的高为h，则(18+6 2)π=13h(3π+ 3π×6π+6π)，解得h=6.
设圆台上、下底面半径为r1，r2，所以πr12=3π，πr22=6π，解得：r2= 6,r1= 3，
当圆台的上、下底面在球心的两侧时，
设球心O到下底面的距离为t，球O的半径为R，
则t2+r22=(6−t)2+r12=R2，所以t2+6=(6−t)2+3，解得t=114，
则R2=(114)2+6=12116+6=21716，故球O的表面积为4πR2=217π4.
当圆台的上、下底面在球心的同侧时，
设球心O到下底面的距离为x，球O的半径为R，
则x2+r22=(6+x)2+r12=R2，所以x2+6=(6+x)2+3，解得：x=−114，不符合题意．
故答案为：217π4.
由圆台的体积公式求出圆台的高h，再由圆的面积公式求出圆台上、下底面半径，讨论当圆台的上、下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心O到下底面的距离为t，球O的半径为R，由t2+6=(6−t)2+3，解方程求出t，即可求出R，再由球的表面积公式求解即可．
本题考查圆台与球的结构特征及其体积，表面积，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得z=a+(a−3)i，
z+2i=a+(a−1)i，
所以a2+(a−1)2=25⇒a=4或a=−3(舍去)，
故a=4；
(2)设z1=x+yi(x,y∈R)，
则z1z1−=x2+y2，x2+y2+2(x+yi)=4+2i
所以x2+y2+2x=42y=2，解得x=1y=1或x=−3y=1，
所以z1=1+i或−3+i.
【解析】(1)根据复数的模长公式即可求解．
(2)根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)记事件A1=甲袋取红球且乙袋取白球，则P(A1)=23×23=49，
事件A2=甲袋取白球且乙袋取红球，则P(A2)=13×13=19，
所以这2个球是1个红球1个白球的概率为P(A1)+P(A2)=59；
(2)该事件等同于“从乙袋中任取1个球放进甲袋，再从甲袋中取1个球，且该球为红球”，
所以所求事件的概率为13×34+23×12=712.
【解析】(1)由题意可知2个球为1个红球1个白球可以是：甲袋取红球且乙袋取白球或甲袋取白球且乙袋取红球，分别求出其概率即可；
(2)该事件等同于“从乙袋中任取1个球放进甲袋，再从甲袋中取1个球，且该球为红球”，进而可以求出结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.026+0.020+0.016+2m+0.010)×10=1，
解得m=0.014；
(2)设该商品50天日销量的中位数为x件，
因为第一组和第二组数据的频率之和为(0.014+0.020)×10=0.34<0.5
第一组、第二组和第三组数据的频率之和为0.34+0.026×10=0.6>0.5，
所以x∈[40,50),
则0.34+(x−40)×0.026=0.5，
解得x≈46.2；
(3)该商品50天日销量的平均数的估计值为(25×0.014+35×0.020+45×0.026+55×0.016+65×0.014+75×0.010)×10=47.6.
【解析】(1)根据频率之和为1即可求解；
(2)根据中位数的计算公式结合条件即得；
(3)根据平均数的计算公式即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的计算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由|AB|=5，可得32+m2=25，又m>0，∴m=4.
(2)由B(1,4)，BC=(−1,−1)，可得点C坐标为(0,3)，
所以OM=xOA+(2−x)OC=x(4,0)+(2−x)(0,3)=(4x,6−3x)，
∴|OM|= 16x2+9(2−x)2= 25x2−36x+36= 25(x−1825)2+57625，
∵x∈R，∴当x=1825时，|OM|取最小值，最小值为 57625=245.
【解析】(1)由向量模长得到关于m的方程，求解即得；
(2)首先求出点C坐标，进而得到OM的坐标，表示出模长，配方求得最小值．
本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
21.【答案】解：(1)如图，延长EF，BC交于点H，取PC的中点Q，连接EQ，则EQ//BH，
由图可知，△EQF∽△HCF，∴EQHC=QFCF=CQ−CFCF=(12−13)PC13PC=12，
∴CH=2EQ=BC，
连接AH，则G在AH上，
∵∠AGD=∠HGC，∠ADG=∠HCG，AD=BC=CH，∴△AGD≌△HGC，
∴可得DG=GC，即DGGC=1；
(2)连接EG，PG，DE，BD，则VABCGFE=VE−ABCG+VE−FCG，
∵VE−ABCG=12VP−ABCG=12×34VP−ABCD=38，
∴VE−FCG=13VE−PCG=13×12VE−PDC=16×12VB−PDC=112VP−BDC=124VP−ABCD=124，
∴VABCGFE=38+124=512.
【解析】(1)延长EF，BC交于点H，取PC的中点Q，连接EQ，则EQ//BH，由三角形相似得到CH=BC，连接AH，则G在AH上，再证明三角形全等即可得到结论；
(2)利用比例关系以及等体积法，由体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，训练了等体积法的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，
所以以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,4,0)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，A1(0,2,2 2)，C1(2,0,2 2)，
所以BC1=(2,0,2 2)，A1C=(4,−2,−2 2)，
所以BC1⋅A1C=2×4−2 2×2 2=0，即BC1⊥A1C.
(2)解：由(1)知，BA1=(0,2,2 2)，AC=(4,−4,0)，
设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅A1C=0n⋅AC=0，即4x−2y−2 2z=04x−4y=0，
令x=y= 2，则z=1，所以n=( 2, 2,1)，
设A1B与平面ACC1A1所成角为θ，则sinθ=|cs|=|BA1⋅n||BA1|⋅|n|=2 2+2 22 3× 5=2 3015，
故A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为2 3015.
【解析】(1)以B为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需各点的坐标，由BC1⋅A1C=0，即可得证；
(2)求得平面ACC1A1的法向量n，设A1B与平面ACC1A1所成角为θ，由sinθ=|cs|，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直、求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．