2022-2023学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列情况适合用全面调查的是( )
A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染B. 调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
C. 进行某一项民意测验D. 调查黄河的水质情况
2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件B. P(A)=P(B)C. A与B相等D. A与B互斥
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若m//α，m//β，则α//βB. 若m⊥α，m⊥n，则n⊥α
C. 若m⊥α，m//n，则n⊥αD. 若α⊥β，m⊥α，则m//β
4.一个容量为100的样本，将其数据按从小到大的顺序分为8组，如下表：
则第三组的频数和频率分别是( )
A. 14和0.14B. 0.14和14C. 114和0.14D. 14和114
5.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法错误的是( )
A. 第三组的频数为15人B. 估计样本的众数为75分
C. 估计样本的中位数75分D. 估计样本的平均数为75分
6.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α//平面AMN，则平面α截该正方体所得截面为( )
A. 三角形B. 五边形C. 平行四边形D. 等腰梯形
7.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，如图所示，图中互相垂直的平面有( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 5对
8.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为13，前2局甲队以2：0领先，则最后甲队获得比赛胜利的概率为( )
A. 49B. 1127C. 1927D. 4081
9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN( )
A. 有且仅有1条
B. 有且仅有2条
C. 有无数条
D. 不存在
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.某中学拟举行“长征英雄事迹我来讲”主题活动，用比例分配的分层随机抽样的方法从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本，已知高三年级有750名学生，高二年级有850名学生，高一年级有900名学生，则高一年级抽取的学生人数为______ .
11.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______.
12.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，则P(AB)=______ ；P(A−B−)=______ .
13.正三棱锥P−ABC中，PA=3，AB= 3，则直线PA和平面ABC所成的角的正弦值为__________
14.从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的第75百分位数是______ .
15.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，△PBC为等边三角形，二面角P−BC−A为30∘，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为______ .
三、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图：
(Ⅰ)求表中n，P的值和频率分布直方图中a的值；
(Ⅱ)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩是在[60,70]的概率.
17.(本小题12分)
一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.
(Ⅰ)若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；
(Ⅱ)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率.
(Ⅲ)若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90∘，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= 2，F为AD的中点．
(Ⅰ)求证：EF//平面ABC；
(Ⅱ)求证：AC⊥平面BCDE；
(Ⅲ)求直线AE与平面ABC所成角的正切值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：对于A，样本容量较小，适合用全面调查，故A正确；
对于B，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故B错误；
对于C，由于民意测验的特殊性，不能对所有的人都进行调查，适合抽样调查，故C错误；
对于D，无法将所有的黄河水进行水质检测，适合抽样调查，故D错误．
故选：A.
根据已知条件，结合抽样调查、全面调查的特点，即可求解．
本题主要考查抽样调查、全面调查的特点，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，
事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
P(A)=P(B)=12，故B正确；
事件A与事件B不是同一个事件，故C错误．
故选：B.
事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件；P(A)=P(B)=12；事件A与事件B不是同一个事件．
本题考查古典概型、互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
在A中，α与β相交或平行；在B中，n//α或n⊂α；在C中，由线面垂直的判定定理可得n⊥α；在D中，m与β平行或m⊂β.
【解答】
解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则：
在A中，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故B错误；
在C中，若m⊥α，m//n，则由线面垂直的判定定理可得n⊥α，故C正确；
在D中，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故D错误．
故选：C.
4.【答案】A
【解析】解：已知样本的容量为100，
所以x=100−10−13−x−14−15−13−12−9=14，
即第三组的频数为14，
可得第三组的频数为14100=0.14.
故选：A.
由题意，结合所给信息，列出等式即可求出x的值，即为第三组的频数，再根据样本容量和本组数据的个数，列出等式即可求出频率．
本题考查频率和频数的计算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：分数在[60,70)内的频率为1−10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15，
所以第三组[60,70)的频数为100×0.15=15(人)，故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
因为(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5，(0.005+0.020+0.010+0.03)×10=0.65>0.5，
所以中位数位于[70,80),设中位数为x，
则0.35+(x−70)×0.03=0.5，
解得x=75，
即中位数的估计值为75，故C正确；
样本平均数的估计值为：45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.01)=73(分)，故D错误．
故选：D.
利用频率分布直方图的性质可判断A，根据众数、中位数和平均数的定义可判断BCD.
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查运算求解等能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，
则EF//B1D1，B1D1//BD，所以EF//BD，故EFBD在同一平面内，
连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，
所以ME//AB，且ME=AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM//BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，
所以AM//平面BDFE，
同理AN//平面BDFE，
因为AM∩AN=A，
所以平面AMN//平面BDFE，
即平面a截该正方体所得截面为梯形BDFE；
又由梯形BDFE中，BE=DF= 1+14= 52，即平面α截该正方体所得截面为等腰梯形．
故选：D.
根据题意，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，由直线与平面平行的性质分析可得平面a截该正方体所得截面为平面BDFE，分析可得答案．
本题考查正方体中截面的性质，涉及正方体的几何结构，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵PA⊥矩形ABCD所在平面，
∴PA⊥AD，AB⊥AD，
又PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB，
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，
∵AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB，
∵BC//AD，∴BC⊥平面PAB，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，
∵PA⊥矩形ABCD所在平面，
∴PA⊥AB，AD⊥AB，
∵PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
∵CD//AB，∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD，
综上，图中互相垂直的平面有5对．
故选：D.
推导出AD⊥平面PAB，从而平面PAD⊥平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB；推导出BC⊥平面PAB，从而平面PBC⊥平面PAB；推导出AB⊥平面PAD，从而平面ABCD⊥平面PAD；推导出CD⊥平面PAD，从而平面PCD⊥平面PAD.
本题考查互相垂直的平面的对数的求法，考查线面垂直、面面垂直的判定定理等基础知识，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：若最后乙队获胜，即后3局必须都是乙队获胜，则其概率P1=(1−13)3=827，
所以最后甲队获胜的概率是P=1−827=1927.
故选：C.
首先求出乙队获胜即后3局必须都是乙队获胜的概率，利用对立事件的概率公式计算可得．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：作NE⊥BC交于E，连接DE，在正方体中，可知DD1//NE，
当M，N的高度一样时，则MD=NE，
可得四边形MDEN为平行四边形，所以MN//DE，
正方体中，DD1⊥面ABCD，DE⊂面ABCD，
所以DD1⊥DE，进而可证得DD1⊥MN，
因为M，N点的位置无数多个，所以这样的直线MN由无数多条．
故选：C.
作NE⊥BC交于E，连接DE，在正方体中，当M，N的高度一样时，四边形MDEN为平行四边形，正方体中可证得DD1⊥DE，进而可证得DD1⊥MN，M，N点的位置无数多个，所以直线MN无数多条．
本题考查线线垂直的证法，属于基础题．
10.【答案】18
【解析】解：高三年级有750名学生，高二年级有850名学生，高一年级有900名学生，
从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本，则高一年级抽取的学生人数为50×900750+850+900=18.
故答案为：18.
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
11.【答案】310
【解析】解：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C53=10，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C31=3，
根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P=C31C53=310.
故答案为：310.
从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
12.【答案】16 13
【解析】解：P(AB)=n(AB)n(Ω)=n(A)+n(B)−n(A∪B)n(Ω)=12+8−1624=16；
P(A−B−)=n(A−B−)n(Ω)=n(Ω)−n(A∪B)n(Ω)=24−1624=13.
故答案为：16；13.
根据古典概型的概率公式能求出结果．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】2 23
【解析】【分析】
本题考查线面所成的角，属于中档题．
先作出直线PA和平面ABC所成的角，进而利用三角函数求得该角的正弦值．
【解答】
解：取正△ABC中心为O，连接AO并延长交BC于D，连接PD，
则D为BC中点，PO⊥平面ABC，则∠PAO为直线PA和平面ABC所成的角，
Rt△PBD中，PB=3，BD= 32，BD⊥PD，则PD= 332，
Rt△POD中，PD= 332，OD=13× 32× 3=12，
OD⊥PO，则PO= ( 332)2−(12)2=2 2，
则sin∠PAO=POPA=2 23，则直线PA和平面ABC所成的角的正弦值为2 23.
故答案为：2 23.
14.【答案】8.75
【解析】解：根据题意，将12个数据从小到大排列为：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
由于12×75%=9，则这组数据的第75百分位数是12(8.6+8.9)=8.75.
故答案为：8.75.
根据题意，将数据从小到大排列，由百分位数计算公式计算可得答案．
本题考查百分位数的计算，注意百分数的计算公式，属于基础题．
15.【答案】34
【解析】解：如图，设E，F分别为BC，AD的中点，连接PE，PF，EF.
由AB//CD，得∠PCD(或其补角)为异面直线PC与AB所成的角，
因为底面ABCD为正方形，△PBC为等边三角形，
所以PE⊥BC，FE⊥BC，
则∠PEF为二面角P−BC−A的平面角，∠PEF=30∘.
又PE⊂平面PEF，FE⊂平面PEF，PE∩FE=E，
所以BC⊥平面PEF，
因为PF⊂平面PEF，所以BC⊥PF，
又BC//AD，所以AD⊥PF，
设底面正方形的边长为2，则PE= 3，
在△PEF中，由余弦定理得：
PF²=PE²+EF²−2PE⋅EFcs∠PEF=3+4−2× 3×2× 32=1，
所以PF=1，
因为PF⊥AD，FD=1，所以PD= 2，
在△PCD中，由余弦定理得：
cs∠PCD=PC2+CD2−PD22PC⋅CD=4+4−22×2×2=34，
故异面直线PC与AB所成角的余弦值为34.
先找出异面直线所成的角(或其补角)以及二面角的平面角，证明BC⊥平面PEF，得到BC⊥PF，设正方形边长为2，在△PEF和△PCD中分别用余弦定理求结果．
本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的平面角，属于基础题．
16.【答案】解：(Ⅰ)已知n=5080=0.625，p=1080=0.125，
所以a=0.62510=0.0625；
(Ⅱ)易知样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生的人数之比为16：4=4：1，
若从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人，
其中成绩在[60,70]的有4人，成绩在[90,100]的有1人，
在从这5人中选2人，共C52种情况，
其中这2人成绩均在[60,70]的共C42种情况，
故这2人成绩是在[60,70]的概率为P=C42C52=610=35.
【解析】(Ⅰ)由题意，根据频率与频数之间的关系以及频率分布表和频率分布直方图所给信息，列出等式即可求出n，p，a的值；
(Ⅱ)利用分层抽样的方法得到这5人中，成绩在[60,70]的有4人，成绩在[90,100]的有1人，列出等式即可求解．
本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力．
17.【答案】解：一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.
(Ⅰ)从袋中随机抽取1个球，
取出的球编号为质数的情况有2，3，5，
则取出的球编号为质数的概率为P(A)=36=12；
(Ⅱ)从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，
基本事件总数n=6×6=36种，
取出的两个球编号之和为6包含的基本事件有：
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种，
则取出的两个球编号之和为6的概率为P(B)=56×6=536；
(Ⅲ)一次从袋中随机抽取3个球，
基本事件个数为C63，
取出的球最大编号为4包含的基本事件个数为C32C11，
则取出的球最大编号为4的概率为P(C)=C32C11C63=320.
【解析】(Ⅰ)利用古典概型概率计算公式求解；
(Ⅱ)利用古典概型概率计算公式求解；
(Ⅲ)利用古典概型概率计算公式、排列组合求解；
本题考查古典概型概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】证明：(Ⅰ)取AC的中点G，连结FG，BG.
∵F是AD的中点，∴FG=//12CD，
又BE=//12CD，∴FG=//BE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF//BG，
又EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC.
∴EF//平面ABC.
(Ⅱ)取DC的中点H，连结BH，
∵∠CDE=∠BED=90∘，BE//DH，BE=DH=DE=1，
∴四边形BEDH是正方形，∴BH=CH=1，BH⊥CH，
∴BC= 2，又AC= 2，AB=2，
∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE.
(Ⅲ)过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，连结AM，
因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，EM⊂平面BCDE，
∴EM⊥平面ABC，
∴∠EAM为直线AE与平面ABC所成角，
∵∠HBC=45∘，∠EBH=90∘，∴∠EBM=45∘.
∵BE=1，∠EMB=90∘，∴EM=BM= 22.
∴AM= MC2+AC2= 262，
∴tan∠EAM=EMAM= 1313.
【解析】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角的计算，属于中档题．
(Ⅰ)取AC的中点G，连结FG，BG，则可证明四边形BEFG是平行四边形，故而EF//BG，于是EF//平面ABC；
(Ⅱ)取DC的中点H，连结BH，则可利用勾股定理计算出BC= 2，从而得出AC⊥BC，由面面垂直的性质得出AC⊥平面BCDE；
(Ⅲ)过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，连结AM，则可证EM⊥平面ABC，故而∠EAM为直线AE与平面ABC所成角，利用勾股定理计算EM，AM即可得出tan∠EAM.组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
分组
频数
频率
[60,70)
16
0.2
[70,80)
50
n
[80,90)
10
p
[90,100]
4
0.05
合计
80
1