数学必修 第一册1.1 集合的概念当堂检测题

这是一份数学必修 第一册1.1 集合的概念当堂检测题，共22页。试卷主要包含了1集合的概念等内容，欢迎下载使用。

1.1集合的概念
【考点梳理】
考点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
考点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
考点三 常见的数集及表示符号
考点四：集合的表示
（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
【题型归纳】
题型一：集合的概念
1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于的正整数；④的近似值．
A．①②B．③④
C．②③D．①③



2．下列说法中正确的有（ ）个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1B．2C．3D．4
3．下列叙述正确的是（ ）
A．方程的根构成的集合为
B．
C．集合表示的集合是
D．集合与集合是不同的集合

题型二：元素与集合的关系
4．下列关系中①；②；③；④正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．下列五个写法，其中正确写法的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1B．2C．3D．4
6．设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．







题型三：元素特性技巧解题
7．已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，且，则（ ）
A．或B．
C．或或D．
9．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
题型四：集合的表示方法
10．若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（ ）
A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}
B．{（x，y）|x＝0且y＝0}
C．{（x，y）|xy＝0}
D．{（x，y）|x，y不同时为零}
12．集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x=2n±1，n∈Z}
B．{x|x=2n+1，n∈Z}
C．{x|x=2n+1，n∈N*}
D．{x|x=2n+1，n∈N}




【双基达标】
一、单选题
13．已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．B．C．D．
14．集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠–1B．x≠0
C．x≠–1且x≠0且x≠3D．x≠–1或x≠0或x≠3
15．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|-3B．{x|-3C．{x|-3D．{x|-316．下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．集合A＝{1，－3，5，－7，9，}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x＝2n±1，n∈N}
B．{x|x＝（－1）n（2n－1），n∈N}
C．{x|x＝（－1）n（2n＋1），n∈N}
D．{x|x＝（－1）n－1（2n＋1），n∈N}
18．下列叙述正确的是（ ）
A．集合{x|x<3，x∈N}中只有两个元素
B．{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}
C．整数集可表示为{Z}
D．有理数集表示为{x|x为有理数集}
19．有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
20．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（ ）
A．3，6，9B．6，9，12C．9，12，15D．6，12，15
21．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A．{ x |是小于18的正奇数}B．
C．D．
22．给出下列个关系：①，②，③，④，⑤，⑥，其中正确命题的个数为（ ）
A．B．C．D．

【高分突破】

23．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
24．集合{x|，x∈Z}等于（ ）
A．{1，2}B．{0，1，2}
C．{，0，1，2}D．{0，1}
25．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（ ）
A．1∈MB．0∈M
C．－1∈MD．－2∈M
26．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成集合A，则（ ）
A．2∈AB．3∉AC．－1∈AD．1∈A

27．设集合，，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
28．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是（ ）
A．集合M中至多有2个元素
B．集合M中至多有3个元素
C．集合M中有且仅有4个元素
D．集合M中至少有4个元素
29．已知集合，，，且，则的值为（ ）
A．1或B．1或3C．或3D．1，或3
30．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A．2∈A，且2∈BB．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈BD．(3，10)∈A，且2∈B

二、多选题
31．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
32．(多选题)若集合A={x|kx2+4x+4=0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
33．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（ ）
A．
B．
C．若整数，属于同一“类”，则
D．若，则整数，属于同一“类”
34．设非空集合满足：当时，有.给出如下四个命题，其中正确命题的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
35．下面四个说法中错误的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1}
D．0与{0}表示同一个集合
36．设集合，若，，，则运算可能是（ ）
A．加法B．减法C．乘法D．除法
37．若集合A具有以下性质：
（1）0∈A，1∈A；
（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（ ）
A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”
B．有理数集Q是“好集”
C．整数集Z不是“好集”
D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A


三、填空题
38．用符号“”或“”填空：
（1）______； （2）_____；
（3）_____； （4）_____；
（5）_____； （6）_____；
（7）_____； （8）_____ .
39．若集合只有一个元素，则集合______．
40．已知集合，若，则__________.
41．设集合，已知且，则实数的取值集合为__________.
42．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1＋________B；
（2）设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；
（3）设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D．
43．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.

四、解答题
44．（1）已知，，求实数的值；
（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．
45．已知函数f（x）=-ax+b（a，b∈R）.集合A={x|f（x）-x=0}，B={x|f（x）+ax=0}，若A={1，-3}，试用列举法表示集合B.
46．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
47．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
48．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

【答案详解】

1．C
【详解】
①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；
②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；
③“不小于的正整数”的标准确定，能构成集合；
④“的近似值”的标准不确定，不能构成集合．
故选：C.
2．B
【详解】
①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：
②全体等边三角形组成一个集合，故正确；
③表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；
④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.
故选：B
3．B
【详解】
对于A，方程的根构成的集合为，故A错误；
对于B，方程无解，所以，故B正确；
对于C，集合为点集，集合是数集，
故C错误；
对于D，由集合元素的无序性可得集合，故D错误.
故选：B.
4．C
【详解】
①因为是自然数，所以，故正确；
②因为不是整数，所以，故错误；
③因为是整数，所以，故错误；
④因为是无理数，所以，故正确；
故选：C.
5．B
【详解】
解：①，故①错误，②，故②正确，③，故③正确，④，故④错误，⑤为元素，与无法运算，故⑤错误；
故选：B
6．D
【详解】
解：，，，
又，，．
故选：D.
7．B
【详解】
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
8．D
【详解】
当时，集合，都出现两个1，
出现了互异性的错误，排除ABC，
当时，，，，
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合性质，属于基础题.
9．A
【详解】
解：由题意得，，所以即，，即，
则有，所以，解得，
∴.
故选：A.
10．B
【详解】
因为可解得：，
所以.
故选：B
11．C
【详解】
A.表示轴和轴上的点，但不包含原点，故A错误；
B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；
C.或，即表示坐标轴上点的集合，故C正确；
D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.
故选：C.
12．D
【详解】
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
13．C
【详解】
解：由题意知：，，
，
∴集合中元素个数为3.
故选：C.
14．C
【详解】
集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，
解得x≠3且x≠–1且x≠0，
故选：C．
15．D
【详解】
解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x|-3对于A，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；
对于B，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；
对于C，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意.
故选：D.
16．D
【详解】
对于A，因为0不是正整数，所以，所以A错误，
对于B，因为是无理数，所以，所以B错误，
对于C，因为空集是不含任何元素的集合，所以，所以C错误，
对于D，因为是实数，所以，所以D正确，
故选：D
17．C
解：观察集合的前几项发现：的元素都是奇数，并且偶数项为负，奇数项为正；
可表示为，；
，．
故选：C.
18．B
【详解】
A.集合中元素有0，1，2，错；
B.，正确；
C.整数集表示为Z，错；
D.有理数集表示为{x|x为有理数}，错.
故选：B.
19．B
【详解】
①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当时不成立，不正确；
③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合是有限集，正确，
故选：B
20．B
【详解】
解：关于x的方程等价于①，或者②．
由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．
，对于方程①，．
方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6．
而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3，
在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9；
当时，方程②无实根，故P中元素和为6；
当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6，
故P中元素的和为12.
故选：B．
21．D
【详解】
对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
22．A
【详解】
、、、分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，
所以，，，，，，，
因此，①正确，②③④⑤⑥不正确，
故选：A．
23．A
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
24．B
【详解】
解：{x|，x∈Z}={x|<2x≤4，x∈Z}={x|故选：B．
25．C
【详解】
由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，
所以22－2＋m＝0，解得m＝－2．
所以方程为x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2．
故方程的另一根为－1．
故选：C．
26．C
【详解】
①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.
故选：C
27．C
【详解】
因集合，，又，
则当时，的值有：6，7，8，9，
当时，的值有：7，8，9，10，于是得，
所以中元素的个数为5.
故选：C
28．D
【详解】
因为a∈M，∈M，
所以＝－∈M，
所以＝∈M，
又因为＝a，
所以集合M中必同时含有a，－，，这4个元素，
由a的不确定性可知，集合M中至少有4个元素．
故选：D
29．B
【详解】
解：，，，
或，即或.
当时，，5，；
当时，，3，；
当时，，1，不满足互异性，
的取值集合为，.
故选：.
30．C
【详解】
集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，，故2∈A，
集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，，经验证，(3，10)∈B.
故选：C．
31．ABD
【详解】
选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
32．AB
【详解】
集合A中只有一个元素，即方程kx2+4x+4=0只有一个根，
当k=0时，方程为一元一次方程，只有一个根，
当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则=16-16k=0，即k=1，
所以实数k的值为0或1.
故选：AB
33．ACD
【详解】
对于A ：因为，所以，故选项A正确；
对于B：因为，所以，故选项B错误；
对于C：若与属于同一类，则，，其中，，故选项C正确；
对于D：若，设，即，不妨令，，，，，，则，，，所以与属于同一类，故选项D正确；
故选：ACD.
34．ABC
【详解】
对于A选项，若，则，
根据当时，有，可得，得，可得，故，A对；
对于B选项，若，则，则，解得，B对；
对于C选项，若，则，即，C对；
对于D选项，若，时，此时符合题意，D错.
故选：ABC．
35．CD
【详解】
解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；
由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；
方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；
由集合的表示方法知0不是集合，故D错误，
故选：CD．
36．AC
由题意可设，，其中，，，，
则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；
，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.
故选：AC.
37．BCD
【详解】
解：对于，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”．故错误；
对于，因为，，且对任意的，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故正确；
对于，因为，但，所以整数集不是“好集”．故正确；
因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故正确．
故选：．
38． .
【详解】
（1）是自然数集，所以；
（2）是整数集，所以；
（3）是有理数集，所以；
（4）是实数集，所以；
（5）中，所以；
（6）=，所以；
（7）（2,2）表示点，表示数集，所以；
（8）集合中有2个元素，分别是，，所以.
故答案为：；； ；； ； ；；
39．或
解：只有一个元素；
方程只有一个解；
时，，，满足题意；
时，；
；
解得，；
或．
故答案为：或．
40．1
【详解】
依题意，分别令，得，此时，不满足互异性；
当，得或，检验后，都不满足互异性；
当，解得：或，经检验，，成立，
所以.
故答案为：1
41．
【详解】
当时，可得或，
若时，则，不合题意；
若时，则，符合题意；
当，可得或，
若，则，不合题意；
若，则，不合题意.
综上所述：.
故答案为：
42．∉ ∉ ∉
【详解】
（1）∵ ∴∉B；
∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，
∴1＋< ，∴1＋B．
（2）∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；
当n＝2时，n2＋1＝5，∴5C．
（3）∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，则－1是数，
∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D．
故答案为：∉，，∉，，∉，.
43．
【详解】
因为三女相会经过的天数是，，的公倍数，且它们的最小公倍数为，
所以三女前三次相会经过的天数用集合表示为.
故答案为：.
44．（1）；（2）或．
【详解】
（1）因为，故，
因为，则或.
①当时，即当时，此时，集合中的元素不满足互异性；
②当时，即，解得或（舍），
此时，，集合中的元素满足互异性.
综上所述，；
（2）因为集合中有两个元素，则，
解得且，
因此，实数的取值范围是或.
45．{-，}.
【详解】
：解答：A={1，-3}，
∴f（1）−1=0，f（−3）−（−3）=0，
即1−a+b−1=b−a=0，（9+3a+b）+3=3a+b+12=0，
解得a=−3，b=−3.
∴f（x）+ax=+3x-3+（-3x）=-3=0.
∴x=±，
∴B={-，}.
46
【详解】
（1），集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；
（2），即，，
集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；
（3）集合可表示为，列举法表示为．
47．
(1)由题意可知：，则，，，，
所以A中其他所有元素为；
(2)假设，则，而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素，
取，则，，，，
所以当，A中的元素是：，，，；
(3)猜想中没有元素，0，1；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
由(2)知：，
若，则，与矛盾，则有，即都不在集合A中，
若实数，则，，
，，
又由集合元素互异性知，A中最多只有4个元素且，
显然否则，得无实数解，同理，，即A中有4个元素，
所以中没有元素；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
48．（1）a＝0或a＝；（2）；（3）a≥或a＝0.
【详解】
解：（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
（2）由题意得，当即a<且a≠0时方程有两个实根，
又由（1）知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以a的取值范围是.
（3）由（1）知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
当集合A中没有元素，即A＝时，由题意得解得a>.
综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素.

数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R