（人教A版2019必修第二册）数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破 专题强化训练二 与球有关的内切、外接问题）【附答案详解】

这是一份（人教A版2019必修第二册）数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破 专题强化训练二 与球有关的内切、外接问题）【附答案详解】，共30页。试卷主要包含了多面体与球接、切问题求解策略，球的切、接问题的常用结论等内容，欢迎下载使用。
1．多面体与球接、切问题求解策略
(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
2．球的切、接问题的常用结论
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.
(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.
(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．
(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.
题型归纳
题型一：直接法(公式法)
1．（2022·全国·模拟预测）一个正方体的内切球的表面积和它的外接球的表面积之和是，则该正方体的体积为（ ）
A．B．8C．4D．16
2．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））长方体的底面为正方形，，直线与直线所成的角为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖南·高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ）
A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3
题型二：构造法(补形法)
4．（2022·陕西西安·一模）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知三棱维中，侧面ABC⊥底面BCD，△ABC是边长为6的正三角形，△BCD是直角三角形，且，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．36πB．48πC．64πD．128π
6．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型三：确定球心位置法
7．（2022·全国·模拟预测）如图，已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，球心到平面的距离为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·陕西陕西·一模）四面体内接于球，（为球心），，，.若四面体体积的最大值为4，则这个球的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）三棱锥的四个顶点在球О的球面上，平面ABC，，，，点M是BC的中点，，则球О的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型四：球表面积和体积最值问题
10．（2023·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形中，，是边的中点，现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·四川成都·高一期末（理））已知，是球的球面上两点，，为该球面上动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·山东莱西·高一期末）已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
专题精选强化
一、单选题
13．（2023·黑龙江鸡西·高一期末）已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（ ）
A．B．5C．D．
14．（2022·全国·高一）在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·全国·高一课时练习）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高一课时练习）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．B．56π
C．14πD．16π
17．（2023·广东顺德·高一期末）已知三棱锥的底面是正三角形，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·江苏常州·高一期末）如图，在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·云南省昆明市第十中学高一期中）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·黑龙江·哈师大附中高一期末）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·重庆八中高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，，，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1B．2C．D．4
23．（2020·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·吉林·高一期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点、、、，满足为正三棱锥，是的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
25．（2023·全国·高一课时练习）已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，，，三棱柱的侧面积为，则球体积可能是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·江苏·无锡市第一中学高一期中）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
27．（2020·江苏连云港·高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则（ ）
A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为1D．线段MN的最大值为
28．（2023·辽宁·高一期末）在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ）．
A．四面体的体积的最大值是B．的取值范围是
C．四面体的表面积的最大值是D．当时，球的体积为
三、填空题
29．（2022·全国·高一）点A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为___________.
30．（2023·天津·高一期末）已知正四棱锥中，底面边长为2，侧面积为，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为______.
31．（2023·江苏溧阳·高一期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________.
32．（2023·广东惠州·高一期中）在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
设正方体的边长为，分别求出正方体内切球与外接球的半径，再建立等式求得正方体的棱长即可求其体积.
【详解】
设正方体的边长为，则正方体的内切球的半径为，外接球的半径为，依题意得，解得，∴正方体的体积为.
故选：B．
2．C
【解析】
【分析】
根据条件求出长方体外接球的半径即可求解.
【详解】
直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角，
从而可知在中，，
所以，
设长方体外接球的半径为，则有，
该长方体外接球的表面积为.
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.
【详解】
设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，
∴6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴Rcm，
∴球的体积
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.
【详解】
解：因为四棱锥为阳马，侧棱底面，
如图，补全该阳马所得到的长方体，
则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为，
则，
所以，
所以该阳马的外接球的表面积为.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
把三棱锥放置在长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再由三棱锥外接球的表面积公式计算．
【详解】
三棱锥中，侧面底面，把该三棱锥放入长方体中，如图所示
，
设三棱锥外接球的球心为，则，
，
三棱锥外接球的半径，
则三棱锥外接球的表面积为，
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所求.
【详解】
设外接球半径为，则，解得,
将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，
则正方体的体对角线等于外接球的直径，
故，解得，正方体棱长为 ，
故该正四面体的体积为，
故选：A．
7．A
【解析】
【分析】
由已知可证得，，从而可得球心是的中点，取的中点，连接，然后在中可求得球的半径，进而可求得球的体积
【详解】
如图，因为，，
所以，所以.
因为平面，平面，
所以，.
又，所以平面，
所以，所以球心是的中点.
取的中点，连接，则∥，
所以平面，所以.
设球的半径为，在中，，
所以球的体积为，
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
在中利用余弦定理求得第三边，并判断为直角三角形且面积为定值，由面积公式求得的面积，从而分析知当到平面的距离取得最大值时球的体积最大.
【详解】
在中，∵，，，
∴，
∴，.
∴外接圆半径.
∴.
如图所示，设的中点为，则为过的截面圆的圆心，设球的半径为，所以球心到平面的距离为
当点平面时，四面体体积的最大
即：，解得，
.
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
先求得的外接圆的半径r，再由求得外接球的半径求解.
【详解】
如图所示：
由余弦定理可得，
解得．
故，．
设的外接圆半径为，由正弦定理可得，
故，
所以球的半径为，
球的表面积为，
故选：C．
10．C
【解析】
【分析】
设棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，因为的面积为定值，所当高最大时，三棱锥的体积最大，过D作于，设点为的外心，则有通过计算可得点为外接球的球心，从而可求得结果
【详解】
解：过D作于，设点为的外心，为的中点，连接，
因为正方形中，，是边的中点，
所以,则，，,
所以,，,
所以,
所以,
设棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，设，
因为的面积为定值，所当高最大时，三棱锥的体积最大，
此时平面平面，
因为，平面平面，
所以平面，
所以,
所以，
所以，
所以，解得，
所以的外心为三棱锥外接球的球心，
所以
所以三棱锥外接球的表面积为
故选：C
11．B
【解析】
【分析】
当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为求出半径，即可求出球的表面积．
【详解】
解：如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，
此时，
解得，则球的表面积为，
故选：B．
12．A
【解析】
【分析】
作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，
设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.
因为的面积为，所以边长为3，
由于三棱锥的体积的最大值为，得，
易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，
的外接圆直径为，所以,
设球O的半径为R，则,
解得,
所以球的表面积为.
故选：A
13．A
【解析】
【分析】
三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，由球的体积求出的长度，再求出，由三棱锥体积公式求解即可.
【详解】
因为，，
易知三角形ABC为等腰直角三角形，
又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，
则可将三棱锥放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，
,
又，
解得,
所以三棱锥的体积，
故选：A
14．A
【解析】
【分析】
由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．
【详解】
设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，
则的面积.由三棱柱的体积为可得，故，
设三棱柱外接球的半径为R，则，
故该三棱柱外接球的表面积为.
故选：A．
15．D
【解析】
【分析】
根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.
【详解】
设球的半径为，因，则的面积，
而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，
于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，
所以球的表面积为.
故选：D
16．C
【解析】
【分析】
根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.
【详解】
解析：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得
∴长方体的体对角线长为，
∴其外接球的半径为
∴．
故选：C
17．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，证得三棱锥为正三棱锥，结合球的截面性质求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，过点作平面，连接交于，
所以，又由且，所以平面，可得，
同理可证，则为等边的垂心，即中心，
则三棱锥为正三棱锥，
设其外接球的球心为，则再上，连接，
在等边中，由，可得，则，
设三棱锥的外接球的半径为，则，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
取中点，连接先证明点就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.
【详解】
取中点，连接
由题得，又，所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，又.
同理,
所以，
所以点就是四棱锥外接球的球心.
因为，
所以.
所以所以外接球的半径为.
所以该四棱锥外接球的表面积．
故选：B
19．A
【解析】
【分析】
设球半径为，圆锥的底面半径为，利用扇形的弧长和面积公式求得，即可求解.
【详解】
圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，
设母线为，则，可得：，
由扇形的弧长公式可得：，所以，
圆锥的高，
由，解得：，
所以球的表面积等于，
故选：A
20．D
【解析】
【分析】
若三棱锥从一个顶点出发的三条棱互相垂直，则该三棱锥的外接球与以这三条棱为邻边的长方体的外接球相同.
【详解】
因为三棱锥中，，、两两垂直，
所以其外接球半径满足，.
故三棱锥的外接球表面积为.
故选：D.
21．A
【解析】
【分析】
设的中点为，连接，则由矩形的性质可知，所以可得为四面体外接球的球心，求出的长可得球的半径，从而可求出球的体积
【详解】
解：设的中点为，连接，
因为四边形为矩形，所以，，
所以为四面体外接球的球心，
因为，所以，
所以，所以面体外接球的半径为，
所以该四面体外接球的体积为，
故选：A
22．B
【解析】
【分析】
先确定底面的外接圆圆心及半径，再确定球心位置，并利用球心和圆心的连线垂直于底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.
【详解】
设，
三角形外接圆的半径为，直三棱柱外接球的半径为.
因为，所以，
于是，，.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以.
在中，由，得，.
所以球的体积，解得.
于是直三棱柱的高是.
故选：B.
23．B
【解析】
【分析】
首先在中利用余弦定理求出的长，进一步可判断为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质即可求出球心和半径，由体积公式即可求解.
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，可得为直角三角形，
所以的中点即为外接圆的圆心，
设的中点为，则的中点即为直三棱柱外接球的球心，
设外接球的半径为，，，
所以，
所以外接球的体积是，
故选：B.
24．B
【解析】
【分析】
推导出、、两两垂直，然后将正三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果.
【详解】
取中点，连接、，
为中点，，，同理，
，平面，
平面，，
且，平面，
、平面，，，
三棱锥是正三棱锥，、、三条侧棱两两互相垂直.
将正三棱锥补成正方体，如下图所示：
因为，所以正方体的体对角线长为，
所以，正三棱锥的外接球的直径，
所以，正三棱锥的外接球的表面积是，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
25．AB
【解析】
【分析】
设三棱柱的高为，，三棱柱侧面积得，可得，设，分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心是中点，由正弦定理求得外接圆的半径，由勾股定理结合基本不等式求得外接球半径的最小值，再由球的体积公式结合选项即可求解．
【详解】
设三棱柱的高为，．因为，
所以，
则该三棱柱的侧面积为，故，
设分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心是中点，
设的外接圆半径为，则，
设球的半径为，则，
所以，故球的体积为：．
结合选项可知：球体积可能是，，
故选：AB．
26．AB
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
∵圆锥的底面面积与球面面积比值为，
∴，则；
设球心到圆锥底面的距离为d，则，
所以圆锥的高为或，
设圆锥体积为与球体积为，
当时，圆锥体积与球体积的比为，
当时，圆锥体积与球体积的比为.
故选：AB
27．AD
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为，由线段MN的最小值为求出，按照球的性质逐一判断每个选项即可.
【详解】
设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，
正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，
可得MN的最小值为，解得，故C错误；
所以外接球的半径为，表面积为，故A正确；
内切球的半径为1，体积为，故B错误；
MN的最大值为，故D正确；
故选：AD.
【点睛】
本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
28．ACD
【解析】
【分析】
求出当时，四面体的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用余弦定理可判断B选项的正误；利用时，四面体的表面积的最大，可判断C选项的正误；求出球的半径，利用球体的体积公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，，则为等边三角形，
取的中点，则，同理可知，为等边三角形，所以，，
且，，
所以，二面角的平面角为，
设点到平面的距离为，则，
，当且仅当时，等号成立，
即四面体的体积的最大值是，A选项正确；
对于B选项，由余弦定理可得，
所以，，B选项错误；
对于C选项，，
，，，
所以，，
因此，四面体的表面积的最大值是，C选项正确；
对于D选项，设、分别为、的外心，则，
在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点，
，，，平面，
平面，，
，，平面，同理可得平面，
则为四面体的外接球球心，
连接，，，，，
所以，，，
平面，平面，，
，即球的半径为，
因此，球的体积为，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
29．
【解析】
【分析】
根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．
【详解】
因为，，，所以，
所以三角形外接圆半径，
又球心O到截面的距离为，所以球的半径为．
球体积为．
故答案为：．
30．
【解析】
【分析】
由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.
【详解】
设正四棱锥的侧棱长为，又侧面积为，
∴，解得，
∴正四棱锥的高，
正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，
如图，
设球的半径为，
则，解得，
则球的体积为.
故答案为：.
31．
【解析】
【分析】
把四棱锥放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．
【详解】
把四棱锥放置在长方体中，
则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
，，，
长方体的对角线长为，
则长方体的外接球的半径，
该阳马的外接球的表面积为．
故答案为：．
32．
【解析】
【分析】
如图，由题意可得平面，为三角形的外心，则三棱锥的外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设为点，则外接球的半径为，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积
【详解】
解：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
设为三角形的外心，连接，则，
因为，所以,
过作垂直于平面的直线，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为，连接，设外接球的半径为，则，
因为，所以，即，
所以三棱锥的外接球的表面积为
，
故答案为：