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（人教A版2019必修第二册）数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破 专题强化训练二 解三角形综合问题精选必刷题【附答案详解】
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这是一份（人教A版2019必修第二册）数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破 专题强化训练二 解三角形综合问题精选必刷题【附答案详解】，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·河南·）在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
2．（2023·新疆昌吉·（理））在中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·）《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8，代表阴阳太极图的圆的半径为2，则每块八卦田的面积为（ ）.
A．B．
C．D．
4．（2023·河南信阳·（理））在中，已知，，，则角为（ ）
A．B．
C．或D．或
5．（2023·江西·贵溪市实验中学）在中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·）如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
7．（2023·全国·）满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．不存在
8．（2023·贵州·黔西南州赛文高级中学（理））在中，若，，且的面积为，则的解数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏江苏·）在中，最大角是最小角两倍，且，则（ ）
A．B．10C．D．
10．（2023·云南红河·（文））中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
11．（2023·四川达州·（理））中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国全国·）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
二、多选题
13．（2023·全国·）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角
C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和
D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角
14．（2023·河北·石家庄市第一中学东校区）在中，分别为的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若则为等腰三角形
C．若，则为等腰直角三角形
D．若，则
15．（2020·江苏·南通市海门实验学校）设，，称为的调和平均数，称为的加权平均数如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则（ ）
A．的长度是，的几何平均数
B．的长度是，的调和平均数
C．的长度是，的算术平均数
D．的长度是，的加权平均数
16．（2023·吉林·汪清县汪清第四中学）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积的最大值为
17．（2023·黑龙江·哈尔滨市教育局）如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且．点D是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形的面积最大值为
D．四边形的面积无最大值．
18．（2023·江苏·南京二十七中）在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则B．，则
C．若，则D．，则
三、填空题
19．（2023·宁夏·石嘴山市第三中学（文））中，是上的点，平分，面积是面积的倍，，，则___________.
20．（2023·山东泰安·）在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若，，则B，C两点之间的距离为___________米.
21．（2023·江苏江苏·）已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
22．（2023·四川成都·（理））在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.
23．（2023·河南信阳·（理））在三角形中，已知，，分别为角，，的对边，，，，在上，且，则的长为________．
24．（2023·河南·永城高中（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．
四、解答题
25．（2023·全国全国·）如图，在中，，，分别是角，，所对的边且是三个连续的正整数，其中，．
（1）求；
（2）将线段绕点顺时针旋转到，且，求的面积．
26．（2023·上海·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
27．（2020·黑龙江·双鸭山一中高一期末（理））已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求a的值.
28．（2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.
（1）求A；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
29．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高一期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
30．（2023·广东·东莞四中高一阶段练习）在中，角的对边分别为，若，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.
31．（2023·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
32．（2018·上海大学市北附属中学高一期中）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
33．（2023·浙江浙江·高一期末）在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的最大值．
参考答案
1．D
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
2．A
【分析】
由条件结合内角和定理可求，再由正弦定理求.
【详解】
∵ ，
∴ ，
由正弦定理得，．
故选：A.
3．A
【分析】
根据正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰长为，由正弦定理求得的值，求得三角形的面积，进而求得每块八卦田的面积.
【详解】
由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，
设等腰三角形的腰长为，
由正弦定理可得，解得，
所以三角形的面积为，
则每块八卦田的面积为.
故选：A.
4．C
【分析】
由正弦定理可得，根据三角形的性质确定角A的大小，进而求角.
【详解】
由正弦定理知：，可得：，
∴或，又，
∴，则有或，
∴或．
故选：C．
5．D
【分析】
已知两角和一边，三角形确定，可判断A；已知两边及夹角用余弦定理，可判断B；已知三边三角形确定可判断C；正弦定理与大边对大角可判断D
【详解】
A：，已知两角和一边，三角形确定，只有一解；
B：，已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；
C：已知三边三角形确定，只有一解；
D：因为，且，故，故有两解．
故选：D.
6．D
【分析】
设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．
【详解】
设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
7．B
【分析】
由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
8．C
【分析】
结合圆的几何性质判断点的轨迹，结合三角形的面积确定三角形的解的个数.
【详解】
同弧所对的圆周角相等，
如图，满足条件的点在一段优弧上运动（不包括，），
三角形的高的最大时，在点位置，此时三角形为等边三角形，边长为，高为，此时三角形面积为.
若的面积为，则此时的高为，所以此时点可以在如图的，处．
故选：C
9．C
【分析】
根据正弦定理，结合余弦定理、二倍角的正弦公式进行求解即可.
【详解】
设,
由正弦定理可知：
，
由余弦定理可知：
，
或（舍去），
故选：C
10．C
【分析】
利用平方关系求得，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】
解：因为，所以，
所以.
故选：C.
11．C
【分析】
先根据余弦定理求出，然后利用等面积法即可求出边上的高.
【详解】
在中，设，，，则，，
，且，，
，，，
,,
设边上的高为，在中利用等面积法，则,
,.
故选:C
12．C
【分析】
令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，
再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.
【详解】
设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，于是有，
则
，
在中，，则，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理有，于是得，
因此，，
所以2021.
故选：C
13．BCD
【分析】
根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.
【详解】
A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．
B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．
C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
故选：BCD.
14．CD
【分析】
利用诱导公式和正弦函数的性质判断A，利用正弦定理结合正弦函数的性质两角和的正弦公式，判断B，C，D.
【详解】
∵
∴
∴ 或，
∴或，又，，
∴或，A错，
∵
∴
∴ ,
∴ 或，又，，
∴ 或，
∴ 为等腰三角形或直角三角形，B错，
∵
∴
∴ ，又，
∴ ,
∴为等腰直角三角形，C对，
∵ ，
∴
∴
∴ ，又，
∴ ，又，
∴ ，D对，
故选：CD.
15．BD
【分析】
由题意可得：，，，在中，，在中，，再根据几何平均数，调和平均数，算术平均数，加权平均数即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：，，，故A错误，C错误；
在中，由射影定理可得：，故B正确；
在中，由勾股定理可得：，故D正确.
故选：BD．
16．ABD
【分析】
对于A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；对于B选项，由判断；对于C选项，由为钝角三角形且为钝角，利用余弦定理判断； 对于D选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.
【详解】
对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确；
对于B选项，，则，如图：所以有两解，B选项正确；
对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，D选项正确．
故选：ABD
17．ABC
【分析】
由正弦定理化边为角后求得，从而得三角形的内角，判断AB，用角表示出四边形的面积（先由余弦定理求得），然后由三角函数知识得最值判断CD．
【详解】
因为，由正弦定理得，
为三角形内角，，所以，，
所以，或，
又，所以不合题意，所以，从而，AB正确；
中，，
所以，
，，所以，即时，为最大值，无最小值．C正确，D错．
故选：ABC．
18．ABD
【分析】
利用正弦定理判断A，D，利用余弦函数，正切函数的单调性判断B,C，由此确定正确选项.
【详解】
∵ A>B，
∴ a>b，
∴ sinA>sinB，A对，
∵ A>B，且，
又函数在上为减函数，
∴ ，B对，
取，则A>B，但，C错，
∵ A∴ ，
∴ ，D对，
故选：ABD.
19．1
【分析】
设中边上的高为，进而根据题意得，，再结合求解即可.
【详解】
解：因为平分，面积是面积的倍，
所以，，，
所以，
设中边上的高为，
因为，，
所以，
因为，
所以在中，，
在中，.
因为，
所以，即，解得
故答案为：
20．
【分析】
由题可得，利用正弦定理即可求出.
【详解】
由题可得，
由正弦定理可得，
即米.
故答案为：.
21．##
【分析】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立坐标系，设出点B，C，D，E的坐标，由此表示出点，，，再借助向量探求的面积与四边形的面积的关系即可计算作答.
【详解】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
设，因，，的重心分别为，，，
则，，，，
面积
，同理可得四边形的面积：
，
于是得，
所以的面积为.
故答案为：
22．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.
【详解】
，
依题意是角的角平分线，
由三角形的面积公式得，
化简得，，
.
当且仅当，时等号成立.
故答案为：
23．##
【分析】
由已知可得，，根据余弦定理求，再由题设三角形面积间的等量关系可得，即可求的长.
【详解】
∵，，
∴，易得：，，
在三角形中，由余弦定理得：，
∵，即，
∴，又，
∴．
故答案为：.
24．
【分析】
应用余弦定理，结合已知等量关系、辅助角公式可得，由基本不等式可得，最后根据正弦函数的性质即可求的大小.
【详解】
在△中，由余弦定理，代入．得，
∴，即．
∴，即，又．
∴．
故答案为：.
25．
（1）
（2）
【分析】
(1)根据题意可得，，由正弦定理可得，利用余弦定理可得，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意和三角函数的同角关系可得，利用两角和的正弦公式求出，结合三角形的面积公式计算即可.
（1）
由题意知，可以分别表示为，，
由正弦定理，得，得．
由余弦定理得，
所以，解得．
（2）
由（1）知，，，则．
因为，且，所以，
所以
则的面积．
26．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【详解】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
27．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【分析】
（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.
（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理得，，
∵，
∴，即．
∵∴，
∴∴．
（Ⅱ）由：可得．
∴，
∵，
∴由余弦定理得：，
∴.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
28．（1）；（2）．
【分析】
（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；
（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．
【详解】
（1）由得，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，是三角形内角，，
所以，又A为锐角，所以．
（2）由（1），，
所以，即，，
，
．
【点睛】
思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．
29．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得与的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，进而求得三角形面积．
【详解】
（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得．
又∵C是三角形的内角，
∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）．
∴c的最小值为2，
故．
【点睛】
本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．
30．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由正弦定理边角互化，计算求得；（2）由（1）可知是等腰三角形，根据面积公式求边长，中，再根据余弦定理求中线的长.
【详解】
（1）∵，
由正弦定理边角互化得，
由于，∴，即，得.
又，∴，∴.
（2）由（1）知，若，故，则，
∴，（舍）
又在中，，
∴，∴.
31．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到，从而求得的大小；
（2）利用余弦定理化简，得到，求出，再计算面积即可.
【详解】
解：（1）由已知及正弦定理，得．
∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴．
∵，∴．
（2）由已知及余弦定理，得．
化简，得．
又∵，∴．
∴的面积．
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
32．（1）；（2）
【分析】
（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.
（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.
由余弦定理得，，解得或.
当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.
所以三角形的面积为.
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
33．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据得出，然后根据角是锐角得出，最后根据正弦定理与余弦定理对进行转化，即可得出结果；
（2）由正弦定理得出、，然后根据得出，再然后根据解三角形面积公式得出，并将其转化为，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】
（1）因为，所以，，
因为角是锐角，所以，
因为，
所以由正弦定理与余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因为，所以，，
因为，，，所以，
则
，
因为，所以，
则，，
故，面积的最大值为.
1．（2023·河南·）在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
2．（2023·新疆昌吉·（理））在中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·）《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8，代表阴阳太极图的圆的半径为2，则每块八卦田的面积为（ ）.
A．B．
C．D．
4．（2023·河南信阳·（理））在中，已知，，，则角为（ ）
A．B．
C．或D．或
5．（2023·江西·贵溪市实验中学）在中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·）如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
7．（2023·全国·）满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．不存在
8．（2023·贵州·黔西南州赛文高级中学（理））在中，若，，且的面积为，则的解数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏江苏·）在中，最大角是最小角两倍，且，则（ ）
A．B．10C．D．
10．（2023·云南红河·（文））中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
11．（2023·四川达州·（理））中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国全国·）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
二、多选题
13．（2023·全国·）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角
C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和
D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角
14．（2023·河北·石家庄市第一中学东校区）在中，分别为的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若则为等腰三角形
C．若，则为等腰直角三角形
D．若，则
15．（2020·江苏·南通市海门实验学校）设，，称为的调和平均数，称为的加权平均数如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则（ ）
A．的长度是，的几何平均数
B．的长度是，的调和平均数
C．的长度是，的算术平均数
D．的长度是，的加权平均数
16．（2023·吉林·汪清县汪清第四中学）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积的最大值为
17．（2023·黑龙江·哈尔滨市教育局）如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且．点D是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．的内角
C．四边形的面积最大值为
D．四边形的面积无最大值．
18．（2023·江苏·南京二十七中）在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则B．，则
C．若，则D．，则
三、填空题
19．（2023·宁夏·石嘴山市第三中学（文））中，是上的点，平分，面积是面积的倍，，，则___________.
20．（2023·山东泰安·）在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若，，则B，C两点之间的距离为___________米.
21．（2023·江苏江苏·）已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
22．（2023·四川成都·（理））在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.
23．（2023·河南信阳·（理））在三角形中，已知，，分别为角，，的对边，，，，在上，且，则的长为________．
24．（2023·河南·永城高中（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．
四、解答题
25．（2023·全国全国·）如图，在中，，，分别是角，，所对的边且是三个连续的正整数，其中，．
（1）求；
（2）将线段绕点顺时针旋转到，且，求的面积．
26．（2023·上海·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
27．（2020·黑龙江·双鸭山一中高一期末（理））已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求a的值.
28．（2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.
（1）求A；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
29．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高一期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
30．（2023·广东·东莞四中高一阶段练习）在中，角的对边分别为，若，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.
31．（2023·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
32．（2018·上海大学市北附属中学高一期中）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
33．（2023·浙江浙江·高一期末）在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的最大值．
参考答案
1．D
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
2．A
【分析】
由条件结合内角和定理可求，再由正弦定理求.
【详解】
∵ ，
∴ ，
由正弦定理得，．
故选：A.
3．A
【分析】
根据正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰长为，由正弦定理求得的值，求得三角形的面积，进而求得每块八卦田的面积.
【详解】
由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，
设等腰三角形的腰长为，
由正弦定理可得，解得，
所以三角形的面积为，
则每块八卦田的面积为.
故选：A.
4．C
【分析】
由正弦定理可得，根据三角形的性质确定角A的大小，进而求角.
【详解】
由正弦定理知：，可得：，
∴或，又，
∴，则有或，
∴或．
故选：C．
5．D
【分析】
已知两角和一边，三角形确定，可判断A；已知两边及夹角用余弦定理，可判断B；已知三边三角形确定可判断C；正弦定理与大边对大角可判断D
【详解】
A：，已知两角和一边，三角形确定，只有一解；
B：，已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；
C：已知三边三角形确定，只有一解；
D：因为，且，故，故有两解．
故选：D.
6．D
【分析】
设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．
【详解】
设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
7．B
【分析】
由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
8．C
【分析】
结合圆的几何性质判断点的轨迹，结合三角形的面积确定三角形的解的个数.
【详解】
同弧所对的圆周角相等，
如图，满足条件的点在一段优弧上运动（不包括，），
三角形的高的最大时，在点位置，此时三角形为等边三角形，边长为，高为，此时三角形面积为.
若的面积为，则此时的高为，所以此时点可以在如图的，处．
故选：C
9．C
【分析】
根据正弦定理，结合余弦定理、二倍角的正弦公式进行求解即可.
【详解】
设,
由正弦定理可知：
，
由余弦定理可知：
，
或（舍去），
故选：C
10．C
【分析】
利用平方关系求得，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】
解：因为，所以，
所以.
故选：C.
11．C
【分析】
先根据余弦定理求出，然后利用等面积法即可求出边上的高.
【详解】
在中，设，，，则，，
，且，，
，，，
,,
设边上的高为，在中利用等面积法，则,
,.
故选:C
12．C
【分析】
令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，
再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.
【详解】
设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，于是有，
则
，
在中，，则，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理有，于是得，
因此，，
所以2021.
故选：C
13．BCD
【分析】
根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.
【详解】
A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．
B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．
C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
故选：BCD.
14．CD
【分析】
利用诱导公式和正弦函数的性质判断A，利用正弦定理结合正弦函数的性质两角和的正弦公式，判断B，C，D.
【详解】
∵
∴
∴ 或，
∴或，又，，
∴或，A错，
∵
∴
∴ ,
∴ 或，又，，
∴ 或，
∴ 为等腰三角形或直角三角形，B错，
∵
∴
∴ ，又，
∴ ,
∴为等腰直角三角形，C对，
∵ ，
∴
∴
∴ ，又，
∴ ，又，
∴ ，D对，
故选：CD.
15．BD
【分析】
由题意可得：，，，在中，，在中，，再根据几何平均数，调和平均数，算术平均数，加权平均数即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：，，，故A错误，C错误；
在中，由射影定理可得：，故B正确；
在中，由勾股定理可得：，故D正确.
故选：BD．
16．ABD
【分析】
对于A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；对于B选项，由判断；对于C选项，由为钝角三角形且为钝角，利用余弦定理判断； 对于D选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.
【详解】
对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确；
对于B选项，，则，如图：所以有两解，B选项正确；
对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，D选项正确．
故选：ABD
17．ABC
【分析】
由正弦定理化边为角后求得，从而得三角形的内角，判断AB，用角表示出四边形的面积（先由余弦定理求得），然后由三角函数知识得最值判断CD．
【详解】
因为，由正弦定理得，
为三角形内角，，所以，，
所以，或，
又，所以不合题意，所以，从而，AB正确；
中，，
所以，
，，所以，即时，为最大值，无最小值．C正确，D错．
故选：ABC．
18．ABD
【分析】
利用正弦定理判断A，D，利用余弦函数，正切函数的单调性判断B,C，由此确定正确选项.
【详解】
∵ A>B，
∴ a>b，
∴ sinA>sinB，A对，
∵ A>B，且，
又函数在上为减函数，
∴ ，B对，
取，则A>B，但，C错，
∵ A
∴ ，D对，
故选：ABD.
19．1
【分析】
设中边上的高为，进而根据题意得，，再结合求解即可.
【详解】
解：因为平分，面积是面积的倍，
所以，，，
所以，
设中边上的高为，
因为，，
所以，
因为，
所以在中，，
在中，.
因为，
所以，即，解得
故答案为：
20．
【分析】
由题可得，利用正弦定理即可求出.
【详解】
由题可得，
由正弦定理可得，
即米.
故答案为：.
21．##
【分析】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立坐标系，设出点B，C，D，E的坐标，由此表示出点，，，再借助向量探求的面积与四边形的面积的关系即可计算作答.
【详解】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
设，因，，的重心分别为，，，
则，，，，
面积
，同理可得四边形的面积：
，
于是得，
所以的面积为.
故答案为：
22．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.
【详解】
，
依题意是角的角平分线，
由三角形的面积公式得，
化简得，，
.
当且仅当，时等号成立.
故答案为：
23．##
【分析】
由已知可得，，根据余弦定理求，再由题设三角形面积间的等量关系可得，即可求的长.
【详解】
∵，，
∴，易得：，，
在三角形中，由余弦定理得：，
∵，即，
∴，又，
∴．
故答案为：.
24．
【分析】
应用余弦定理，结合已知等量关系、辅助角公式可得，由基本不等式可得，最后根据正弦函数的性质即可求的大小.
【详解】
在△中，由余弦定理，代入．得，
∴，即．
∴，即，又．
∴．
故答案为：.
25．
（1）
（2）
【分析】
(1)根据题意可得，，由正弦定理可得，利用余弦定理可得，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意和三角函数的同角关系可得，利用两角和的正弦公式求出，结合三角形的面积公式计算即可.
（1）
由题意知，可以分别表示为，，
由正弦定理，得，得．
由余弦定理得，
所以，解得．
（2）
由（1）知，，，则．
因为，且，所以，
所以
则的面积．
26．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【详解】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
27．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【分析】
（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.
（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理得，，
∵，
∴，即．
∵∴，
∴∴．
（Ⅱ）由：可得．
∴，
∵，
∴由余弦定理得：，
∴.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
28．（1）；（2）．
【分析】
（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；
（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．
【详解】
（1）由得，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，是三角形内角，，
所以，又A为锐角，所以．
（2）由（1），，
所以，即，，
，
．
【点睛】
思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．
29．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得与的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，进而求得三角形面积．
【详解】
（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得．
又∵C是三角形的内角，
∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）．
∴c的最小值为2，
故．
【点睛】
本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．
30．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由正弦定理边角互化，计算求得；（2）由（1）可知是等腰三角形，根据面积公式求边长，中，再根据余弦定理求中线的长.
【详解】
（1）∵，
由正弦定理边角互化得，
由于，∴，即，得.
又，∴，∴.
（2）由（1）知，若，故，则，
∴，（舍）
又在中，，
∴，∴.
31．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到，从而求得的大小；
（2）利用余弦定理化简，得到，求出，再计算面积即可.
【详解】
解：（1）由已知及正弦定理，得．
∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴．
∵，∴．
（2）由已知及余弦定理，得．
化简，得．
又∵，∴．
∴的面积．
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
32．（1）；（2）
【分析】
（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.
（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.
由余弦定理得，，解得或.
当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.
所以三角形的面积为.
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
33．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据得出，然后根据角是锐角得出，最后根据正弦定理与余弦定理对进行转化，即可得出结果；
（2）由正弦定理得出、，然后根据得出，再然后根据解三角形面积公式得出，并将其转化为，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】
（1）因为，所以，，
因为角是锐角，所以，
因为，
所以由正弦定理与余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因为，所以，，
因为，，，所以，
则
，
因为，所以，
则，，
故，面积的最大值为.
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